Модуль 5. Диференціальне числення функцій.

Контрольна робота № 3 виконується учнями після вивчення наступних розділів програми:

· Диференційованість функції однієї змінної.

· Основні теореми диференціального числення.

· Схема дослідження функції і побудова її графіка.

· Диференційованість функцій багатьох змінних.

· Дослідження функцій багатьох змінних на екстремум, умовний екстремум.

Розв’язування типових завдань

Завдання 1. Знайти похідні функцій: 1), 2) складної функції; 3), 4) неявної функції; 5), 6) параметрично заданої функції; 7), 8) використовуючи логарифмічне диференціювання.

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) 6)

7) ; 8)

► 1) застосуємо правило диференціювання складної функції, тригонометричної функції та суми, маємо:

◄

► 2) застосуємо правило диференціювання складної функції, оберненої тригонометричної функції та суми, маємо:

◄

► 3) функція задана неявно, диференціюємо ліву та праву частини рівняння вважаючи, що . Згідно з правилами диференціювання складної функції, маємо:

Звідси ,

◄

► 4) функція задана неявно, диференціюємо ліву та праву частини рівняння вважаючи, що . Згідно з правилами диференціювання складної функції, показникової функції та добутку, маємо:

Звідси

,

◄

► 5) функція задана параметрично, тому

◄

► 6) функція задана параметрично, тому

◄

► 7) Маємо складну показникові функцію, бо основа, і степінь залежать

від х

Прологарифмуємо задану функцію .

Маємо .

Диференціюємо обидві частини останньої рівності по х :

.

Звідси

Далі знаходимо :

,

або

◄

► 8) Маємо складну показникові функцію, бо основа, і степінь залежать

від х

Прологарифмуємо задану функцію .

Маємо .

Диференціюємо обидві частини останньої рівності по х :

Звідси

Далі знаходимо :

,

або

◄

Завдання 2. Знайти найбільше та найменше значення функції на заданому проміжку :

► Область визначення функції – вся множина дійсних чисел .

Знайдемо критичні точки першого роду заданої функції. Маємо:

.

Похідна існує для всіх , тому критичні точки одержимо із рівності .

Оскільки, , то знайдемо значення функції при та :

;

; .

Із отриманих значень функції обираємо найбільше значення та найменше значення ◄

Завдання 3. Знайти всі похідні другого порядку для заданих функцій:

а) ; б)

► а) Знайдемо частинні похідні першого порядку:

вважаючи у сталою, маємо :

.

вважаючи х сталою, маємо :

.

Продиференціюємо ці рівності відповідно по х і по у.

Маємо

;

.

Знайдемо мішані частинні похідні та :

,

.

,

мішані похідні рівні, так як не залежать від порядку диференціювання. ◄

► б) Знайдемо частинні похідні першого порядку:

вважаючи у сталою, маємо :

вважаючи х сталою, маємо :

Тепер знайдемо частинні похідні другого порядку функції u , що входять до заданого рівняння:

;

Знайдемо мішані частинні похідні та :

,

,

◄

Завдання 4. Довести, що задана функція z задовольняє задане рівняння:

а)

б)

► а) Знайдемо частинні похідні першого порядку:

Підставимо отримані частинні похідні в задане диференціальне рівняння, приходимо до тотожності

◄

► б) Знайдемо частинні похідні функції першого та другого порядків:

; ,

,

Підставимо отримані частинні похідні в задане диференціальне рівняння, приходимо до тотожності

,

,

0 = 0 ◄

Завдання 5. Дослідити задану функцію на екстремум

► Функція визначена для усіх . Знаходимо частинні похідні функції z першого порядку:

Ці похідні існують при усіх , тому критичними точками функції будуть лише ті точки, де та . Отже для знаходження критичних точок треба розв’язати систему:

Отже, критичними точками заданої функції будуть точки: та .

Знайдемо частинні похідні другого порядку заданої функції.

; ;

Застосуємо достатню умову існування екстремуму функцій двох змінних до кожної критичної точки.

Тоді для точки маємо:

, ;

М не є точкою екстремуму.

Для точки , маємо

, ,

.

Отже точка – точка мінімуму .

Знайдемо значення z в цій точці .

Контрольна робота № 4.