Задача о замене оборудования

Важной экономической проблемой является своевременное обновление оборудования: автомобилей, станков, телевизоров, магнитол и т.п. Старение оборудования включает физический и моральный износ, в результате чего растут затраты на ремонт и обслуживание, снижается производительность труда и ликвидная стоимость. Задача заключается в определении оптимальных сроков замены старого оборудования. Критерием оптимальности являются доход от эксплуатации оборудования (задача максимизации) либо суммарные затраты на эксплуатацию в течение планируемого периода (задача минимизации).

Предположим, что планируется эксплуатация оборудования в течение некоторого периода времени продолжительностью n лет. Оборудование имеет тенденцию с течением времени стареть и приносить все меньший доход r(t) (t – возраст оборудования). При этом есть возможность в начале любого года продать устаревшее оборудование за цену S(t), которая также зависит от возраста t, и купить новое оборудование за цену P.

Под возрастом оборудования понимается период эксплуатации оборудования после последней замены, определенный в годах. Требуется найти оптимальный план замены оборудования с тем, чтобы суммарный доход за все n лет был бы максимальным, учитывая, что к началу эксплуатации возраст оборудования составлял t₀ лет.

Исходными данными в задаче являются доход r(t) от эксплуатации в течение одного года оборудования возраста t лет, остаточная стоимость S(t), цена нового оборудования P и начальный возраст оборудования t₀.

t			…	n
r	r(0)	r(1)	…	r(n)
S	S(0)	S(1)	…	S(n)

При составлении динамической модели выбора оптимальной стратегии обновления оборудования процесс замены рассматривается как n-шаговый, т. е. период эксплуатации разбивается на n шагов.

Выберем в качестве шага оптимизацию плана замены оборудования с k-го по n-ый годы. Очевидно, что доход от эксплуатации оборудования за эти годы будет зависеть от возраста оборудования к началу рассматриваемого шага, т. е. k-го года.

Поскольку процесс оптимизации ведется с последнего шага (k = n), то на k-ом шаге неизвестно, в какие годы с первого по (k-1)-й должна осуществляться замена и, соответственно, неизвестен возраст оборудования к началу k-го года. Возраст оборудования, который определяет состояние системы, обозначим t. На величину t накладывается следующее ограничение:

1 ≤ t ≤ t₀ + k – 1 (10.5)

Выражение (10.5) свидетельствует о том, что t не может превышать возраст оборудования за (k–1)-й год его эксплуатации с учетом возраста к началу первого года, который составляет t₀ лет; и не может быть меньше единицы (этот возраст оборудование будет иметь к началу k-го года, если замена его произошла в начале предыдущего (k–1)-го года).

Таким образом, переменная t в данной задаче является переменной состояния системы на k-ом шаге. Переменной управления на k-ом шаге является логическая переменная, которая может принимать одно из двух значений: сохранить (С) или заменить (З) оборудование в начале k-го года:

Функцию Беллмана F_k(t) определяют как максимально возможный доход от эксплуатации оборудования за годы с k-го по n-ый, если к началу k-го возраст оборудования составлял t лет. Применяя то или иное управление, система переходит в новое состояние. Так, например, если в начале k-го года оборудование сохраняется, то к началу (k + 1)-го года его возраст увеличится на единицу (состояние системы станет t + 1), в случае замены старого оборудования новое достигнет к началу (k + 1)-го года возраста t = 1 год.

На этой основе можно записать уравнение, которое позволяет рекуррентно вычислить функции Беллмана, опираясь на результаты предыдущего шага. Для каждого варианта управления доход определяется как сумма двух слагаемых: непосредственного результата управления и его последствий.

Если в начале каждого года сохраняется оборудование, возраст которого t лет, то доход за этот год составит r(t). К началу (k + 1)-го года возраст оборудования достигнет (t + 1) и максимально возможный доход за оставшиеся годы (с (k + 1)-го по n-й) составит F_k+1(t + 1). Если в начале k-го года принято решение о замене оборудования, то продается старое оборудование возраста t лет по цене S(t), приобретается новое за P единиц, а эксплуатация его в течение k-го года нового оборудования принесет прибыль r(0). К началу следующего года возраст оборудования составит 1 год и за все оставшиеся годы с (k + 1)-го по n-й максимально возможный доход будет F_k+1(1). Из двух возможных вариантов управления выбирается тот, который приносит максимальный доход. Таким образом, уравнение Беллмана на каждом шаге управления имеет вид:

(19.6)

Функция F_k(t) вычисляется на каждом шаге управления для всех 1 ≤ t ≤ t₀ + k - 1. Управление при котором достигается максимум дохода, является оптимальным.

Для первого шага условной оптимизации при k = n функция представляет собой доход за последний n-ый год:

(19.7)

Значения функции F_n(t), определяемые F_n-1(t), F_n-2(t) вплоть до F₁(t).

F₁(t₀) представляют собой возможные доходы за все годы. Максимум дохода достигается при некотором управлении, применяя которое на первом году, мы определяем возраст оборудования к началу второго года.

Для данного возраста оборудования выбирается управление, при котором достигается максимум дохода за годы со второго по n-й и так далее. В результате на этапе безусловной оптимизации определяются годы, в начале которых следует произвести замену оборудования.

Пример 2.Найти оптимальную стратегию эксплуатации оборудования на период продолжительностью 6 лет, если годовой доход r(t) и остаточная стоимость S(t) в зависимости от возраста заданы в табл. 10.6, стоимость нового оборудования равна P = 13, а возраст оборудования к началу эксплуатационного периода составляет 1 год.

Таблица 10.6

t
r(t)
S(t)

Решение.

I этап. Условная оптимизация.

1-й шаг: k = 6. Для него возможные состояния системы t = 1, 2, …, 6.

Функциональное уравнение имеет вид (10.7):

2-й шаг: k = 5. Для него шага возможные состояния системы t = 1, 2, …, 5.

Функциональное уравнение имеет вид:

3-й шаг: k = 4.

4-й шаг: k = 3.

5-й шаг: k = 2.

6-й шаг: k = 1.

Результаты вычислений Беллмана F_k(t) приведены в табл. 10.7, в которой k – год эксплуатации, t – возраст оборудования.

Таблица 10.7

k t

В табл. 10.7 выделено значение функции, соответствующее состоянию «З» – замена оборудования.

II этап. Безусловная оптимизация.

Безусловная оптимизация начинается с шага при k = 1. Максимально возможный доход от эксплуатации оборудования за годы с 1-го по 6-й составляет F₁(1) = 37. Этот оптимальный выигрыш достигается, если на первом году не производить замены оборудования. Тогда к началу второго года возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t₂ = t₁ + 1 = 2. Безусловное оптимальное управление при k = 2, х₂(2) = С, т.е. максимум дохода за годы со 2-го по 6-й достигается, если оборудование не заменяется. К началу третьего года возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t₃ = t₂ + 1 = 2. Безусловное оптимальное управление х₃(3) = 3, т. е. для получения максимума прибыли за оставшиеся годы необходимо произвести замену оборудования. К началу четвертого года при k = 4 возраст оборудования станет равен t₄ = 1. Безусловное оптимальное управление х₄(1) = С. Далее соответственно:

k = 5, t₅ = t₄ + 1= 2, х₅(2) = С.

k = 6, t₆ = t₅ + 1 = 3, х₆(3) = С.

Таким образом, за 6 лет эксплуатации оборудования замену надо произвести один раз – в начале третьего года эксплуатации.