Основные понятия кинематики

Относительность движения. Перемещение и скорость

Цель работы: изучение основных понятий кинематики, относительности движения, моделей.

Краткая теория

Кинематикой называют раздел механики, в котором движение тел рассматривается без выяснения причин этого движения.

Механическим движением тела называют изменение его положения в пространстве относительно других тел с течением времени.

Механическое движение относительно. Движение одного и того же тела относительно разных тел оказывается различным. Для описания движения тела нужно указать, по отношению к какому телу рассматривается движение. Это тело называют телом отсчета.

Система координат, связанная с телом отсчета, и часы для отсчета времени образуют систему отсчета, позволяющую определять положение движущегося тела в любой момент времени.

В Международной системе единиц (СИ) за единицу длины принят метр, а за единицу времени – секунда.

Всякое тело имеет определенные размеры. Различные части тела находятся в разных местах пространства. Однако во многих задачах механики нет необходимости указывать положения отдельных частей тела. Если размеры тела малы по сравнению с расстояниями до других тел, то данное тело можно считать его материальной точкой. Так можно поступать, например, при изучении движения планет вокруг Солнца.

Если все части тела движутся одинаково, то такое движение называется поступательным. Поступательно движутся, например, кабины в аттракционе «Гигантское колесо», автомобиль на прямолинейном участке пути и т.д. При поступательном движении тела его также можно рассматривать как материальную точку.

Тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь, называетсяматериальной точкой.

Понятие материальной точки играет важную роль в механике.

Перемещаясь с течением времени из одной точки в другую, тело (материальная точка) описывает некоторую линию, которую называют траекторией движения тела.

Положение материальной точки в пространстве в любой момент времени (закон движения) можно определять либо с помощью зависимости координат от времени x=x(t), y=y(t), z=z(t) (координатный способ), либо при помощи зависимости от времени радиус-вектора (векторный способ), проведенного из начала координат до данной точки (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Координатный и векторный способы определения положения тела в пространстве.

Перемещением тела называют направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением. Перемещение есть векторная величина.

Пройденный путь l равен длине дуги траектории, пройденной телом за некоторое время t. Путь – скалярная величина.

Если движение тела рассматривать в течение достаточно короткого промежутка времени, то вектор перемещения окажется направленным по касательной к траектории в данной точке, а его длина будет равна пройденному пути.

В случае достаточно малого промежутка времени Δt пройденный телом путь Δl почти совпадает с модулем вектора перемещения При движении тела по криволинейной траектории модуль вектора перемещения всегда меньше пройденного пути (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Пройденный путь l и вектор перемещения при криволинейном движении тела. a и b – начальная и конечная точки пути.

Для характеристики движения вводится понятие средней скорости: . (1.1) В физике наибольший интерес представляет не средняя, а мгновенная скорость, которая определяется как предел, к которому стремится средняя скорость за бесконечно малый промежуток времени Δt: . (1.2) В математике такой предел называют производной и обозначают или . Таким образом, мгновенная скорость материальной точки (тела) – это первая

производная от перемещения по времени.

Мгновенная скорость тела в любой точке криволинейной траектории направлена по касательной к траектории в этой точке. Различие между средней и мгновенной скоростями показано на рис. 1.3.

Рис. 1.3. Направления средней и мгновенной скорости, перемещения.

При движении тела по криволинейной траектории его скорость изменяется по модулю и направлению. Изменение вектора скорости за некоторый малый промежуток времени Δt можно задать с помощью вектора (рис. 1.4). Вектор изменения скорости за малое время Δt можно разложить на две

составляющие: тангенциальную (касательную) составляющую , направленную вдоль вектора , и нормальную составляющую , направленную перпендикулярно вектору .

Рис. 1.4. Изменение вектора скорости по величине и направлению.

Мгновенным ускорением (или просто ускорением) тела называют предел отношения малого изменения скорости к малому промежутку времени Δt, в течение которого происходило изменение скорости: . (1.3) Направление вектора ускорения в случае

криволинейного движения не совпадает с направлением вектора скорости . Составляющие вектора ускорения называют касательным (тангенциальным) и нормальным ускорениями (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Касательное и нормальное ускорения.	Касательное ускорение указывает, насколько быстро изменяется скорость тела по модулю: . (1.4) Вектор направлен по касательной к траектории. Нормальное ускорение указывает, насколько быстро скорость тела изменяется по направлению.
Рис. 1.6. Движение по дугам окружностей.	Криволинейное движение можно представить как движение по дугам окружностей (рис. 1.6). Нормальное ускорение зависит от модуля скорости υ и от радиуса R окружности, по дуге которой тело движется в данный момент: . (1.5)

Вектор всегда направлен к центру окружности.

Из рис. 1.5 видно, что модуль полного ускорения равен:

. (1.6)

Таким образом, основными физическими величинами в кинематике материальной точки являются пройденный путь l, перемещение , скорость и ускорение . Путь l является скалярной величиной. Перемещение , скорость и ускорение – величины векторные. Чтобы задать векторную величину, нужно задать ее модуль и указать направление.

Векторные величины подчиняются определенным математическим правилам. Вектора можно проектировать на координатные оси, их можно складывать, вычитать и т.д. Изучите модели «Вектор и его проекции на координатные оси», «Сложение и вычитание векторов».

	Модель демонстрирует разложение вектора на составляющие путем проектирования вектора на координатные оси X и Y. Изменяя на графике с помощью мыши модуль и направление вектора проследите за изменением его проекций и . Изменяя проекции и , проследите за модулем и направлением вектора
Модель. Вектор и его проекции на координатные оси.

d:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\buttonModel_h.gif

	Модель позволяет изменять модули и направления векторов и и строить вектор – результат их векторного сложения или вычитания. Можно также изменять проекции векторов и и убедиться, что проекции вектора на координатные оси равны соответственно сумме или разности проекций векторов и
Модель. Сложение и вычитание векторов.

Движение тел можно описывать в различных системах отсчета. С точки зрения кинематики все системы отсчета равноправны. Однако кинематические характеристики движения, такие как траектория, перемещение, скорость, в разных системах оказываются различными. Величины, зависящие от выбора системы отсчета, в которой производится их измерение, называют относительными.

Пусть имеются две системы отсчета. Система XOY условно считается неподвижной, а система X'O'Y' движется поступательно по отношению к системе XOY со скоростью . Система XOY может быть, например, связана с Землей, а система X'O'Y' – с движущейся по рельсам платформой (рис. 1.7).

Рис. 1.7. Сложение перемещений относительно разных систем отсчета.

Пусть человек перешел по платформе за некоторое время из точки A в точку B. Тогда его перемещение относительно платформы соответствует вектору , а перемещение платформы относительно Земли соответствует вектору . Из рис. 1.7 видно, что перемещение человека

относительно Земли будет соответствовать вектору , представляющему собой сумму векторов и :

. (1.7)

В случае, когда одна из систем отсчета движется относительно другой поступательно (как на рис. 1.7) с постоянной скоростью это выражение принимает вид:

. (1.8)

Если рассмотреть перемещение за малый промежуток времени Δt, то, разделив обе части этого уравнения на Δt и затем перейдя к пределу при Δt→0 получим:

, (1.9)

здесь – скорость тела в «неподвижной» системе отсчета XOY, – скорость тела в «движущейся» системе отсчета X'O'Y'. Скорости и иногда условно называют абсолютной и относительной скоростями; скорость называют переносной скоростью.

Соотношение (1.9) выражает классический закон сложения скоростей: абсолютная скорость тела равна векторной сумме его относительной скорости и переносной скорости подвижной системы отсчета.

Следует обратить внимание на вопрос об ускорениях тела в различных системах отсчета. Из (1.9) следует, что при равномерном и прямолинейном движении систем отсчета друг относительно друга ускорения тела в этих двух системах одинаковы, т.е. . Действительно, если – вектор, модуль и направление которого остаются неизменными во времени, то любое изменение относительной скорости тела будет совпадать с изменением его абсолютной скорости. Следовательно,

. (1.10)

Изучите модель «Относительность движения».

	Модель демонстрирует относительность движения на примере лодки, пересекающей реку. Изменяя модуль и направление скорости лодки, скорость течения реки и точку старта лодки, наблюдайте за траекторией переправы лодки через реку. Скорость лодки в системе отсчета, связанной с Землей, равна векторной сумме скорости лодки относительно воды и скорости течения реки .
Модель. Относительность движения.

Переходя к пределу (Δt→0), получим . В общем случае, при движениях систем отсчета с ускорением друг относительно друга, ускорения тела в различных системах отсчета оказываются различными.

В случае, когда вектора относительной скорости и переносной скорости параллельны друг другу, закон сложения скоростей можно записать в скалярной форме:

υ = υ₀ + υ'. (1.11)

В этом случае все движения происходят вдоль одной прямой линии (например, оси OX). Скорости υ, υ_о и υ' нужно рассматривать как проекции абсолютной, переносной и относительной скоростей на ось OX. Они являются величинами алгебраическими и, следовательно, им нужно приписывать определенные знаки (плюс или минус) в зависимости от направления движения.

Простейшим видом механического движения является движение тела вдоль прямой линии с постоянной по модулю и направлению скоростью. Такое движение называется равномерным. При равномерном движении тело за любые равные промежутки времени проходит равные пути. Для кинематического описания равномерного прямолинейного движения координатную ось OX удобно расположить по линии движения. Положение тела при равномерном движении определяется заданием одной координаты x. Вектор перемещения и вектор скорости всегда направлены параллельно координатной оси OX. Поэтому перемещение и скорость при прямолинейном движении можно спроектировать на ось OX и рассматривать их проекции как алгебраические величины.

Если в некоторый момент времени t₁ тело находилось в точке с координатой x₁, а в более поздний момент t₂ – в точке с координатой x₂, то проекция перемещения Δs на ось OX за время Δt = t₂ – t₁ равна Δs = x₂ – x₁.

Эта величина может быть и положительной и отрицательной в зависимости от направления, в котором двигалось тело. При равномерном движении вдоль прямой модуль перемещения совпадает с пройденным путем. Скоростью равномерного прямолинейного движения называют отношение

. (1.12)

Если υ>0, то тело движется в сторону положительного направления оси OX; при υ<0 тело движется в противоположном направлении.

Зависимость координаты x от времени t (закон движения) выражается при равномерном прямолинейном движении линейным математическим уравнением:

x(t) = x₀ + υt. (1.13)

В этом уравнении υ=const – скорость движения тела, x_о – координата точки, в которой тело находилось в момент времени t=0. На графике закон движения x(t) изображается прямой линией. Примеры таких графиков представлены на рис. 1.8.

Рис. 1.8. Графики равномерного прямолинейного движения.

Для закона движения, изображенного на графике I (рис. 1.8), при t=0 тело находилось в точке с координатой x0=–3. Между моментами времени t1=4 с и t2=6 с тело переместилось от точки x1=3 м до точки x2=6 м. Таким образом, за Δt= t2–t1 =2 с тело переместилось на Δs=x2–x1 = 3 м. Следовательно, скорость тела составляет

.

Величина скорости оказалась положительной. Это означает, что тело двигалось в положительном направлении оси OX. Обратим внимание, что на графике движения скорость тела может быть геометрически определена как отношение сторон BC и AC треугольника ABC (рис. 1.9) .

Чем больше угол α, который образует прямая с осью времени, т.е. чем больше наклон графика (крутизна), тем больше скорость тела. Иногда говорят, что скорость тела равна тангенсу угла α наклона прямой x(t). С точки зрения математики это утверждение не вполне корректно, так как стороны BC и AC треугольника ABC имеют разные размерности: сторона BC измеряется в метрах, а сторона AC – в секундах.

Аналогичным образом для движения, изображенного на рис. 1.9 прямой II, найдем x₀=4 м, υ = –1 м/с.

Рис. 1.9. Кусочно-линейный закон движения.

На рис. 1.9 закон движения x(t) тела изображен с помощью отрезков прямых линий. В математике такие графики называются кусочно-линейными. Такое движение тела вдоль прямой не является равномерным. На разных участках этого графика тело движется с различными скоростями, которые также можно определить по наклону соответствующего отрезка к оси времени. В точках излома графика тело мгновенно изменяет свою скорость.

На графике (рис. 1.9) это происходит в момент времени t₁= –3 с, t₂= 4 с, t₃= 7 с и t₄ = 9 с. Нетрудно найти по графику движения, что на интервале (t₂; t₁) тело двигалось со скоростью υ₁₂=1 м/с, на интервале (t₃; t₂) – со скоростью υ₂₃= –4/3 м/с и на интервале (t₄; t₃) – со скоростью υ₃₄ = 4 м/с.

Следует отметить, что при кусочно-линейном законе прямолинейного движения тела пройденный путь l не совпадает с перемещением s. Например, для закона движения, изображенного на рис. 1.10, перемещение тела на интервале времени от 0 с до 7 с равно нулю (s=0). За это время тело прошло путь l= 8 м.

Изучите модель «Перемещение и скорость».d:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\buttonModel_h.gif

	Модель иллюстрирует понятия перемещения и скорости при равномерном движении тела вдоль оси X. График движения x(t) составлен из участков прямых. График можно изменять, перемещая с помощью мыши выделенные точки на графике. При движении тела на каждом участке графика вычисляются его скорость υ и перемещение s.
Модель. Перемещение и скорость.