Под определителем третьего порядка понимается выражение 2 страница

11.

Здесь и дифференцируемые функции от , а – постоянная.

Геометрический смысл производной

Производная функция представляет собой угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в любой ее точке.

Уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке имеет вид , где , .

Физический смысл производной. Если тело движется прямолинейно по закону , то производная пути по времени равна скорости движения тела в данный момент времени : .

Производной второго порядка функции называется производная от первой производной, т.е. .

Физический смысл второй производной. Если тело движется прямолинейно по закону , то вторая производная пути по времени равна ускорению движения тела в данный момент времени : .

Пример. Найти производные функций:

.

Решение. а) дифференцируем функцию по формуле ,

.

б) воспользуемся формулой дифференцирования сложной функции: , получим .

в)

.

Вопросы и упражнения для самопроверки.

1. Дайте определение производной.

2. Запишите формулы производной произведения, частного.

3. В чем состоит геометрический смысл производной?

4. Как найти скорость движения тела, если задан закон прямолинейного движения?

5. Запишите уравнение касательной к кривой в точке .

6. В чем состоит физический смысл второй производной?

7. Запишите формулу производной сложной функции.

8. Найдите , если .

Приложения производной к исследованию функций.

Литература. [1] гл. 3 § 18,19, [2] гл. 11 § 1,2, 7-10, [3] гл. 9 §86-96.

Дифференцируемая функция возрастает на промежутке , если ее производная положительна в каждой точке этого промежутка.

Дифференцируемая функция убывает на промежутке , если ее производная отрицательна в каждой точке этого промежутка.

Функция имеет в точке максимум, если для всех , достаточно близких к , выполняется неравенство .

Функция имеет в точке минимум, если для всех значений достаточно близких к , выполняется неравенство . Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Необходимое условие экстремума функции.

Если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то в этой точке . Точки в которых называются критическими.

Первое достаточное условие существования экстремума функций. Если при перехода через критическую точку производная меняет знак, то точка экстремума. При этом если производная меняет знак с плюса на минус, то точка максимума, а . Если же производная меняет знак с минуса на плюс, то точка минимума, а .

Говорят, что на промежутке кривая обращена выпуклостью вверх, или выпукла, если она лежит ниже касательной, про­веденной в любой ее точке.

Говорят, что кривая на промежутке обращена выпуклостью вниз или вогнута, если она лежит выше касательной, прове­денной в любой ее точке.

Точка, в которой меняется направление вогнутости кривой, называется точкой перегиба.

График дифференцируемой функции является вогнутым на промежутке , если вторая производная функции положительна в каждой точке этого промежутка.

График дифференцируемой функции является выпуклым на промежутке , если вторая производная функции отрицательна в каждой точке этого промежутка.

Необходимым условием точки перегиба дифференцируемой функции является равенство нулю второй производной, а достаточ­ным условием является то, что при переходе через эту точку меняет знак.

Прямая является вертикальной асимптотой, если . Уравнение наклонной асимптоты имеет вид ,где , ,при условии, что оба эти предела существуют.

Исследование функции в построение графиков можно проводить по следующей схеме:

1. Найти область определения функции.

2. Установить нечетность, четность и периодичность функции.

3. Найти точки разрыва.

4. Найти асимптоты.

5. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.

6. Найти направление вогнутости и точки перегиба.

7. Найти точки пересечения графика функции с осями координат и при необходимости, несколько дополнительных точек.

8. Построить график, используя результаты исследования.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. Функция определена для всех значений , кроме . , следовательно, функция четная и график ее будет симметричен относительно оси . и - вертикальные асимптоты.

Найдем наклонные асимптоты . , . Таким образом, прямая является горизонтальной асимптотой. Найдем интервалы возрастания, убывания функции и точки экстремума. . Находим критические точки, где . ; ; . Производная не определена при . Область определения функции разбивается на четыре участка монотонности.

При , следовательно, функция возрастает.

При , следовательно, функция возрастает.

При - функция убывает.

При - функция убывает.

При переходе через точку меняет знак с на -, следовательно, будет точкой максимума. .

Найдем интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба. .

не существует при .

При , следовательно, график вогнутый.

При следовательно, на этом интервале график выпуклый.

При следовательно, график вогнутый.

Точек перегиба график не имеет. Построим график.

Вопросы и упражнения для самопроверки.

1. Сформулируйте необходимые условия экстремума функции.

2. Как найти промежутки возрастания и убывания функции?

3. В чем состоит достаточное условие экстремума?

4. Как найти промежутки выпуклости и вогнутости кривой?

5. Как найти точки перегиба кривой?

6. Найдите точки экстремума функции:

Неопределенный интеграл.

Литература. [1] гл. 4 §20, 21, 28 упр1-89 [2] гл.11 §102-104 [3] гл. 13 §1-5, 10, упр. 1-32.

Как известно основная задача дифференциального исчисления сводится к нахождению по заданной функции ее производной. Неопределенный ин­теграл решает обратную задачу: по заданной производной находят первоначальную функцию.

Функцию называют первообразной для функции в интер­вале , если имеет место равенство . Так для функции первообразной служит функция , так как для любого ; для функции первообразной является функция поскольку и т.д.

Если -первообразная для функции , то множество функций , где - произвольная постоянная, называют неопределенным интегралом от функции и обозначают символом .

Например, , так как .

Приведем основные свойства неопределенных интегралов (Н.И.).

1. Производная от Н.И. равна подынтегральной функции, а дифференциал -подынтегральному выражению, т.е. .

2. Н.И. от дифференциала функции равен этой функции плюс произ­вольное постоянное, т.е. .

3. Постоянный множитель можно выносить за знак Н.И.:

4. Н.И.от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов: .

Таблица простейших интегралов имеет вид:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11.

Основными методами интегрирования являются: разложения, подстановки, по частям. Интегрирование методом разложения заключается в приведении данного интеграла (по свойству 4) к сумме более простых или табличных интегралов. Метод подстановки имеет в виду следующее: положив в интеграле , получим . При интегрировании по частям берут формулу дифференциала произведения: и из нее после интегри­рования обеих частей получают формулу . Эта формула применяется тогда, когда под интегралом имеется произведение алгебраической и трансцендентной функций, например: или .

При этом за принимают функцию, которая дифференцированием упрощается, а за та часть подынтегрального выражения содержащая , интеграл от которой известен или может быть найден. Например, в интеграле за нужно принять , а в интеграле положить .

Пример. Найти неопределенные интегралы:

а) б) в) .

Решение.

а)

.

б) применим метод подстановки. Положим ; тогда , откуда .

Получаем .

в) применим формулу интегрирования по частям. Обозначим , , тогда , .

Получаем

.

Определенный интеграл.

Литература. [1] §23, 24, 26, 28, упр 108-113, 116-125,150-152. [2] гл. 14 §1-9

Пусть на отрезке определена функция . Разобьем отрезок на произвольных частей точками . На каждом отрезке возьмем произвольную точку , вычислим значение функции в этой точке и составим сумму: , где . Эту сумму называют интегральной суммой функции по отрезку . Предел суммы при условии, что длина наибольшего из отрезков стремится к нулю , если он существует, и не зависит ни от способа разбиения, ни от способа выбора точек , называется определенным интегралом функции в пределах от до и обозначается . Функцию в этом случае называют интегрируемой на отрезке . Всякая ограниченная на отрезке функция, имеющая лишь конечное число точек разрыва, интегрируема.

В частности интегрируема любая непрерывная на отрезке функция, так как в этом случае для нее существует Н.И. и имеет место формула , которая называется формулой Ньютона – Лейбница.

Если непрерывная кривая задана уравнением , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя прямыми и отрезком определяется формулой . В общем случае, если площадь ограничена двумя кривыми , где , двумя прямыми и отрезком имеет место формула .

Пример. Вычислить интегралы а) . б) .

Решение.

а) произведем подстановку ; тогда . Определим пределы для переменной . .

Тогда

.

б) положим , тогда , . Определим пределы интегрирования для переменной : . Тогда .

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .