Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле 5 страница
Ответ: 1) 2) 3) 4)
41. С помощью тройного интеграла найти обьем тела, ограниченного поверхностями ,
Ответ: 1) 2) 3) 4)
42. С помощью тройного интеграла найти обьем тела, ограниченного поверхностями , , ,
Ответ: 1) 2) 4 3) 2 4) 16
43. С помощью тройного интеграла найти обьем тела, ограниченного поверхностями , , ,
Ответ: 1) 2) 3) 4)
44. С помощью тройного интеграла найти обьем тела, ограниченного поверхностями , , ,
Ответ: 1) 2) 3) 4)
45. Задание: Найти массу пластинки D c плотностью .
D: , , , , ( ).
Ответы:1) 2) 3) 4)
46. Задание: Найти массу пластинки D c плотностью .
D: , , , , ( ).
Ответы:1) 2) 3) 4)
47. Задание: Найти массу пластинки D c плотностью .
D: , , , , ( ).
Ответы:1)18,5 2) 5,5 3)9,5 4)9
48. Задание: Найти массу пластинки D c плотностью .
D: , , , , ( ).
Ответы: 1)3 2)6 3) 9 4) 0
49. Задание: Найти массу пластинки D c плотностью .
D: , , , , ( ).
Ответы:1) 16 2) 3) 32 4)
50. D: , , , , ( ).
Ответы:1)2 2) 4 3) 6 4) 8
51. Задание: Найти массу пластинки D c плотностью .
D: , , , , ( ).
Ответы: 1)8 2) 2 3)4 4)1
52. Задание: Найти массу пластинки D c плотностью .
D: , , , , ( ).
Ответы: 1)9,5 2)5,5 3) 9 4) 18,5
53. Задание: Найти моменты инерции относительно координатных плоскостей однородного тела Т с плотностью р = 1, ограниченного поверхностями: , , , ( ).
Ответы:1) 2) 3)
4)
54. Задание: Найти моменты инерции относительно координатных плоскостей однородного тела Т с плотностью р = 1, ограниченного поверхностями: , , .
Ответы: 1) 2) 3) 4)
55. Задание: Найти моменты инерции относительно координатных плоскостей однородного тела Т с плотностью р = 1, ограниченного поверхностями:
Ответы: 1) 2) 3) 4)
56. Задание: Найти моменты инерции относительно координатных плоскостей однородного тела Т с плотностью р = 1, ограниченного поверхностями: , , .
Ответы:1) 2) 3) 4)
57. Задание: Найти моменты инерции относительно координатных плоскостей однородного тела Т с плотностью р = 1, ограниченного поверхностями: , .
Ответы:1) 2) 3) 4)
58. Задание: Найти моменты инерции относительно координатных плоскостей однородного тела Т с плотностью р = 1, ограниченного поверхностями: , .
Ответы:1) 2) 3) 4)
59. Задание: Найти массу тела Т с плотностью , ограниченного указанными поверхностями , , , , ,( , ); .
Ответы:1)2 2)4 3)3 4)1
60. Задание: Найти массу тела Т с плотностью , ограниченного указанными поверхностями , , , ,( , , ); .
Ответы:1) 2) 3) 4) 0
61. Задание: Найти массу тела Т с плотностью , ограниченного указанными поверхностями , , , ,( , ); .
Ответы:1) 2) 3) 4)
62. Задание: Найти массу тела Т с плотностью , ограниченного указанными поверхностями , , , , ,( , ); .
Ответы: 1) 2) 3) 04)
63. Задание: Найти массу тела Т с плотностью , ограниченного указанными поверхностями , , , ,( , , ); .
Ответы:1) 2) 3) 4)
64. Задание: Найти массу тела Т с плотностью , ограниченного указанными поверхностями , , , , ,( , , ); .
Ответы: 1) 2) 3) 4)
Ответы к тестам:
| Номер задания | |||||||||||||||
| Номер ответа |
3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Рассмотрим ещё одно важное обобщённое понятие определённого интеграла на функции нескольких переменных – понятие криволинейнолго интеграла .
К этому понятию приводят ряд задач из различных областей знаний .
Интегралы , рассмотриваемые нами до сих пор , имели своими областями интегрирования либо 1) отрезки на прямой , либо 2) некоторые области в плоскости , или 3) в трёхмерном пространстве .
Сейчас нам предстоит рассмотреть случай , когда областью интегрирования является линия , расположенная в плоскости .
Рассмотрение криволинейных интегралов значительно расширяет возможности приложения математического анализа к решению задач из механики , физики и техники .
Особенно большое значение криволинейные интегралы имеют в теории поля и в теории функций комплексных переменных .
При изучении данных интегралов нужно особое внимание обратить на конструкцию тех интегральных сумм , которые лежат в основе определения криволинейных интегралов , и на свойствах последних .
Важное место занимают также теоремы , связанные с вопросом о независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования .
Различают 2 типа криволинейных интегралов . Начнём с рассмотрения криволинейного интеграла , который строится по аналогии с обыкновенным определённым интегралом .
3.1. Криволинейные интегралы первого рода (криволинейные интегралы по длине дуги)
Решение некоторых физических задач , как , например , задачи о вычислении массы материальной линии , координат её центра тяжести и другие , приводит к необходимости введения криволинейного интеграла по длине дуги .
Рассмотрим следующую механическую задачу.
Задача 3.1.1 (задача о нахождении массы материальной линии)
Найти массу материальной дуги АВ , если линейная плотность её задана как некоторая непрерывная функция d = d(х,у) от координат х и у точки дуги АВ .
(Линия АВ может быть электрическим проводом или цепью , или канатом, где обычно пренебрегают толщиной тела по сравнению с его длиной ).
Разобьём дугу АВ произвольным образом на n частей с помощью точек деления М1 , М2 , . . . , Мn-1 , которые пронумерованы в направлении от А к В.
Длину дуги Мк-1Мк ( М0 º А , Мn º B) обозначим через Dlk ( k = 1,2, . . , n) :
È
Мк-1Мк = Dlk .
На каждой частичной дуге Мк-1Мк возьмём произвольно по точке Nk (xk ; hk) и во взятых точках вычислим плотность распределения массы :
d = d(xk ; hk ).
Если предположить , что плотность во всех точках частичной дуги Мк-1Мк постоянна и равна её значению d(xk ; hk ) в точке Nk , то величина массы частичной дуги Мк-1Мк будет
Так как масса всей дуги АВ равна сумме масс её частичных дуг Мк-1Мк , то она выразится суммой
(3.1)
Поскольку в действительности плотность распределения массы на каждой частичной дуге , вообще говоря , не постоянна , то сумма (3.1) не может быть принята за массу дуги АВ .
Однако ,если частичные дуги весьма малы , то в силу непрерывности функции d(х,у) значение плотности в различных точках какой-либо из этих дуг будет весьма мало отличаться от её значения в произвольно взятой точке (xk ; hk) этой дуги и масса (3.1) будет имитировать искомую массу дуги , причём тем лучше , чем меньше длина частичных дуг .
Станем теперь неограниченно увеличивать число n делений дуги АВ и притом так , чтобы длины всех частичных дуг Мк-1Мк стремились к нулю .
Если при этом сумма (3.1) будет стремиться к определённому пределу m , не зависящему от способа разбиения дуги АВ на частичные дуги Мк-1Мк и от выбора точек Nk на соответствующих частичных дугах , то этот предел ( исходя из указанных выше интуитивных соображений ) мы и будем принимать за массу всей дуги АВ :
(3.2)
К нахождению пределов вида (3.2) приводит решение и многих других задач механики и математики .
Поэтому представляется естественным изучить эти суммы , отвлекаясь от конкретного смысла входящих в них переменных величин.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА ПЕРВОГО РОДА
Рассмотрим произвольную функцию f(x,y), определённую вдоль плоской дуги АВ .
Разобьём дугу АВ произвольным образом на n частей точками М1,М2, . . . , Мк-1 , Мк , . . . , Mn-1 .
На каждой частичной дуге возьмём также по произволу точку Nk (xk , hk ) и , вычислив значение функции f(x,y) в каждой из этих точек , составим сумму :
, (3.3)
где Dlk – длина частичной дуги .
Она называется интегральной суммой для функции f(x,y) , заданной на дуге АВ .
Будем неограниченно увеличивать число n точек деления дуги АВ , однако так , чтобы все Dlk стремились к нулю .
Определение .
Если при всех Dlk ®0 интегральная сумма (3.3) имеет конечный предел , не зависящий 1) ни от способа разбиения дуги АВ на частичные дуги Мк-1Мк , 2) ни от выбора точек Nk на частичных дугах , то этот предел называют криволинейным интегралом по длине дуги АВ от функции f(x,y) ( или криволинейный интеграл I рода ).
Криволинейный интеграл по длине дуги обозначается символом