Решение нелинейных уравнений

Разреженные матрицы

При решении широкого круга прикладных проблем, например, при численном решении краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных (в частности, при использовании метода конечных элементов), возникают матрицы значительного порядка, большинство элементов которых равны нулю. Очевидно, что обычное хранение таких матриц приводит к неэффективному использованию памяти компьютера и соответственно к снижению быстродействия вычислений. В системе MATLAB данная проблема преодолевается введением для таких матриц специальных структур данных, называемых разреженными матрицами. Для создания массива, в котором хранится разреженная матрица, используется функция sparse:

>> A=[0 1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1; -4 0 0 0]

A =

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

-4 0 0 0

>> S=sparse (A)

S =

(4, 1) -4

(1, 2) 1

(2, 3) 1

(3, 4) 1

>> whos S

Name Size Bytes Class Attributes

S 4x4 104 double sparse

>> whos A

Name Size Bytes Class Attributes

A 4x4 108 double

Приведённый пример демонстрирует, что функция sparse размещает в памяти компьютера только лишь индексы ненулевых элементов и их значения, при этом матрица S является переменной типа sparse array, занимает в памяти меньше места, чем исходная матрица A.

Обратное преобразование разреженной матрицы в обычную матрицу производится функцией full:

>> full (S)

ans =

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

-4 0 0 0

В заключение отметим, что в системе MATLAB для операций с разреженными матрицами имеется большое количество функций.

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Нелинейные уравнения подразделяются на два класса: алгебраические и трансцендентные.

Класс алгебраических функций.

Функция называется алгебраической, если для вычисления значения функции по заданному значению аргумента нужно выполнить арифметические операции и возведение в степень с рациональным показателем. (Операция извлечения корня степени может быть представлена как операция возведения в степень с показателем .)

Алгебраическая функция называется рациональной относительно переменной , если над не производится никаких других действий, кроме сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень.

Например:

,

Если в рациональную функцию переменная не входит в качестве делителя или в выражение, являющееся делителем, то такая функция называется целой рациональной.

Например, следующие функции:

,

где любое целое число, любые действительные числа,

Если в рациональной функции хотя бы один раз встречается деление на переменную или переменная входит в выражение, являющееся делителем, то такая функция называется дробно - рациональной.

Например,

где любые целые числа, , любые действительные числа.

Функция называется иррациональной, если для вычисления функции помимо четырех арифметических действий надо выполнить извлечение корня из выражений, содержащих .

Так, функция

является иррациональной, а функция

иррациональной не является, так как не находится под знаком радикала.

Класс трансцендентных функций.

К трансцендентным функциям относятся все неалгебраические функции – показательная , логарифмическая , тригонометрические , , , ; обратные тригонометрические , , , , специальные функции уравнений математической физики,…

Например,

,

Решение уравнения с одним неизвестным заключается в отыскании корней, т.е. тех значений , которые обращают уравнение в тождество. Корни уравнения могут быть вещественными и комплексными.

Найти точные значения корней уравнения можно только в исключительных случаях, как правило, когда существует какая-либо простая формула для вычисления корней.

Отделение корней

Процесс нахождения приближенных значений корней уравнений разбивается на два этапа: 1) отделение корней, 2) уточнение корней до заданной точности.

Корень уравнения считается отделенным на отрезке , если на этом отрезке уравнение не имеет других корней.

Отделить корни – это значит разбить всю область допустимых значений на отрезки, в каждом из которых содержится один корень. Отделение корней можно произвести двумя методами – графическим и аналитическим.