Пример выполнения задачи контрольной работы
Исходные данные: законы изменения координат точки, м:
; .
Определить: траекторию точки; положение, скорость, ускорение и радиус кривизны траектории, соответствующие моменту времени =1 c.
Решение
1 Определяем уравнение траектории точки. Для этого исключим из заданных уравнений движения время t. Поскольку в заданных выражениях время является аргументом функций синус и косинус, то воспользуемся известным тригонометрическим тождеством
.
В рассматриваемом случае
; .
Поскольку здесь , то
.
Следовательно ; .
Окончательно находим (1.3)
Таким образом, получено уравнение параболы. Так как , то движение точки происходит не по всей параболе, а по ее участку . Для построения траектории составим таблицу значений координат x и y, рассчитанных на основе формулы (1.3) (таблица 2).
Таблица 2 – Координаты точек траектории, см
| y | –1 | ||||
| x | –0,5 | –1 | –0,5 |
На рисунке 1.4 траектория точки показана сплошной основной линией.
Замечание: для дальнейших построений необходимо, чтобы масштабы по осям были одинаковыми.
Рисунок 1.4
2 Определяем координаты движущейся точки М, соответствующие моменту времени t1. Подставляя значение t1 в заданные уравнения движения, находим:
м; м.
Изображаем на траектории точку М1 с полученными координатами.
Замечание: здесь и далее при расчетах численных значений величин аргумент тригонометрических функций следует подставлять в радианах.
3 Определяем линейную скорость точки. Для этого вначале находим законы изменения осевых проекций скорости:
;
.
Тогда скорость точки
.
В момент времени с получаем:
м/с; м/с;
м/с.
В соответствии с результатами расчетов на рисунке изображаем вектор скорости. Для этого в выбранном масштабе, например, в 1 см – 1 см/с, из точки М1 откладываем составляющие вектора скорости и . Затем путем сложения составляющих получаем вектор скорости . При правильных расчетах и построениях этот вектор должен лежать на касательной к траектории движения, что и получилось на рисунке 1.4.
Замечание: масштаб для построения векторов следует подобрать так, чтобы длина вектора была не менее 2 см.
4 Строим график функции v = f(t). Он изображен на рисунке 1.5. На участке от начала движения до момента времени t = 0,63 с скорость точки увеличивается, следовательно, в этот промежуток времени движение точки ускоренное, а на интервале от t = 0,63 с до t = 1,57 с скорость уменьшается, значит на нем движение точки замедленное. Далее происходит чередование этих видов движения.
Рисунок 1.5
5 Определяем линейное ускорение точки. Для этого находим осевые составляющие ускорения:
.
В момент времени с
м/с2; м/с2.
Линейное ускорение точки найдем по формуле :
м/с2.
Векторы изображаем на рисунке, придерживаясь нового масштаба, например в 1 см – 2 м/с2.
6 Вычисляем проекции линейного ускорения точки на естественные оси координат. Зависимость касательного ускорения от времени имеет вид:
.
Теперь определяем касательное ускорение, соответствующее моменту времени :
.
Знак «минус», получившийся при расчете, показывает, что в рассматриваемый момент времени движение точки является замедленным.
Поскольку , то нормальное ускорение
м/с2.
Изображаем на рисунке векторы касательного и нормального ускорений в том же масштабе, в котором ранее изображались векторы ускорений (в 1 см – 2 м/с2). Вектор касательного ускорения направлен по касательной к траектории движения. Поскольку в нашей задаче касательное ускорение получилось отрицательным, то оно направлено в сторону, противоположную направлению вектора скорости. Нормальное ускорение направлено перпендикулярно касательному к центру кривизны траектории. Векторная сумма касательного и нормального ускорений оказалась равна вектору полного ускорения, полученного через осевые проекции. Этот факт подтверждает правильность расчетов.
7 Определим радиус кривизны траектории в точке . Для этого используем формулу . Из нее получаем
.
Из описания решения следует, что построение графика с нанесением векторов скоростей и ускорений позволяет проверить правильность аналитических расчетов. При этом должны выполняться следующие условия:
– точка с координатами , должна попасть на изображенную траекторию;
– вектор скорости , построенный как диагональ прямоугольника со сторонами и , должен быть направлен вдоль касательной к траектории в точке с координатами , ;
– векторы ускорений, полученные как диагонали прямоугольников со сторонами , и , , должны совпасть.
Условие задания К-1