Практическое занятие 9. Многочлены
Практическое занятие 7. Матрицы
Вопросы для повторения
1. Транспонирования матриц.
2. Операции сложения и вычитания матриц.
3. Операции умножения и возведения в степень матриц.
4. Понятие обратной матрицы.
Задача 74.
Найти сумму матриц:
, 
.
Решение:
.
Задача 75.
Даны три матрицы:
, 
, 
.
Найти матрицу 
.
Решение:
, 
, 
.
.
Задача 76.
Найти произведение матриц 
и 
:
1. 
, 
;
2. 
, 
;
3. 
, 
.
Ответ:
1. 
, 
;
2. 
, 
;
3. 
, 
.
Способ нахождения обратной матрицы
Пусть 
– невырожденная матрица. Припишем к ней справа (или слева) единичную матрицу 
. Далее с помощью элементарных преобразований над строками сдвоенной матрицы 
левая половина приводится к единичной матрице. Тогда сдвоенная матрица приобретает вид 
.
Задача 77.
Для матрицы 
найти обратную матрицу 
и проверить равенство 
.
Решение:
При описанном выше способе нет необходимости специально проверять невырожденность матрицы . Это будет вытекать из самой возможности приведения к .
Практическое занятие 8. Определитель и ранг матрицы
Вопросы для повторения
1. Определитель 
- го порядка.
2. Свойства определителей.
3. Правила нахождения определителей - го порядка.
4. Понятие ранга матрицы.
Определитель матрицы третьего порядка вычисляется следующим образом:
Метод Саррюса
Определитель матрицы третьего порядка представляет собой алгебраическую сумму шести слагаемых. Каждое слагаемое является произведением трех элементов, расположенных в разных столбцах и разных строках матрицы.
Знак «плюс» имеют произведение элементов, образующих треугольники со стороной, параллельной главной диагонали.
Знак «минус» имеют произведение элементов, принадлежащих побочной диагонали, и два произведения элементов, образующих треугольники со стороной, параллельной побочной диагонали.
С помощью формул разложения определителя матрицы по элементам строки или столбца вычисление определителя матрицы любого порядка сводится к вычислению определителей матриц второго или третьего порядков.
Задача 78.
Упростить выражение: 
.
Решение: 
Задача 79.
Решить уравнение: 
.
Решение:
.
Задача 80.
Вычислить определитель: 
.
Решение:
.
Задача 81.
Для данной матрицы 
найти обратную
1. методом исключения:
2. методом присоединенной матрицы.
Решение:
1. 
;
2. 
; 
.
Задача 82.
Решить матичное уравнение 
1. методом исключения;
2. методом обратной матрицы.
Решение:
1. 
;
2. Введем обозначение 
, тогда уравнение запишется в виде 
. Умножив слева это уравнение на обратную матрицу 
, которая существует, поскольку 
.
.
Тогда 
.
Задача 83.
Вычислить определитель третьего порядка 
.
Решение:
Используя формулу Саррюса, получим:
.
Задача 84.
Найти ранг матрицы методом элементарных преобразований:
.
Решение:
Приведем матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:
Полученная матрица содержит две ненулевые строки, значит, ее ранг равен 2. Следовательно, ранг исходной матрицы также равен 2.
Задача 85.
Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров и указать один из базисных миноров 
.
Решение:
Так как у матрицы A есть ненулевые элементы, то 
. Найдем какой-либо ненулевой минор 2-го порядка (если он существует). Таким минором является, например 
.
Значит, 
. Вычислим миноры третьего порядка, окаймляющие 
:
;
Все миноры 3-го порядка, окаймляющие , равны нулю, следовательно 
. Итак, 
.
Одним из базисных миноров является 
.
Практическое занятие 9. Многочлены
Вопросы для повторения
1. Сложение и умножение многочленов.
2. Теорема о делении с остатком.
3. Понятие корня многочлена.
4. Понятие кратности корня многочлена.
5. Схема Горнера.
6. Соотношение степени многочлена и числа его корней.
7. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие.
8. Метод неопределенных коэффициентов.
Задача 86.
Выполнить деление с остатком 
на 
.
Решение:
| | | |||
 |    | |||
 | ||||
 | ||||
 | ||||
 | ||||
 | ||||
Задача 87.
на 
.
Решение:
| | | |||
 |    | |||
 | ||||
 | ||||
 | ||||
 | ||||
 | ||||
 | ||||
 | ||||
Задача 88.
на 
.
Ответ: (Частное 
, остаток 
).
Задача 89.
на 
.
Ответ: 
.
Задача 90.
При каком условии полином 
делится на полином 
.
Ответ: 
.
Задача 91.
При каком условии полином 
делится на полином 
.
Ответ:
Если 
, то 
; если 
, то 
.
Схема Горнера
Пусть 
.
Если 
, то коэффициенты многочлена 
и 
проще всего найти по схеме Горнера.
 |  |  |  |  |  | |
 |  |  |  | |  | |
Задача 92.
Пользуясь схемой Горнера вычислить .
, 
.
Ответ:
| -3 | -10 | ||||
.
Задача 93.
Пользуясь схемой Горнера вычислить .
, 
.
Ответ:
| -3 | -4 | ||||
| -1 | -4 |
.
Задача 94.
Пользуясь схемой Горнера вычислить
, 
.
Ответ:
| -8 | -50 | ||||
| -4 | -18 |
.
Задача 95.
Пользуясь схемой Горнера вычислить
, 
.
Ответ:
.
Задача 96.
Разложить на простейшие дроби 
.
Ответ: 
.
Задача 97.
Разложить на простейшие дроби 
.
Ответ: 
.
Задача 98.
Разложить на простейшие дроби 
.
Ответ: 
.
Задача 99.
Разложить на простейшие дроби (не вычисляя коэффициентов) 
.
Ответ:
.
Задача 100.
Разложить на простейшие дроби (не вычисляя коэффициентов) 
.
Ответ: 
.