Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений

В трансцендентных уравнениях неизвестные входят под знаком трансцендентных функций, то есть неалгебраических, то есть тригонометрических показателей и др.

Пусть дано уравнение

(1)

где функция f(x) определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале .

Всякое значение ξ, обращающее функцию f(x) в нуль, то есть такое, что f(ξ)=0, называется корнем уравнения (1) или нулем функции f(x).

Будем предполагать, что уравнение (1) имеет лишь изолированные корни, то есть для каждого корня уравнения (1) существует окрестность , не содержащая других корней этого уравнения.

Приближенное нахождение изолированных действительных корней уравнения (1) складывается обычно из двух этапов:

1. отделение корней, то есть установление возможно тесных промежутков [α, β], в которых содержится один и только один корень уравнения (1);
2. уточнение приближенных корней, то есть доведение их до заданной степени точности.

Для отделения корней используются следующая теорема:

Теорема

Если непрерывная функция f(x) принимает значение разных знаков на концах отрезков [a, b], то есть , то внутри этого отрезка находится по крайней мере один корень уравнения f(x)=0. если производная сохраняет свой знак на отрезке [a, b], то корень будет единственный.

Процесс нахождения корней

Определяем знаки функции f(x) в ряде точек из области определения функции х₁,х₂,х₃,…, выбор которых учитывается особенностью функции f(x). если окажется, что , то на отрезке [x_k,x_k+1], то имеется по крайней мере один корень уравнения f(x)=0. Необходимо каким-либо способом проверить, является ли этот корень единственным.

Пример:

Определить действительные корни уравнения:

х	-1
f(x)	-	-	-	-	+

На отрезке [2,3] имеется корень уравнения, так как при всех х, то этот корень единственный.

Для отделения корней можно использовать графические методы.

Нахождение корней методом половинного деления

Пусть дано уравнение f(x)=0, (1)

Причем f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и . Делим отрезок пополам и находим середину

Если f(x₁) ≠0 то для продолжения вычисления выберем ту из частей данного отрезка [a, х₁] или [х₁, b]. Концы нового отрезка обозначим через a₁ и b₁ .

Продолжаем процесс пока не получим либо точный корень уравнения (1) либо не достигнуто значение с заданной точностью. Для оценки точности используется соотношение:

(2)

Из (2) получаем:

(3)

с погрешностью ε не превышающей

Пример:

Методом половинного деления с точностью ε = 10^-2 найти корень уравнения

1. Определяем корни уравнения при

x		+1
f(x)	+	-

1. Уточняем значение корня:

и т.д.

Заданная точность достигается на седьмом шаге.

х7 =0.8828125 с погрешностью d7=0,0078125<ε=0.01