Операции над векторами в координатной форме
Прямоугольная декартова система координат Oxy на плоскости задается совокупностью точки О (начало системы координат) и пары перпендикулярных единичных векторов , При этом ось Ox, направление которой совпадает с направлением вектора называется осью абсцисс. Oсь y, совпадающая по направлению с вектором – осью ординат. Вся плоскость называется координатной плоскостью xOy. За масштабную единицу выбирают длину
Координатами точки М являются соответственно алгебраические проекции точки М на координатные оси Ox и Oy. Таким образом, точке М на плоскости соответствует упорядоченная пара (x, y) действительных чисел x и y. Пишут: M(x, y).
Каждой точке М на плоскости соответствует единственный радиус-вектор который имеет те же координаты, что и точка М. Пишут: Вектор может быть представлен также в виде линейной комбинации векторов
.
Если на плоскости заданы точки A(x1, y1), B(x2, y2), то
,
длина
(5)
Пусть тогда единичный вектор (орт) есть
(6)
При этом координаты орта задают направление вектора и называются направляющими косинусами. Если то
. (7)
Если , то верны формулы
(8)
(9)
(10)
. (11)
Для коллинеарных векторов выполняется
.
Координаты точки C(xc, yc), делящей отрезок AB в отношении λ > 0, находят по формулам
(12)
Пример 1. Вектор образует с вектором угол Найти координаты вектора на плоскости, если
Решение. Орт вектора на плоскости xOy имеет координаты . Используя формулы (6) и (7), получаем Так как то .
Пример 2. Найти координаты векторов, определяемых диагоналями параллелограмма, построенного на векторах
Решение. Известно, что сумма и разность векторов и определяют диагонали параллелограмма, построенного на них. Значит, Тогда
и, значит,
Аналогично
Пример 3. Координаты левого конца отрезка AB и его середины M соответственно равны A(–1, –5) и M(3, –2). Найти координаты точки В.
Решение. Пусть В(xB, yB). Середина отрезка делит его длину в отношении 1:1, т. е. λ = 1. Значит, из формул (12) имеем
откуда получаем
Приходим к ответу: В(7, 1).
Пример 4. Даны векторы Вычислить:
1) 2) 3) 4)
Решение. 1. Используя формулу (10), имеем
2. Согласно формулам (8), (9), получаем
Тогда, на основании формулы (10) вычисляем
Получить тот же результат можно и несколько по-другому. Используем свойства скалярного произведения, а затем формулы (5) и (10):
3. Найдем координаты вектора , используя формулы (8) и (9)
Значит, по формуле длины вектора (5) получаем
В качестве второго способа решения примера можно использовать следующий. Поскольку , то
Находим
4. Используем формулу (11) и получаем
Пример 5. Даны векторы Найти косинус угла между векторами и для которых
Решение. Выразим из первого заданного соотношения: Тогда, подставив во второе соотношение, получим откуда
Значит, на основании формулы (11), получаем
Пример 6. Пусть векторы получены из векторов поворотом относительно точки О на угол (рис. 8). Представить произвольный вектор в виде линейной комбинации векторов если
Рис. 8
Решение. Зафиксируем прямоугольную систему координат с единичными векторами В этой системе координат определим направляющие косинусы векторов
Это значит, что
откуда