Общая схема метода Гаусса для систем, имеющих единственное решение
Пусть 
. (В противном случае в качестве первого уравнения возьмем какое-либо другое). Разделим первое уравнение на 
.
Получим
, (4)
где 
; 
, 
Умножим разрешающее уравнение (4) на 
и вычтем полученное уравнение из второго уравнения системы (3). Аналогично преобразуем остальные уравнения. Система примет вид
(5)
где 
Если какой-либо из коэффициентов 
окажется равным нулю, то j-ое уравнение системы (3) войдет в систему (5) без изменений т.е.
(То есть если в какой-либо из уравнений отсутствовала переменная 
, то уравнение не преобразуется). Теперь, оставив без изменения первое уравнение системы (5), сделаем разрешающим второе уравнение и применим описанную процедуру к системе из n-1 уравнений, исключая 
из оставшихся уравнений. Получим систему
где 
Продолжая аналогичные вычисления, приведем систему (3) к эквивалентной системе с треугольной матрицей коэффициентов
(6)
Прямой ход решения выполнен.
Обратный ход:
a) последовательно исключаем неизвестное 
, начиная с 
уравнения и заканчивая первым. Получаем
(7)
Затем исключаем неизвестное 
из уравнений с номером j
и т.д.
В результате получаем решение системы
Для уменьшения погрешности вычислений существуют различные модификации метода Гаусса.
Метод Гаусса с выбором максимального элемента по столбцу
В начале первого шага прямого хода среди коэффициентов 
при неизвестном 
находят наибольший по модулю. Пусть это 
. После этого в исходной системе делают перестановку: меняют местами 1-ое и j-ое уравнения. Далее выполняют описанные действия.
В начале второго шага прямого хода максимальный по модулю элемент выбранный среди коэффициентов 
при неизвестном 
. Снова возможна перестановка уравнений и исключение из третьего и последующих уравнений и т.д.
При выполнении процедуры прямого хода возможны следующие случаи:
1. матрица А приводится к треугольной (получаю решение).
2. число преобразованных уравнений системы меньше числа неизвестных (ранг матрицы А< n) – Это происходит, если в системе получаются в процессе преобразований тождества 0=0. Система имеет бесконечное множество решений.
3. все коэффициенты при неизвестных в каком-либо уравнении равны нулю, свободный член отличен от нуля. Система не имеет решения.
Блок-схема решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса с выбором главного элемента (по столбцу)
ЛЕКЦИЯ 4
Метод итераций
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
(1)
Если все диагональные элементы 
, то систему (1) можно представить в приведенном виде
(2)
где 
Введем обозначения
Тогда система (2) запишется в виде
(3)
В качестве начального приближения 
возьмем вектор b и подставим его в уравнение (3). Получим 
.Продолжая процесс, получим последовательности приближений:
- первое приближение
-второе приближение (4)
. . . . . . . . .
- (k+1)-ое приближение.
Если существует предел x последовательности векторов 
то, переходя к пределу в равенстве при 
, убеждаемся, что x является решением уравнения (3), т.е.
Достаточное условие сходимости итерационного процесса:
Теорема. Если какая-нибудь норма матрицы А меньше единицы: 
, то уравнение (3) имеет единственное решение x, к которому стремится последовательность итераций (4) при любом выборе начального приближения.
Под нормойматрицы 
понимают следующие выражения:
(m – норма - максимальное значение суммы модулей элементов строки)
(l – норма - максимальное значение суммы модулей элементов столбца)
(k - норма)
Пример: для матрицы 
В расчетах полагают 
. Погрешности приближенного решения уравнения (3) на k-м шаге оценивают неравенством
, (5)
где 
- норма вектора X
m-норма или кубическая норма
l-норма или октаэдрическая норма
k-норма или сферическая норма.
Из неравенства (5) можно получить оценку числа итераций k, необходимых для обеспечения заданной точности e.
Отклонение приближения от решения x по норме не будет превышать e, если
(6)
Для вывода (6) достаточно рассмотреть равенства:
; 
; 
;
;
; и т.д.
Далее 
.
И, учитывая, что 
, т.к. норма 
.
В неравенствах (5) и (6) используются согласованные нормы для матриц и векторов, т.е. m и l-нормы.
Неравенство (6) дает завышенную оценку числа итераций k. Из (6) можно получить удобное условие, позволяющее принять приближение в качестве решения с точностью e.
(7)
Пример:Найти решение системы уравнений
методом итераций с точностью 10-2.
Решение:Приведем систему к виду (2)
Запишем последовательность итераций
(8)
Для приведенной матрицы 
достаточное условие сходимости выполняется по m-норме: 
В качестве начального приближения возьмем вектор-столбец свободных членов приведенной системы 
.
Число итераций для достижения заданной точности 
определяем из неравенства (6) 
, которое запишем так:
, действительно: 
.
; 
т.к. 
то 
; 
.
Вычислим теперь три последовательных приближения по формулам (8) и оценим погрешность каждого результата, используя неравенство (6) в виде:
. 
Первое приближение:
Следовательно, 
дает значение корня ξ с погрешностью, не превышающей величины 
.
Далее последовательно находим:
; 
.
Третья итерация:
; 
.
Заданная точность достигается за 5 шагов. Точное решение 
.