Связанные гармонические осцилляторы. Упругие волны

Рассмотрим систему связанных осцилляторов (рис.). Такой системой могут служить N маятников, последовательно соединенных пружинами, или система связанных электрических контуров, или, как это показано на рис., набор материальных точек, соединенных пружинами. Если колебания происходят вдоль оси x, то положение системы N материальных точек можно характеризовать заданием N величин смещений от своих положений равновесия. Таким образом, система осцилляторов обладает N степенями свободы, В отсутствие связи между осцилляторами каждый из них может совершать независимые колебания вблизи своего положения равновесия. В этом случае колебания локализованы в определенной области пространства. Но если мы возбудим колебания в системе связанных осцилляторов, то картина будет другой.

Колебания первоначально возбужденного осциллятора, благодаря упругим свойствам пружины, возбудят колебания соседнего осциллятора, который в свою очередь передаст энергию колебаний следующему соседу и т. д. При этом колебание первоначально возбужденного осциллятора прекратится, а передаваемая энергия колебаний будет распространяться вдоль цепочки, приводя к последовательному перемещению с постоянной скоростью сгущений и разрежении упруго связанных масс. Перенос энергии колебаний в пространстве представляет собой распространение волны.

Обратим внимание на два важных обстоятельства. Во-первых, передача колебаний от одного осциллятора другому стала возможной только благодаря упругому их взаимодействию. Таким образом, физическая причина распространения волны — взаимодействие частиц. Во-вторых, сами колеблющиеся массы остаются на своих местах вблизи положений равновесия, т.е. в процессе распространения волны масса не переносится. Происходит только передача энергии колебаний посредством изменения фазы колебания соседней частицы.

Опишем распространение волны математически. При колебаниях отдельного осциллятора величина, которая характеризует его смещение от положения равновесия, зависит только от времени. Так изменяется смещение массы на пружине или угол наклона маятника, т.е. фаза свободного осциллятора зависит только от одной переменной — времени.

При прохождении волны в цепочке связанных осцилляторов смещение каждой из масс зависит от двух величин — времени и расстояния до источника колебаний. Таким образом, смещение каждой из масс

u_n=u_n(x,t)

Запишем уравнение движения произвольно выбранного n-го осциллятора цепочки. При смещении из положения равновесия на массу действует возвращающая упругая сила, равная -ku_n ( k — жесткость пружины). Одновременно на массу действуют упругие силы, обусловленные смещениями соседних масс: u_n-1 и u_n+1. Взаимодействиями с более удаленными соседями пренебрежем. Слева на рассматриваемую массу будет действовать сила, пропорциональная удлинению левой пружины k(u_n- u_n-1), а справа — аналогичная сила, пропорциональная уменьшению длины правой пружины — k(u_n - u_n+1). В результате уравнение движения примет вид:

. (3.46)

Как уже говорилось, уравнение (3.46) применимо ко многим физическим ситуациям. В частности, оно описывает колебания одномерной цепочки атомов в кристаллической решетке. В этом случае среднее расстояние между атомами является характерной для данного кристалла постоянной величиной, называемой периодом кристаллической решетки. Период решетки очень мал и по величине сравним с размерами атома. При таком расположении атомов в решетке кристалл можно рассматривать как сплошную среду, в которой распределение масс является не дискретным, как на рис., а непрерывным. Будем считать постоянную решетки бесконечно малой величиной. Тогда смещения соседних атомов на расстоянии dx u_n±1 мало отличаются от смещения u_n и их можно разложить в ряды, ограничиваясь первыми членами:

,

где знак d/dx означает производную по x в фиксированный момент времени.

После подстановки этих выражений в уравнение (3. 46), получим:

(по той же причине, что и выше, мы стали писать производную в виде d/dt).

То, что мы сейчас произвели, означает по существу переход от рассмотрения дискретной цепочки атомов, связанных упругими силами, к рассмотрению сплошной нити, в которой распределение масс атомов считается непрерывным. Переход к сплошной среде подразумевает, что мы теперь считаем массы атомов не сосредоточенными в узлах решетки, а «размазанными» на бесконечно малых расстояниях dx, т.е. величина m/dx = r является линейной плотдостью среды. Наконец, выясним физический смысл множителя kdx . Заметим, что жесткость пружины согласно закону Гука F = -kx представляет собой линейную плотность упругой силы. Следовательно, величину kdx = Т можно рассматривать как силу натяжения нити, образованной сплошным линейным распределением атомов. Окончательно, с учетом введенных обозначений, запишем уравнение в виде:

, (3.47)

где смещение теперь зависит от непрерывной переменной x: u = u(x, t).

Полученное уравнение является уравнением распространения упругих волн в одномерной сплошной нити с натяжением Т — струне. Нетрудно сообразить, как должно выглядеть решение уравнения (3.47). Оно должно описывать гармоническое колебание смещения частицы u(t) = u₀cos(ωt + a), которое возникает в какой-либо точке струны и затем распространяется с постоянной скоростью v_u. Пусть колебание возникло первоначально в точке x=0. Частица, находящаяся на расстоянии x от начала координат, приобретает такое же смещение с опозданием на время , необходимое для того, чтобы колебание пришло в точку x. Таким образом, колебание частицы в точке x отстает по фазе от колебания частицы в точке x = 0, т.е. колебание в произвольной точке струны должно иметь следующий вид:

. (3.48)

Выражение (3.48) является решением уравнения (3.47), описывающим бегущую волну. Подставим его в уравнение (3.47), продифференцировав по отдельности дважды по времени и координате. В результате получим скорость упругой волны:

. (r – линейная плотность среды) (3.49)

Формула (3.49) определяет скорость продольных упругих волн струны.

Колебания смещений атомов в продольной волне происходят в направлении ее распространения — вдоль струны. Как известно, упругая волна может быть и поперечной (рис.)— при этом смещения атомов происходят в направлении, перпендикулярном оси х. Величина, определяющая упругие свойства струны в поперечном направлении, называется сдвиговой жесткостью. Она отличается от продольной жесткости k, которая определяет скорость продольных волн. Нетрудно представить, что уравнение для поперечных упругих волн сохранит вид (3.47), но в выражении для скорости распространения поперечных волн войдет компонента силы натяжения нити в направлении сдвига частиц T '.

Поперечные волны могут возникать только в твердых телах. В жидкостях и газах сопротивление атомов сдвигу отсутствует и поэтому в них распростраияются только продольные упругие волны.

Упругие колебания, воспринимаемые человеческим ухом, обычно называются звуком. Эти колебания лежат в области частот от 16 до 20 000 колебаний в секунду. В широком смысле слова звуком можно называть все упругие колебания в сплошной среде. Оценим скорость звуковых волн в газе частиц. В отличие от одномерной цепочки атомов, рассмотренной выше, трехмерный газ частиц характеризуется давлением P и объемной плотностью r_г. Поэтому вместо формулы (3.49) мы получим . Воспользуемся уравнением состояния газа PV = Nk_БT (где N — число частиц; Т — температура газа; k_Б — постоянная Больцмана). Вводя плотность газа r_г=mN/V, где m— масса частицы, находим, что скорость звука в газе частиц оказывается порядка средней скорости теплового движения частиц

.

Это приближенный расчет, но он дает правильную оценку порядка величины скорости звука. Характерные скорости звуковых волн в газах порядка 300 м/с, а в твердых телах ~1000 м/с.

Свойства бегущих волн

Запишем уравнение (3.47) в виде:

. (3.50)

где v— скорость перемещения величины и вдоль оси х. Это уравнение было получено для упругих волн в сплошной струне, но оно не содержит какой-либо специфики упругих волн, а выражает лишь волновой характер изменения физической величины u(x,t) во времени и пространстве. Поэтому, если под величиной v понимать скорость этого изменения, то данное уравнение можно рассматривать как общий вид волнового уравнения для произвольной физической величины u(х, t).

Решением волнового уравнения согласно (3.48) является периодическая по времени и координате функция

u(x,t) = u×cos[ω(t–x/v)+a], (3.51)

которая представляет собой бегущую волну, осуществляющую перенос фазы колебания величины и с постоянной скоростью u вдоль направления распространения волны. Расстояние, на которое перемещается фаза за один период колебания Т, l = v×T называется длиной волны. Удобно для описания волны пользоваться угловыми переменными – угловой частотой ω = 2p/T и волновым числом k = 2p/l. Скорость перемещения фазы может быть выражена через эти величины

v = v_ф =l/T = ω/k (3.52)

и называется фазовой скоростью волны. Заменив в уравнении (3.51) скорость на фазовую, запишем уравнение бегущей волны в виде:

u(x,t) = u×cos(ωt – kx + a). (3.53)

Это уравнение представляет собой наиболее часто употребляемый вид бегущей волны, распространяющейся вдоль оси x.

При распространении волны в сплошной среде колебания испытывает одновременно большое число частиц. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, образует волновую поверхность. Например, в случае волны (3.53), распространяющейся вдоль оси x, волновыми поверхностями являются любые плоскости x = const. Такая волна называется плоской. Поверхность, отделяющая колеблющиеся частицы от остальной области пространства, которой колебания еще не достигли, — фронт волны.

Выше была рассмотрена волна, которая распространялась вдоль оси x . Это случай одномерного распространения, так как положение колеблющейся частицы определяется заданием только одной величины — ее координаты х. Волна может распространяться на плоскости — это случай двухмерного распространения. Наконец, волна может распространяться в трехмерном пространстве. Довольно частой является ситуация, когда источник колебаний локализован в малой области пространства или сосредоточен, а волна распространяется во все стороны от него. Если свойства среды, в которой распространяется волна, одинаковы по всем направлениям, то скорость волны во всех направлениях будет одна и та же, и все волновые поверхности, включая и фронт волны, будут представлять собой сферы с центром в точке нахождения источника колебаний. Такую волну называют сферической. На больших расстояниях от источника, когда радиус сферы, определяющей фронт волны, становится очень большим, участки волнового фронта с размерами, много меньшими расстояния до источника, можно рассматривать как плоские, т. е. считать сферическую волну плоской. Это приближение используется при решении многих задач.

Нетрудно написать уравнение сферической волны. Положение колеблющейся частицы определяется в этом случае только ее расстоянием от источника колебаний r, т.е. фаза колебаний должна иметь вид ωt – kr + a. Амплитуда колебаний в сферической волне, однако, не будет оставаться постоянной — она убывает с расстоянием, как 1/r. Последнее утверждение вытекает из требования, чтобы поток энергии, переносимый волной через поверхность сферы любого, сколь угодно большого, радиуса оставался постоянным. Таким образом, сферическая волна должна иметь следующий вид:

u(r,t) = cos(ωt – kr + a), (3.54)

где a— постоянная величина, численно равная амплитуде волны на расстоянии от источника, равном единице длины.

Найдем уравнение плоской волны, бегущей в трехмерном пространстве вдоль произвольного направления n. Выберем систему координат и возьмем волновую поверхность волны, находящуюся на расстоянии l от начала координат (рис.). Это будет плоскость, перпендикулярная вектору n. Если волна в начале координат задана уравнением:

u(0,t) = u₀×cos(ωt + a),

то колебания частиц на выбранной волновой поверхности будут иметь вид:

u(0,t) = u₀×cos(ωt –kl + a).

Из рис. видно, что = r×cosj = l , поэтому написанному выше уравнению можно придать вид:

u( ,t) = u₀×cos(ωt - k× + a).

Введем вектор

, (3.55)

равный по величине волновому числу и направленный вдоль вектора n направления распространения волны. Величина называется волновым вектором. С его помощью уравнение плоской бегущей волны, распространяющейся в произвольном направлении n, приобретает вид:

u( ,t)= u₀cos(ωt – + a). (3.56)

Получим с помощью выражения (3.56) общий вид волнового уравнения, частным видом которого является (3.50). Колебания частиц в волне являются функцией четырех переменных — трех пространственных координат x, y, z и времени t. Продифференцируем выражение (3.56) по каждой из этих переменных дважды, пользуясь тем, что = k_x+ k_y+ k_z:

Складывая производные по координатам и выражая правую часть полученного выражения через производную по времени, находим:

.

Наконец, заменяя ω/k на фазовую скорость волны (3.52), окончательно получаем:

. (3.57)

Это и есть общий вид волнового уравнения, который был выведен исходя из того, что выражение (3.51) представляет собой плоскую волну. На самом деле класс решений уравнения (3.57) необычайно широк. Всякая функция, котораяудовлетворяет уравнению(5.57), описывает какую-либо волну. Например, решением этого уравнения является и сферическая волна (3.54). Волны могут быть и более сложной формы.

Частным случаем уравнения (3.57) является одномерная волна (3.50) – в этом случае колебания в волне не зависят от остальных координат.