Комбінаторика, теорія ймовірностей

Формули скороченого

Множення

(а−в)(а+в) = а²−в²

(а+в)² = а²+2ав+в²

(а−в)² = а²−2ав+в²

(а+в)³ = а³+3а²в+3ав²+в³

(а−в)³ = а³−3а²в+3ав²−в³

Розкладання на множники

а²−в² =(а−в)(а+в)

а³+в³ = (а+в)(а²−ав+в²)

а³−в³ = (а−в)(а²+ав+в²)

ах²+вх+с = а(х−х₁)(х−х₂)

Формула коренів квадратного рівняння ах²+вх+с = 0

D = в²−4ас

х_1,2 =

Теорема Вієта

х²+рх+q = 0

х₁+х₂ = − р

х_1·х₂ = q

Координати вершини параболи

Арифметична прогресія

d = a₂−a₁ або d = a_n+1−a_n

a_n = a₁+ (n−1) d

a_n =

S_n =

S_n =

Геометрична прогресія

або

− сума нескінчен. геом. прогресії

Властивості степенів

; ;

;

Властивості квадратних коренів

;

;

Властивості коренів n−го степеня

Властивості логарифмів

;

;

;

Похідна

Рівняння дотичної:

Похідні деяких функцій

Правила диференціювання

Інтеграли деяких функцій

(таблиця первісних)

f(x)	F(x)+C = ∫ f(x) dx
k	kx + C
xn
	ln |x| + C
sin x	-cos x + C
cos x	sin x + C
	tg x + C
	-ctg x + C
ax
ex	ex + C
tg x	−ln |cos x| + C
ctg x	ln |sin x| + C

Правила інтегрування

Формула Ньютона-Лейбниця

Площа криволінійної трапеції

Об’єм тіла обертання

Деякі значення триг. функцій

α	0°	30°	45°	60°	90°	180°
	π/6	π/4	π/3	π/2	π
sin α
cos α						−1
tg α					−
ctg α	−					−

Періодичність

Парність

Знаки триг. функцій

+

+

-

-

+

+

+

+

-_

-

-

-

sin α cos α tg α, ctg α

Співвідношення між триг. функціями одного і того

Самого аргументу

Формули подвійного аргументу

Формули додавання

Формули перетворення суми і різниці триг. функцій у добуток

Формули половинного аргументу та зниження степеня

Формули перетворення

до­бутку триг. функцій у суму

Обернені триг. функції

Найпростіші триг. рівняння

Окремі випадки

Триг. функції в прямокутному

трикутнику

a c

b α

Катет дорівнює добутку гіпотенузи на sin протилежного кута або на cos кута між ними.

Гіпотенуза дорівнює: катет поділити на sin протилежного кута або на cos прилеглого кута (кута між ними).

Довільний трикутник

b α h с

Властивість медіан

B

D

O

A C

AO:OD = 2:1

Властивість бісектрис

B

A D C

AB:AD=BC:DС, AB:BC=AD:DС

Прямокутний трикутник

a c

R b

,

a h b a_c b_c

Рівносторонній трикутник

,

a h a

а

Опуклий чотирикутник

d₁ φ d₂

Паралелограм

d₁ d₂

b h φ

α a

Ромб

a a

d₁ h

α d₂

а

Прямокутник

d d

b φ b

a

Квадрат

a

a d

Шестикутник

Трапеція

ℓ

B a C

А b h D

Якщо в трапецію можна вписати коло, то сума її бічних сторін дорівнює сумі її основ: АВ+СD=ВС+АD.

Якщо трапеція вписана в коло, то вона рівнобічна.

Призма	Піраміда
Sбіч = Росн∙Н Sповн=Sбіч+2Sосн V = Sосн∙H	Sбіч(прав)= Росн∙ℓ Sповн = Sбіч + Sосн V = Sосн∙H
Циліндр	Конус
Sбіч = 2πRН Sповн=Sбіч+2Sосн Sосн = πR2 V=Sосн∙H=πR2H	Sбіч = πRℓ Sповн = Sбіч + Sосн Sосн = πR2 V= Sосн∙H=
Куля (сфера)
Sпов = 4πR2

Якщо в рівнобічній трапеції діагоналі перпендикулярні, то її висота співпадає з середньою лінією.

Коло

C = 2πR, d = 2R

S = πR², S = πd²/4

E P L

K R n˚ F

ЕР∙РF = KP∙PL P

F

FP²=BP∙AP A M

BP∙AP=NP∙MP

B

N

В

С

D

А

В

(Якщо чотирикутник впис. у коло, то сума протилежних кутів дорівнює 180°)

С

D

А

(Якщо чотирикутник опис. навколо кола, то суми довжин протилежних

В

сторін рівні)

А

О

С

Вписаний кут дорівнює половині центрального кута, що спирається на ту саму дугу.

Вписані кути, які спираються на одну і ту саму дугу (хорду), рівні між собою.

Вписаний кут, який спирається на діаметр, дорівнює 90°.

Декартові координати

; – координати середини відрізка

– відстань між двома точками

– рівняння кола з центром в точці (а; в) і радіусом R

– рівняння прямої

Вектори

А(х₁; у₁) В(х₂; у₂),

–координати в-ра

– модуль вектора

Якщо ,то вектори колінеарні.

– скалярний добуток –скалярний добуток –кут між векторами і

Комбінаторика, теорія ймовірностей

Розміщення(не всі елементи, важливий порядок)

Перестановки(використовуються всі елементи)

Сполучення(не всі елементи, порядок елементів не важливий)

Біном Ньютона

Імовірність подій

,

де n − число всіх можливих випадків події А, а m − число сприятливих наслідків цієї ж події А