Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости

Для решения задачи ( прямая линия на плоскости ) следует использовать следующие сведения:

1). Угол наклона прямой к оси OX - это угол, на который нужно повернуть ось OX, чтобы она совпала с данной прямой ( или оказалась параллельной ей). Как обычно, угол положителен, если поворачиваем против часовой стрелки, и отрицателен, если поворачиваем по часовой стрелке. Будем обозначать его буквой Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости - student2.ru .

2). Угловой коэффициент прямой - это тангенс угла наклона прямой к оси OX. Будем обозначать его буквой k. Следовательно,

k = tg Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости - student2.ru . (1)

3). Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Если прямая не параллельна оси OY (рис.1), то ее уравнение

y = kx + b , (2)

где b - ордината точки пересечения прямой с осью OY, k - угловой коэффициент прямой, (x,у) - координаты любой точки на прямой. Если прямая параллельна оси OY (рис.2), то ее уравнение

x = a , (3)

где a - абцисса точки пересечения прямой с осью OX.

Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости - student2.ru

4). Уравнение прямой, проходящей через точку M0 (x0 ,y0 ) и имеющей угловой коэффициент k,

y - y0 = k (x - x0 ) , (4)

где (x0 ,y0 ) - координаты заданной точки на прямой, k - угловой коэффициент прямой, (x,y) - координаты любой точки на прямой.

5). Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M1 (x1 ,y1 ) и M2 (x2 ,y2 ),

Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости - student2.ru (5)

где (x 1,y 1) - координаты одной точки на прямой, (x2 ,y2 ) - координаты другой точки на прямой, (x,y) - координаты любой точки на прямой.

6). Общее уравнение прямой

Ax + By + C = 0 , (6)

где A, B, C - заданные числа, причем A и B одновременно в нуль не обращаются, (x,y) - координаты любой точки на прямой.

Если B не обращается в нуль, то уравнение (6) можно преобразовать следующим образом :

y = - Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости - student2.ru x - Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости - student2.ru . (6')

Тогда, сопоставив формулы (6') и (2), имеем :

k = - Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости - student2.ru

7). Условие параллельности двух прямых

k1 = k2, (7)

где k1 и k2 - угловые коэффициенты прямых.

8). Условие перпендикулярности двух прямых

k 1 Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости - student2.ru k2 = -1 , (8)

где k 1 и k 2 - угловые коэффициенты прямых.

9). Нахождение координат точки пересечения двух прямых

Если две непараллельные прямые заданы своими уравнениями :

A1 X + B1Y + C1 = 0 и A2 X + B2Y + C 2 = 0,

то координаты точки пересечения этих прямых - есть решение системы уравнений :

Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости - student2.ru (9)

10.) Нахождение угла между прямыми:

Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости - student2.ru Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости - student2.ru (10.a)

Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости - student2.ru (10.б.)

если Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости - student2.ru то формула понимается условно ( Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости - student2.ru ),

Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости - student2.ru - угол на который надо повернуть первую прямую, чтобы она стала параллельна второй.

11). Нахождение координат середины отрезка

Если точка A имеет координаты (xa ,ya ), а точка B - (xb ,yb ), то координаты середины O отрезка АB можно найти по формулам :

Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости - student2.ru (11)

12). Нахождение длины отрезка

Если точка А имеет координаты (xa ,ya), а точка В - (x b,yb ), то длину отрезка АВ можно найти по формуле :

Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости - student2.ru . (12)

13). Деление отрезка в данном отношении

Если точка A имеет координаты (xa ,ya ), а точка B - (xb ,yb ), то координаты точки С делящей отрезок АB в отношении m : n можно найти по формулам :

Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости - student2.ru (13)

14.) Площадь треугольника. Пусть точки А1(x1,y1), A2(x2,y2), A3(x3,y3) – вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:

Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости - student2.ru (14.)

Знак перед определителем выбирается так, чтобы площадь была положительной.

Рассмотрим несколько примеров применения приведенных формул.

Задача 2.Точки А (2,1), В (1,-2), С (-1,0) являются вершинами треугольника АВС.

2.а.) Найти уравнения сторон треугольника АВС

Решение. Первая прямая проходит через две точки А (2,1), В (1,-2), поэтому ее уравнение будем искать в виде (5 ) : Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости - student2.ru .

Подставляя x1 = 2, x2 = 1, y1= 1, y2= -2, получим : Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости - student2.ru

Вторая прямая проходит через две точки В (1,-2), С (-1,0) поэтому ее уравнение будем искать в виде (5 ) : Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости - student2.ru .

Подставляя x1 = 1, x2 = -1, y1= -2, y2= 0, получим : Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости - student2.ru , разделим на 2 получим x+y+1=0.

Третья прямая проходит через две точки А (2,1), С (-1,0) поэтому ее уравнение будем искать в виде (5 ) : Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости - student2.ru .

Подставляя x1 = 2, x2 =-1, y1=1, y2= 0, получим :

Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости - student2.ru

2.б.) Найти уравнение одной из медиан треугольника АВС.

Решение. Обозначим середину стороны ВС буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.

B (1;-2), C (-1;0)

Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости - student2.ru

Уравнение медианы АM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана АМ проходит через точки А (2;1) и М (0;-1), поэтому:

Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости - student2.ru

2.в.) Найти уравнение одной из высот треугольника АВС.

Решение. Найдем уравнение высоты CZ, проходящей через точку

С (-1;0) и точку Z , лежащую на стороне АВ: 3x-y-5=0 . Для этого найдем угловой коэффициент k1 прямой АВ. Для этого представим уравнение

3x-y -5 = 0 в виде (2): y = k 1 x + b.

Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости - student2.ru , т.е. k1 = 3.

Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых (8): k1 Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости - student2.ru k = -1.

Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой ,получим :

Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости - student2.ru Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости - student2.ru Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости - student2.ru .

Так как перпендикуляр проходит через точку С(-1;0) и имеет

k =- Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости - student2.ru ,то будем искать его уравнение в виде (4):

y-y0 =k(x-x0).

Подставляя

x 0 = -1 , k =- Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости - student2.ru , y0=0 получим :

y - 0 =- Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости - student2.ru (x –(-1)) Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости - student2.ru x +3y + 1 = 0.

уравнение высоты CZ.

2.г.) Найти уравнение одной из биссектрис треугольника АВС.

Решение. Найдем биссектрису угла ВАС. Точку пересечения биссектрисы со стороной СВ обозначим М.

Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости - student2.ru

Воспользуемся формулой (10.б) AB: 3x-y-5=0, AC: x-3y-1=0

Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости - student2.ru

Углы вычисляем на калькуляторе, либо по таблицам. Биссектриса делит угол пополам, следовательно Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости - student2.ru . Тангенс угла наклона АВ равен 3 (т.к. y=3x-5). Угол наклонаравен 710. Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости - student2.ru . Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости - student2.ru .

Биссектриса проходит через точку А (2,1), используя формулу (4), имеем:

y - y0 = k (x - x0 ); y-1=1(x-2), уравнение биссектрисы y = x-1

2.д.) Найти площадь треугольника АВС.

Точки А (2,1), В (1,-2), С (-1,0) являются вершинами треугольника АВС. Воспользуемся формулой (14).

Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости - student2.ru

Задача 3

3.1-3.20Даны координаты точек А1 ,A2 3 ,A4

Найти длину ребра А1 А2. Составить уравнение ребра А1 А4 .и грани А1А2А3. Составить уравнение высоты опущенной из точки А 4 на плоскость А1А2А3. Найти площадь треугольника А1A2A3 . Найти объем треугольной пирамиды А1A2А3A4

N Координаты точек
Вар A1 A2 A3 A4
2.1 (1;0;2) (2;1;1) (-1;2;0) (-2;-1;-1)
2.2 (-1;2;1) (1;0;2) (2;-1;3) (1;1;0)
2.3 (2;1;1) (-1;2;-1) (1;0;-2) (3;-1;2)
2.4 (-1;2;0) (1;0;-2) (3;1;1) (2;-1;-1)
2.5 (2;0;1) (1;3;-1) (-1;2;0) (2;-2;1)
2.6 (1;2;-3) (2;1;1) (3;0;2) (0;-1;3)
2.7 (1;-2;3) (3;1;2) (-1;0;-3) (2;-1;1)
2.8 (2;0;3) (-1;3;2) (3;2;0) (-2;1;1)
2.9 (-2;1;-3) (3;-1;0) (2;3;1) (1;2;2)
2.10 (2;2;1) (`1;1;3) (-2;0;-1) (0;-1;2)
2.11 (1;2;5) (0;7;2) (0;2;7) (1;5;0)
2.12 (4;4;10) (4;10;2) (2;8;4) (9;6;4)
2.13 (4;6;5) (6;9;4) (2;10;10) (7;5;9)
2.14 (3;5;4) (8;7;4) (5;10;4) (4;7;8)
2.15 (10;6;6) (-2;8;2) (6;8;9) (7;10;3)
2.16 (1;8;2) (5;2;6) (5;7;4) (4;10;9)
2.17 (6;6;5) (4;9;5) (4;6;11) (6;9;3)
2.18 (7;2;2) (5;7;7) (5;3;1) (2;3;7)
2.19 (8;6;4) (10;5;5) (5;6;8) (8;10;7)
2.20 (7;7;3) (6;5;8) (3;5;8) (8;4;1)

5.1

Наши рекомендации