Справочный материал по темам

«Элементы линейной алгебры. Аналитическая

геометрия в пространстве»

Матрицы

Матрицей размерности m ´ n называется прямоугольная таблица, состоящая из m·n элементов (m строк и n столбцов):

Am´n = Справочный материал по темам - student2.ru , где aij – элементы матрицы,

i = 1,2,…, m – номер строки, j = 1,2,…, n – номер столбца.

Для краткости матрицу обозначают одной буквой, например, буквой А.

Некоторые виды матриц:

1) нулевая матрица: матрица, все элементы которой равны нулю;

2) при n = 1 матрица-столбец: X = Справочный материал по темам - student2.ru ;

3) при m = 1 матрица-строка: Y = Справочный материал по темам - student2.ru ;

4) при m = n квадратная матрица: An´n = Справочный материал по темам - student2.ru .

У квадратной матрицы различают главную диагональ (соединяющую элементы a11 и ann ) и побочную диагональ.

Примеры квадратных матриц:

1) единичная матрица (квадратная матрица, на главной диагонали которой

стоят единицы, а остальные элементы – нули):

E = Справочный материал по темам - student2.ru ;

2) квадратная матрица второго порядка: Справочный материал по темам - student2.ru ;

3) квадратная матрица третьего порядка: Справочный материал по темам - student2.ru .

Две матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковые размерности и их соответствующие элементы равны:

Am´n = Bm´n Û aij = bij (i = 1,2,…, m; j = 1,2,…, n).

Линейные операции над матрицами

Умножение матрицы A на число k:

B = k×A= Справочный материал по темам - student2.ru ,

или, в краткой записи:

B = k×A Û bij = k×aij (i = 1,2,…, m; j = 1,2,…, n). (21)

Сложение (вычитание) матриц A и B одинаковой размерности:

Cm´n = Am´n ± Bm´n Û cij­ = aij ± bij (i = 1,2,…, m; j = 1,2,…, n). (22)

Произведение матриц Am´n и Bn´k:

Cm´k = Am´n × Bn´k Справочный материал по темам - student2.ru

cij = ai1b1j + ai2b2j + ¼ + ainbnj (i = 1,2,…, m; j = 1,2,…, k). (23)

Формулу (23) легко запомнить, как правило умножения «строка на столбец»: произведение матриц Am´n и Bn´k есть матрица Cm´k, у которой элемент cij равен сумме произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы A и j-го столбца матрицы В.

Замечание. Перемножать можно только соответственные матрицы А и В, т.е.число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В.

Если задан многочлен Справочный материал по темам - student2.ru , то матричным многочленом Справочный материал по темам - student2.ru называется выражение

Справочный материал по темам - student2.ru ,

где А – квадратная матрица, Справочный материал по темам - student2.ru и Е – единичная матрица той же размерности, что и А. Значением матричного многочлена является матрица.

Определители

Определитель второго порядка (определитель квадратной матрицы второго порядка):

det A = Справочный материал по темам - student2.ru = a11 a22 – a12 a21­. (24)

Определитель третьего порядка (определитель квадратной матрицы третьего порядка):

det A = Справочный материал по темам - student2.ru (25)

Для краткости определитель обозначают: |A| или Δ.

Минором элемента aij определителя называется определитель, которыйполучается из исходного путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца (обозначается Mij).

Алгебраическим дополнением элемента aij определителя (обозначается Aij) называется число:

Aij = (–1)i+j× Mij. (26)

Определитель третьего порядка можно вычислить, используя его разложение по 1-й строке:

Справочный материал по темам - student2.ru , (27)

или, в краткой записи:

Справочный материал по темам - student2.ru ,

т.е. определитель равен сумме произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения. Аналогично можно записать разложение определителя по любой другой строке или столбцу.

Наши рекомендации