Определение параметров функциональных зависимостей
Метод наименьших квадратов
Основные положения метода наименьших квадратов
При проведении исследований и измерений в различных областях деятельности человека очень часто зависимости между двумя величинами x и y получаются в табличном виде:
| x | x1 | x2 | ... | xn |
| y | y1 | y2 | ... | yn |
Чтобы получить зависимость y от x в аналитическом виде, широко применяется метод наименьших квадратов (МНК).
Он основан на том, что из множества функций наилучшей является та, для которой сумма S квадратов отклонений наблюдаемых значений от вычисленных является наименьшей
Здесь n – число измерений, – полученные в опыте табличные значения функции, – значения функции, вычисленные по выбранной формуле.
Первым этапом применения МНК является выбор типа или класса функций . Часто используются
а) линейная функция ;
б) квадратичная функция ;
в) показательная или экспоненциальная функция ;
г) логарифмическая функция ;
д) гиперболическая функция .
Чтобы выбрать вид функции, табличные значения наносят на график и соотносят расположение точек с формой графика одной из пяти предлагаемых функций:
Вид функции можно выбрать и более строго: наилучшим образом описывает (аппроксимирует) полученную в опыте зависимость та функция, для которой сумма квадратов отклонений меньше, чем для других. Но этот способ достаточно трудоемкий.
Второй этап применения МНК – определение параметров выбранной функции.
Определение параметров функциональных зависимостей
1) Определение параметров линейной зависимости .
Параметры и должны быть такими, чтобы величина была минимальной. Используем необходимое условие минимума функции :
Преобразование написанных условий приводит к следующей системе для определения и :
Решая эту систему, получаем формулы:
2) Определение параметров экспоненциальной зависимости
Прологарифмируем функцию :
Зависимость от x линейная, поэтому заменим в формулах (1) и (2) на , а на :
Окончательно находим .
3) Определение параметров логарифмической зависимости .
Отличие данной формулы от линейной состоит в замене , поэтому:
4) Определение параметров гиперболической зависимости .
В данной формуле, в отличие от линейной, x заменен на , поэтому
5) Определение параметров квадратичной зависимости .
Составим .
Необходимое условие минимума функции :
Преобразование выписанных уравнений приводит к системе
Это система трех линейных уравнений для трех неизвестных , ее решение в общем виде выглядит громоздко, поэтому после ее составления, решение системы находят одним из известных методов: Гаусса, матричным или по формулам Крамера.