Показатели вариации (колеблемости) признака

Для характеристики размера вариации признака используются абсолютные и относительные показатели. К абсолютным показателям вариации относятся: размах колебаний, среднее линейное отклонение. Среднее квадратическое отклонение, дисперсия, квартильное отклонение.

Размах колебаний(размах вариации):

, (5.11)

где х_max, x_min – соответственно максимальное и минимальное значения признака.

Величина показателя зависит от величины только двух крайних вариант и не учитывает степени колеблемости основной массы членов ряда.

Среднее линейное отклонение ( ) и среднее квадратическое отклонение ( ) показывают, на сколько в среднем отличаются индивидуальные значения признака от среднего его значения.

Среднее линейное отклонениеопределяется по формулам:

а) для несгруппированных данных (первичного ряда)

; (5.12)

б) для n вариационного ряда

. (5.13)

Среднее квадратическое отклонение ( )и дисперсия ( )определяются так:

а) для несгруппированных данных

; ; (5.14)

б) для n вариационного ряда

; . (5.15)

Квартильное отклонение(d_k) применяется вместо размаха вариации, чтобы избежать недостатков, связанных с использованием крайних значений:

, (5.16)

где Q₃ и Q₁ – соответственно третья и первая квартили распределения.

Квартиль – значения признака, которые делят ранжированный ряд на четыре равные по численности части. Таких величин будет три: первая квартиль (Q₁), вторая квартиль (Q₂), третья квартиль (Q₃). Вторая квартиль является медианой. Вычисление квартилей аналогично вычислению медианы.

Сначала определяют положение или место квартили:

; ; . (5.17)

Затем по накопленным частотам в дискретном ряду определяют численное значение.

В интервальном ряду распределения сначала указывают интервал, в котором лежит квартиль, затем определяют ее численное значение по формуле:

, (5.18)

где x_Q – нижняя граница интервала, в котором находится квартиль;

S_(Q-1) – накопленная частота интервала, предшествующего тому, в котором находится квартиль;

f_Q - частота интервала, в котором находится квартиль.

При сравнении колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях с различной величиной средней арифметической используются относительные показатели вариации. Они вычисляются как отношение абсолютных показателей вариации к средней арифметической (или медиане) и чаще всего выражаются в процентах.

Формулы расчета относительных показателей вариации следующие:

коэффициент осцилляции ; (5.19)

относительное линейное отклонение ; (5.20)

коэффициент вариации ; (5.21)

относительный показатель квартильной вариации (5.22)

или . (5.23)