Какие точки линии (фагуры) сечения поверэшоотйвращения называется характерными, особыми, оиоряыми?.

Канд.техн.наук ,доцент

*,екцаей методических учно-методического гвтута ,

ОГЛАВЛЕНИЕ

ШаШИТЕЛШЬОВ "ЗАМЕЯАЕИН.................................... ;........................... 4

1, СОдаРЖАШШ ЗАДДЧ И ТРББШАНШ

К ОФОИМЕШ^Ю ЧЕРПЗДЙ......................................................................... 4

2. ДОСДЩШАТМШОСТЬ ?ШЕШ ЗАДАЧ............................................... 5

2Д. Построение сеченая призмы

плоскостью приложение Ц,2) .............. 6

■2.2. Построение натуральной величины

фигуры сечения................ ...» . 6

2«3« Построение развертки прдзмц методом

нормального сеченая * . . • ^........... ♦ * 7

2.4, Построение развертка призмы метода*

раскатки (приложение 2) ,•»•«..,,..•* .8 2Л5,- Построение сечешш и развертки

пирамида (приложение 3) ♦................ 9

3. Д0С??05ШЕ СЕЯШЙ КРИВОЛИНЕЙНЫХ

. ЯШЕШОСТЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ ...••*................................................ 9

3.1»'Построение сечения ж развертки цйландра

вращения (приложение 4) •'•••••»*.......... 10

3.2. Построение сечения и развертки конуса

вращения (приложение 5 )•••_•••••••.•. .И

4.ВОПРОСЫ ДШСАМОПРОВЕРКИ *'•."."..•................................... 14

СПИСОК ЖГВРАХУРЫ♦"■♦■*• ••••••»••••■........................ 23

. ШШЮЖЕНЖ 1,2,3,4,5// на вклейках/

^ ЗАМЕЧАНИЕ /

В программу курса начертательной 'геометрии включено випол- >■ некие домашних графических работ. В состав эпюра 2 входят зада­чи, охватызавдие разделы:

1. Пересечение многогранников плоскостью»

2. Пересечение криволинейных поверхностей плоскостью.

3. Использование методов преобразования чертежа для построе­
ния проекций сечения и нахождения его натуральной вели­
чины.

4. Построение разверток многогранников и криволинейных по­
верхностей. . .

Приступая к выполнению эпюра 2, не обходимо прорабатать по учебнику [.!,] соответствующие теш.

Решение задач эпюра 2 дает возможность студентам ознакомить­ся с несколькими способами построения сечений многогранных и криволинейных поверхностей, а также построения разверток. Полу­ченные знания могут быть использованы при проектировании а выпол-нени работ по сопряжению элементов конструкций, имеющих плоские сечения. Построение разверток необходимо при изготовлении какой-л#бодетали, изделия или конструкции, получаемой путем свертыва­ния из 'листового материала.

Точные графические построения, необходимые ддя выполнения эпюра 2, прививают студентам навыки работы карандашом, циркулем и линейкой. Оформлению чертежей предшествует изучение чертежных ГОСТов, стандартов ЕСКД. Все полученные при работе над эпюром 2 знания и умения будут использованы студентами при изучения по­сле дующих разделов начертательной геометрии, курсов машинострои-. тельного и строительного черчения»

I. СОДЕЙ/ШИВ ЗАЛДЧ И ТРЕБОВАНИЕ К ОФОВШНИЮ ЧЕРТЕ2ЕЙ ".■■".

При выполнении эпюра 2 требуется решить следующие задачи:

!♦ Построить проекцди сечения геометрического тела плоскостью,

2. Определить натуральную величину фигуры сечения*

3. Построить полную развертку поверхности усеченной части
геометрического тела.

Исходные данные для решения задач приведены на с. 15 - 22 _#

Студент выбирает свой вариант в соответствии с порядковым но­мером, дод которым стоит его фамилия б нурнале учета посещаемос­ти.

Работа выполняется на листе чертежной бумаги формата. A3 (297 х 420) в'карандаше в соответствии с требованиями стандар­тов 2CKJL

Перед выполнением изображений необходимо тщательно продумать кшпоновку чертека, нанести рамку, основную и дополнительную, надписи- и разместить изображения и обозначения так, чтобы они равномерно располагались на поле чертека , не накладывались друг на друга, буквы и.цифры недолшш пересекаться'никакими, линиями. ' Сначала чертежи -выполняютсяв топких 'линиях а представляют­ся преподавателю .ддя проверки. После исправления замечаний необ­ходимо выполнить обводку мягким карандашом с соблюдением толщины ланий по ГОСТ 2.303-68 "Линии"•

Ланий видимого контура обводятся сплошной толстой» линии невидимого контура - штриховой, линия построения - сплошной тон­кой, осевые и центровые - штрихпунктирной, линии перегиба на раз­вертках - штрихпунктирной с двумя точками. Искомые элементы (про-екцйл сечения, натуральная величина фигуры сечения) допускается обводить цветным карандашом или фломастером. Дри оформлении чер­тежа глбчшо^ использовать отмывку акварельными красками и тушью. Точки отмечаются кручкамд диаметром I...I.5 мм. Надписи и обоз­начения выполняются шрифтом типа Б с наклоном около 75* высотой 5 мм до ГОСТ 2_#304-81 "ирифтн чертежные". Следует обратить вни­мание на написание прописных и строчных букв латинского и гре­ческого алфавита.

2. n^J^CBATIidbtiOCTb РЩШШЙ ЗАДИ

ВардантыАИ заданий эпюра 2 предусмотрено построение проек­ций, сечения многогранников (призмы или хшращды) а тел вращения (цилиндра или конуса) плоскостью общего положения» Необходимо также найти натуральную величину- сеченая и выполнить полную р&звертку усеченно?! часта тела, находящуюся меаду секущей плос­костью и о

2.1# Построение сечения призмы плоскости)

(приложение 1.2)

Для построения сечения многогранника плоскостью необходи­мо либо найти точки встречи ребер многогранника с секущей плос­костью, либЬ построить линии пересечения его граней- с этой плоскостью. В вариантах заданий ребра и грани многогранников за нимают общее положение относительно плоскостей проекций J2*y и J2~Ј • Секущая плоскость ОС , заданная различными способами, также занимает общее положение,

Для решения задачи преобразуем чертек таким образом, что­бы плоскость ОС заняла проецарущее положение. Используем для этого способ замены плоскостей проекций. .'-'.-

где ЛцМ&ц \ЈfJ.OC~>Xf#J. flf либо На плоскости проекций &у секущая плоскость ОС шроздаетея в прямую - след eXJT^- /£ * _. У . , \ Находим точки встреча секущей плоскости С( с ребрами призмы.

£ AA'J AA^l ? аЛ » fy

По принадлежности: определяем проекции этих точек на < плос­кости проекций *Јf и %г '• Треугольники ff2fЈ? и fz*?z3>z являются иоксшыма проекциями сечения др&змы плоскостью.

2Л* Построение натуральной ведшч!шы сечения . ••■' >- '■ -. \ ■■ > --

Дяя построения натуралрьной величины .сечения удобно зевать способ шюскодар&яледьного перемещения. Плоскость треу- _ гольника 123 располагаем параллельно ^плоскости проекций %Xf • На чертеже его вырожденная проекция 4^2^^ расположатся парал­лельно оса Xff 't : >

Д 1Z3

тогда на плоскость t-?; он будет проецироваться в свею нату-ралъную величину, то есть:

'2,3. Построзные развертки призмы методом нормального сечения

На примере, рассмотренного з приложении'!, диш построения
развертка призмы использован метод нормального сечения. Он за­
ключается в следующем: . ■

1, Пересекаем боковые грана призыы плоскостью> перпеидцку-'
лярной к ребрам.

2, Строим проекции сечения я нахо^дям натуральную величину
фигури сечения. • •

3, На прямой откладиззем отрезки, равные сторон?^ Фигуры
сечения.

4* .Через лолученкые точки проводим прямые, перп^ндд^уляр-1йо.эа¹ой прямой,и откладиваем на них отрезка, равьме натураль­ной Bejiii4iiHe боковых ребер призмы» Полученные точки соединяем отрезками пряглых*

■ З.расс?лотрениомш нами случае секущая плоскость ОС , sa-денкал на чертеже поресеченном горизонтали л фронтаяа, лерпен-дикулярне боковым ребрам призмы OCd САА']\ [BB'J'; CCC'J . Следовательно, иолучониое сечехше - треугольник.123 - является нормальным (от слова "нормаль^.^п^рп^ндакуляр) сечением призмы.

Преобразованная прбекция ii 2} J/ есть натуральная

. величина этого нормального сечения;

Ка прямой откладываем отрезки [12] , S^ * C^Ij • равные сторонам фигуры оечения !jf2j]. i C%³x^ * ^1 "^1^ * Через точки .1,2,3 проводам .перпендикуляры и откладываем по • разные стороны от прямой I-I отрезка, равные нат:/ральной величи­не ребер прлэмы* Размеры ребер берем о проекции на плоелсостя Јq _f где они проецируется без искажения:

LA11*LA₄ м; СВ2] '[6,2*]; [С 5]*CC₉3«J ,

К полученной развертке боковой поверхности усеченной приз­мы достраиваем ни;:шее основание.- треугольник АБС и нятураль-

нув величину сечения ~ треугольна.:, 123. . .

Полученная плоская фигура есть полная развертка усеченной части "призмы,

2 А♦Построение развертки призмы методом раскатал
(приложение 2) .

На примере,■'рассмотренного к■ приложении 2; для построения рззворзкя призмы.рационально использовать метод'.раскаткл. Этот метод удобно применять в тогл случае,, когда боковые ребра призмы параллельны одной из плоскостей проекций,, а основание ее проец руется в натуральную величину. Именно такоепсложений занимает призма, б это?^ призере': её боковые ребра параллельны плоскости ■ S/i-z * а основание ABG располагается .в плоскости Л-f. .

Метод раскатки заключается в том, что мы последовательно _: вращаем грани приводы вокруг ребер до положения, параллельного :■■ плоскости проекций* • .. - ■•'■..-.. ■ , ^ ■ .. .

Вращаем граяъ АА 'В В' вокруг ребра, А А ."₉ как. вокруг' фрон .тали,-до полс'^ения параллельного плоскости-. J&2 - Точки ''--В' ■.;. н 3 будут перемещаться, б плоскостях /S \ и . 6 - _з перпендику лярных к оси вращения, На черт елее.,. Л - .. , .

о St г и fijc? -L Т АгАг'} '.'■. .' ';■ ; , ■ . ■ ' ■■■'

Величину радиуса вращения для. точек :в- н; В искать, нэ-надо, так как сторона грани £ЛД/проецируется на,..:^у без ..

бч

■искажения. Из точки vfz _:к ^г' ка следа:: СГлг'. ■ ^:и ;JS^'Z ■.:
делаем засечку. разгиеро^, равным отрезку /f/4f £_г]₇& получаем.-7б

■ки 5 и !«S^х .-, Грань призмы ' АА'.В'В " расположилась играя-
лельно плоскости ■. ^Сг й , сироецировалась на нее без .искелсения
Аналогично находка катураяытую величину; остальных, граней, Дерз
носил- на'развертку спорные ^очки фигуры сечения -1,2 и 2, при
страиваем нкшхбе ошование .-■■треугольник. А1зС■ л катур^льнув зе^
чяну'фигуры сечения - треугаяьш!д. ~23*. /. ■ ' '. "'■

Проекции, сечения призмы плоскостью (X , и его ■ натуральную ■-
величину находим тше же, как и:в лрадь£дтуп;ем примере* .

2.0. Построение сечехшя и. разЕертки пирамида .(пр^хлоЕение 3)

На примере, рассмотрешю.-л в приложении 3, построено сечение

плоскостью обцего положения (X • найдена его натураль­ная величина и достроена долнач развертка усеченной часта пира­миды* Как и в ранее рассмотренных примерах, плоскость (X об­щего положения способом замены плоскостей проекций преобразована в проедаруицую, найдены точней встречи ребер с згой плоскостью и построены проекции фигуры езчения 1234. Саюсобом плоскопараллель­ного перемещения найдена игт^ажь^яя величина фигура сечения* . ^ Грани пирамиды предст-ав-^яют собой треугольники, поэтому раз­вертка её боковой поверхности Судет составлена из треугольников (метод триангуляции)♦ Построение развертки призмы сводится к ка-ховденшз натуршхьных величин треугольников - граней пирашши

Найдем натуральную величину боковых ребер пирамиды, исдоль-зуяспособ вращения вокруг оси, перпендикулярной к плоскости Jfy и проходящей черезвершину пирамиды S г

(cjlSi) л {СэЗ).

Располагаем боковые ребра пирамиды в плоскости /$ » па­раллельной плоскости проекций \Хг * ibc горизонтальные проекции будут параллельны оси У^ f а на фронтальной плоскости проекций ребра спроедаруются в натуралькуи величину. Опорные точки фигура сечения I» 2f 3 ж 4 перенесем на соответствующие им боковые ребра.

До Tpei* сторонам, используя способ засечек, строим натураль­ную величину треугольников - граней пирамида, переносам аа реб­ра точка I» 2» 3* и 4 фигуры сеченяя и достраиваем основание А В С О я натуральную величину фаирурн сечения - четырехуголь­ник 1234. ■ ■ . . .

з* аострошав сжш& криволинейных шоскостью

. В об^ем случае при пересечении криволинейной поверхности плоскостью получается плоская кривая линия» Щ проекции на чер-теае начинают строить с определения положения опорных точек. К

кмм относятся верхняя и нижняя точзш Фигуры сечения, права?! и девая* точки '"видимости", отделяющие зидшую часть кривой от не-' видалой и другие характерные точка фигуры.сечения, ■Если поверх- ₅ нсоть не.является проецирующей, а секущая плоскость занижает об--. щее положений, то для построения как опорных,так и яромэзсуточшх точек сеченкя используется метод .вспомогательных секущих хиюс-костей*

Однако решение такой задачи ноящо упростить, еслк одним из_г
способов преобразования чертежа (например заменой' плоскостей
.проекцией) сделать секущую плоскость проецирующей» Тогда проекция
фигуры сечения на'плоскости Лу' будет вырождаться в отрезок
.прямой, а-проекций её точек на плоскостях S\ и Ж _z нахо- ,•
дятся по пржаддеш-юетд к поверхности заданного геометрического
тела* . . ' . ;

3Л. Построение сечения и развертки цилиндра -^:

зращешя (приложение 4) . , •....

В; рассматриваемой примерз требуется достроить сечекде хщ-
линдра плоскостью общего полол:ения (X ₃ определить натуральную
величин/ сечения и построить полную развертку усеченной части •'
цшшндра* ■ ■ .

Как и в ранее рассмотренных примерах, преобразуем чертеж ■;
так, чтобы плоскость ОС стала проецирующей. Используем сирсоб
замены плоскостей проекций. • ; - '

Сечение боксзсЁ поверхности'вдликдра представляет собой эляяпс. На плоскости.проекций ^у проекция сечения вырождается в от­резок прямой, дринадлеЕащей следу плоскости olJli? , Найдем опорные точки, сечения: конда большой .и малой осей злдапса, точ­ке видимости. Поскольку ось цилиндра перпендикулярна горизонталь­ной плоскости проекцаЁ, то проекция его боковой поверхности вы-роадазтея на плоскость ^/ б окружность* Горизонтальная про- ; екция фигуры сечения (эллипс), совпадает с вырожденной проекци­ей боковой поверхности щупшдра на плоскости JT/ • Фронтальную

II

проекцию сечения строим по принадлежности его точек образующим цилиндра.

Большая ось эллипса - сечения (отрезок-15) располагается на линии ската плоскости ОС , малая ось (отрезок - 37) - на го­ризонтали этой плоскости. Точки видимости 2 л б лежат на очэр-• ковых образуюпщх^циллндра. Находим их проекции сначала в систе­ме плоскостей -^ , а затем строим их фронтальные пгоекцли по принадлежности Ъоотзетстзующ&м образующим цилиндра.

■ Натуральную ве 1лчкну фигуры сечэния -опреде.-1яем способом плоежопараллельного перемещения» Построение эллипса по большой и малой оси доказано в приложении 4«

- Лчя построения развертка боковой поверхности цилиндра в не­го вписана восьмигранная пряглая призма* Затем выполнена разверт­ка этой призри методом нормального сеченая, так как рс-Зра её перпендикулярны плоскости Ji<f , а основание представляет собой натуральную величину нормального сечения.

. На прямой откладываем сгр^зш-!, равные хордам дуг/"1_т 2_Т] f% 3jj . ♦ . flj 8jj ; через иол/чтпыз точки проводим перпендикуляры и откладываем на них отрезка» равные высоте то-чв!с 1_#2/ .*_# 8 над плоскостью *ЯV (высота точка берется с фрон-тахьвсй плоскости проекций)* йожрюппио точки соединязотся плавной кривой (синусоидой)_tиспользуя лекало* Доотраиваеи верхнее и неж-liee основшшя усеченной ч&отш цилиндра*

'" -' 3,2, Построение св^ешш и разввртш! конуса ■■-.■* . вращения (приложение б)

В з.авлошоояи m положения mtfml плоскости на поверхнос-- ти^|сокуса вращещя может образовываться одна из кривых второго порядка ~ окружность, элягше, яарабола, гипербола.

На пршере, рассмотренном в приложении 5, плоскость (X пе ресекает все образующие конуса под некоторым углом, В сечении подучается эллипс.

у С с ооб замены плоскостей проекций

< / Для построения проекций сечения преобразуем чертеж так» -чтобы секущая плоскость ОС стала проецирующей* Используем сло-ооб замены плоскостей проекций

На плоскости J2z' проекция сечения вырождается в отрезок прямой \\^ Ь^] , лежащей на следе плоскости О\.Лу.

Большая ось эллипса - сечения - отрезок [lb] лежит на ли­нии ската плоскости (К .Проведем вспомогательную горизонталь-но-проецирущузэ плоскость В через вершину конуса о перпендикулярно плоскости ОС:

A

Такая плоскость пересечет поверхность конуса <-^> по двум образующим, а плоскость (К - по линии ската:

ji п.сд -C&ZJ ; CSy] - ;

П (X - CMNJ .

На плоскости Jc^ в пересечения "следа с£Жц ъ очерковыми образующими [&'-£б] и CSyJ/y] находил точшх 1_Д и . Ig . " "

Отрезок [i^ 5^J?*[i5j является большой одью эллипса-^е-чзния. Строим проекции линии ската CMMJ на плоскостях «4/' я Jlz ж по принадлежности находим проекции точек I и 5*

_кЧтобы найти малую ось эляилса-сечеик^проводам. горизонталь­
ную плоскость J" через середину отрезка j[l5J - точку О
(центр эллипса). Эта плоскость пересечет конус по окружности
(параллели), а плоскость & ~ по горизонтаж. В ед пересече­
нии набеги точБа Зи 8, - '. "

- Точки видиглостд 2 к 6 находзиий, проведя фронтальную плос­кость £?" черэз варшину конуса. Она пересечет его поверхность * по очерков -3.1 образующим [SU] и [ £ W], а плоскость ОС -по фрсктали / ^ :

и) =

С пшощью параллели конуса (по принадлеяшо.сти) на чертеже по-., строены проекции промежуточных точек эллипса - 4 и 7.

- Точки 1,2, ... 9 соединяем плавной кривой,используя лека­ло с учетом видимости.

Натуральную величину сечения находим способом плоскопарал­лельного перемещения.

Развертка боковой поверхности конуса вращения представляет собой круговой сектор, центральный угол которого равен.

где Ъ - радиус окружности основания конуса; £ - обра­зующая конуса.

Дуга окружности сектора равна длине окружности основания конуса. •

Чтобы перенести на развертку точки 1,2, ..., S фигуры сече­ния,/; строим на развертке образующие, на которых лежат эти точки. Для этого на дуге сектора последовательно откладываем отрезки:

к т.д., полученные точки соединяем с вершиной сектора S Откладываем на развертке отрезки образующих:

fa U] - CSV ; [ Sb V = [S5] ; ■ [S₂ 2₂] . CS2] ; C62 6₂J -- CS6],

и 3^ ~

они принадленат, вокруг оси конуса до положения, параллельного плоскости *А*{ +. Откладываем ка развертке отрезки:

так как дни проецируются без искажения на плоскостях Л-а л ^^сг * Точки 3^ ~ 8^ и 4^ == 7_Л перено'сйм на очерковую образую­ LSl

В их пересечении находим точки 2 и 6 :

у* П LSI] /^r/7 J

и т.д. Точка I,2_f,.._f9 соединяем плаЕной кривой, исяользуя лека-

ло, достраиваем нижнее основание конуса и натуральную величину фигура сечения - злдипс,

4. ВОПРОСЫ ДЛЯ СМ0ПРШЕШ1

4.1. Чем задаемся призматическая поверхность; поверхность
пирамида?

4.2. Как рассекается призма плоскостью, параллельной боковым
ребрам?

4.3. Что называется разверткой многогранника? Назовите способы
её построения*

4.4. В че:л заключается построение развертки призмы методом
нормального сечения?

4*5* В каком случае моано построить развертку лразглы методом раскатки? Ь чем он заключается?

4,6* В чем состоит построение способом траангуяящн?

4,7. Как образуются конические и цилиндрические поверхности?

4.8.. Какие линии получаются при пересечении цилиндрической . поверхности плоскостью?

i.9. Как найти опорные точке сечения поверхности даландра • плоскостью?

4ДО.Как строится развертка боковой поверхности (шлиндра вра­щения, наносятся на неё точки фигурысечения?

4.II.Каково условие принадлежности точки поверхности?

4• 12.Какие линии палучатесяпри пересеченш конической поверх­
ности плоскостью? ~~ .

4 _# 13.Как используется метод зспоаюгательныж секущих плоскостейдля построения сечения, конуса плоскостью общего положения?

Какие точки линии (фагуры) сечения поверэшоотйвращения называется характерными, особыми, оиоряыми?.