Если сумма степеней косинуса и синуса – целое отрицательное число, тоинтеграл можно свести к тангенсам и его производной
Для интеграла 
– целое отрицательное число.
Для интеграла 
– целое отрицательное число.
Для интеграла 
– целое отрицательное число.
Рассмотрим пару более содержательных примеров на это правило:
Пример 20
Найти неопределенный интеграл
.
Сумма степеней синуса и косинуса 
: 2 – 6 = –4 – целое отрицательное число, значит, интеграл можно свести к тангенсам и его производной:
(1) Преобразуем знаменатель.
(2) По известной формуле получаем 
.
(3) Преобразуем знаменатель.
(4) Используем формулу
.
(5) Подводим функцию под знак дифференциала.
(6) Проводим замену 
. Более опытные студенты замену могут и не проводить, но все-таки лучше заменить тангенс одной буквой – меньше риск запутаться.
Далее берётся простой интеграл и проводится обратная замена.
Пример 21
Найти неопределенный интеграл
.
Это пример для самостоятельного решения.
Пример 22
Найти неопределенный интеграл
.
В этом интеграле изначально присутствует тангенс, что сразу наталкивает на уже знакомую мысль:
.
Пара творческих примеров для самостоятельного решения:
Пример 23
Найти неопределенный интеграл
.
Пример 24
Найти неопределенный интеграл
.
Да, в них, конечно, можно понизить степени синуса, косинуса, использовать универсальную тригонометрическую подстановку, но решение будет гораздо эффективнее и короче, если его провести через тангенсы. Полное решение и ответы в конце урока.
Переходим к заключительному пункту путешествия в мир сложных интегралов:
Интеграл от корня из дроби
Интеграл, который мы рассмотрим, встречается достаточно редко, но я буду очень рад, если единственный пример данного параграфа вам поможет.
Корнями всё начиналось, корнями и закончится. Рассмотрим неопределенный интеграл:
, где a, b, c, d – числа.
Считаем, что все эти числа и коэффициенты не равны нулю.
В подынтегральной функции у нас находится корень, а под корнем – дробь, в числителе и знаменателе которой располагаются линейные функции.
Метод стар – необходимо избавиться от корня. Стар и уныл, но сейчас станет веселее, поскольку придется проводить непростую замену.
Замена, с помощью которой мы гарантированно избавимся от корня, такова:
.
Теперь нужно выразить «икс» и найти, чему равен дифференциал dx.
Выражаем «икс»:
Теперь найдем дифференциал:
Зачем были эти нелепые скучные телодвижения?
Мы вывели готовые формулы, которыми можно пользовать при решении интеграла вида
!
Формулы замены таковы:
.
Заключительный пример:
Пример 25
Найти неопределенный интеграл
.
Проведем замену:
.
В данном примере: a =-1, b = 2, c = 3, d = 1. Тогда для dx имеем:
.
Таким образом:
.
Такой интеграл, кстати, уже фигурировал в Примере 13. Интегрируем по частям:
Проведем обратную замену. Если изначально
,
то обратно:
.
Преобразуем далее:
.
Некоторым страшно, а я это продифференцировал, ответ верный!
Иногда встречаются интегралы вида
, 
,
но это нужно быть либо слишком умным, либо попасть под раздачу.
Идея та же – избавиться от корня, причем во втором случае, как все догадались, следует проводить подстановку
.
и самостоятельно выводить, чему будет равняться дифференциал dx.
Теперь вам практически любой интеграл по силам, успехов!
Решения и ответы:
Пример 2:Решение:
.
Проведем замену:
Интегрируем по частям:
Пример 3: Ответ:
.
Пример 4:Ответ:
.
Пример 6: Решение:
.
Интегрируем по частям:
Таким образом:
В результате:
Пример 8: Решение:
Дважды интегрируем по частям и сводим интеграл к самому себе:
Таким образом:
Пример 10: Решение:
.
Проведем замену:
Пример 11: Решение:
Замена:
.
Пример 12:Решение:
Замена:
.
Пример 14: Решение:
Дважды используем рекуррентную формулу
Пример 16: Решение:
Пример 18: Решение:
.
Используем формулу приведения:
и формулу двойного угла:
.
Далее имеем
Пример 19: Решение:
Пример 21:Решение: –3 – 3 = –6 – целое отрицательное число, значит преобразуем
Пример 23: Решение:
Пример 24:Решение:
.