Практическое занятие 9. Многочлены
Практическое занятие 7. Матрицы
Вопросы для повторения
1. Транспонирования матриц.
2. Операции сложения и вычитания матриц.
3. Операции умножения и возведения в степень матриц.
4. Понятие обратной матрицы.
Задача 74.
Найти сумму матриц:
,
.
Решение:
.
Задача 75.
Даны три матрицы:
,
,
.
Найти матрицу .
Решение:
,
,
.
.
Задача 76.
Найти произведение матриц и
:
1. ,
;
2. ,
;
3. ,
.
Ответ:
1. ,
;
2. ,
;
3. ,
.
Способ нахождения обратной матрицы
Пусть – невырожденная матрица. Припишем к ней справа (или слева) единичную матрицу
. Далее с помощью элементарных преобразований над строками сдвоенной матрицы
левая половина приводится к единичной матрице. Тогда сдвоенная матрица приобретает вид
.
Задача 77.
Для матрицы найти обратную матрицу
и проверить равенство
.
Решение:
При описанном выше способе нет необходимости специально проверять невырожденность матрицы . Это будет вытекать из самой возможности приведения
к
.
Практическое занятие 8. Определитель и ранг матрицы
Вопросы для повторения
1. Определитель - го порядка.
2. Свойства определителей.
3. Правила нахождения определителей - го порядка.
4. Понятие ранга матрицы.
Определитель матрицы третьего порядка вычисляется следующим образом:
Метод Саррюса
Определитель матрицы третьего порядка представляет собой алгебраическую сумму шести слагаемых. Каждое слагаемое является произведением трех элементов, расположенных в разных столбцах и разных строках матрицы.
Знак «плюс» имеют произведение элементов, образующих треугольники со стороной, параллельной главной диагонали.
Знак «минус» имеют произведение элементов, принадлежащих побочной диагонали, и два произведения элементов, образующих треугольники со стороной, параллельной побочной диагонали.
С помощью формул разложения определителя матрицы по элементам строки или столбца вычисление определителя матрицы любого порядка сводится к вычислению определителей матриц второго или третьего порядков.
Задача 78.
Упростить выражение: .
Решение:
Задача 79.
Решить уравнение: .
Решение:
.
Задача 80.
Вычислить определитель: .
Решение:
.
Задача 81.
Для данной матрицы найти обратную
1. методом исключения:
2. методом присоединенной матрицы.
Решение:
1.
;
2. ;
.
Задача 82.
Решить матичное уравнение
1. методом исключения;
2. методом обратной матрицы.
Решение:
1.
;
2. Введем обозначение , тогда уравнение запишется в виде
. Умножив слева это уравнение на обратную матрицу
, которая существует, поскольку
.
.
Тогда .
Задача 83.
Вычислить определитель третьего порядка .
Решение:
Используя формулу Саррюса, получим:
.
Задача 84.
Найти ранг матрицы методом элементарных преобразований:
.
Решение:
Приведем матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:
Полученная матрица содержит две ненулевые строки, значит, ее ранг равен 2. Следовательно, ранг исходной матрицы также равен 2.
Задача 85.
Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров и указать один из базисных миноров .
Решение:
Так как у матрицы A есть ненулевые элементы, то . Найдем какой-либо ненулевой минор 2-го порядка (если он существует). Таким минором является, например
.
Значит, . Вычислим миноры третьего порядка, окаймляющие
:
;
Все миноры 3-го порядка, окаймляющие , равны нулю, следовательно
. Итак,
.
Одним из базисных миноров является .
Практическое занятие 9. Многочлены
Вопросы для повторения
1. Сложение и умножение многочленов.
2. Теорема о делении с остатком.
3. Понятие корня многочлена.
4. Понятие кратности корня многочлена.
5. Схема Горнера.
6. Соотношение степени многочлена и числа его корней.
7. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие.
8. Метод неопределенных коэффициентов.
Задача 86.
Выполнить деление с остатком на
.
Решение:
![]() | ![]() | |||
![]() | ![]() ![]() ![]() | |||
![]() | ||||
![]() | ||||
![]() | ||||
![]() | ||||
![]() | ||||
Задача 87.
на
.
Решение:
![]() | ![]() | |||
![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | |||
![]() | ||||
![]() | ||||
![]() | ||||
![]() | ||||
![]() | ||||
![]() | ||||
![]() | ||||
Задача 88.
на
.
Ответ: (Частное , остаток
).
Задача 89.
на
.
Ответ: .
Задача 90.
При каком условии полином делится на полином
.
Ответ:
.
Задача 91.
При каком условии полином делится на полином
.
Ответ:
Если , то
; если
, то
.
Схема Горнера
Пусть .
Если , то коэффициенты многочлена
и
проще всего найти по схеме Горнера.
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Задача 92.
Пользуясь схемой Горнера вычислить .
,
.
Ответ:
-3 | -10 | ||||
.
Задача 93.
Пользуясь схемой Горнера вычислить .
,
.
Ответ:
-3 | -4 | ||||
-1 | -4 |
.
Задача 94.
Пользуясь схемой Горнера вычислить
,
.
Ответ:
-8 | -50 | ||||
-4 | -18 |
.
Задача 95.
Пользуясь схемой Горнера вычислить
,
.
Ответ:
.
Задача 96.
Разложить на простейшие дроби .
Ответ: .
Задача 97.
Разложить на простейшие дроби .
Ответ: .
Задача 98.
Разложить на простейшие дроби .
Ответ: .
Задача 99.
Разложить на простейшие дроби (не вычисляя коэффициентов) .
Ответ:
.
Задача 100.
Разложить на простейшие дроби (не вычисляя коэффициентов) .
Ответ: .