Пересечение поверхностей

Линия пересечения двух поверхностей представляет собой в общем случае пространственную кривую. Любая точка этой линии принадлежит как первой, так и второй поверхностям и может быть определена в пересечении линий, проведенных на этих поверхностях. Тогда имеем следующие варианты решения данной задачи:

1) выбирают на одной из поверхностей конечное число линий и строят точки пересечения их с другой поверхностью (см. 12.3);

2) выделяют на заданных поверхностях два семейства линий и находят их точки пересечения. Во втором варианте выделение пересекающихся пар кривых выполняют с помощью вспомогательных поверхностей посредников.

Рассмотрим подробнее алгоритм решения задачи с использованием поверхностей пос-редников. Этот способ заключается в следующем.

Пусть даны пересекающиеся поверхности F и Y (рис. 12.10). Введем вспомогательную секущую поверхность Q¹. Эта поверхность называется посредником. Она пересечет поверхности F и Y по линиям m¹и k¹, соответственно. Пересечение линий m¹ и k¹ даст точку M, принадлежащую искомой линии пересечения t, так как она принадлежит обеим поверхностям. Вводя ряд посредников, получаем семейство точек линии пересечения.

В качестве поверхностей посредников наиболее часто применяют плоскости или сферы. В зависимости от вида посредников выделяют следующие наиболее часто применяемые способы построения линии пересечения двух поверхностей:

а) способ секущих плоскостей;

б) способ сфер.

Посредники выбираются так, чтобы линии mⁱи kⁱ можно было легко построить, т.е. чтобы они были графически простыми (прямые или окружности).

Задача упрощается, если одна из поверхностей занимает проецирующее положение. Тогда эта поверхность вырождается в окружность (цилиндрическая) или многоугольник (призматическая). Одна из проекций искомой линии будет находиться на вырожденной проекции поверхности, а значит, известна. Вторая проекция линии находится из условия принадлежности ее поверхности. На рис. 12.11 показано построение линии пересечения цилиндрической и конической поверхностей вращения. Так как ось цилиндрической поверхности перпендикулярна П₁, то на П₁ поверхность проецируется в окружность. На эту же окружность проецируется и искомая линия. Точки A, B, C, D, E и F – опорные точки. Точки А и F принадлежат горизонтальному, а точка Е – фронтальному контуру цилиндрической поверхности. На фронтальном контуре конической поверхности расположены точки В и С. Точка D – экстремальная.

Другие точки линии пересечения, обозначенные цифрами, – промежуточные. Фронтальные проекции линии построены из условия принадлежности ее конической поверхности.

12.4.1. Способ вспомогательных секущих плоскостей

Рассмотрим применение вспомогательных секущих плоскостей на примере построения линии пересечения сферы с конусом вращения
(рис. 12.12, 12.13).

Решение. Заданные поверхности – поверхности вращения. Оси заданных поверхностей параллельны П₂, (любой диаметр сферы может быть принят за ось вращения), а их общая плоскость симметрии параллельна фронтальной плоскости проекций. Следовательно, на заданных поверхностях можно выделить два семейства окружностей, расположенных в плоскостях, параллельных горизонтальной плоскости проекций. Это значит, что для решения данной задачи можно использовать в качестве посредников горизонтальные плоскости уровня. Рис. 12.12

Характерными точками проекций линии пересечения поверхностей являются точки A, B и С, D. Точки A, B находятся в пересечении очерковых образующих поверхностей, т.к. эти образующие расположены в общей плоскости симметрии поверхностей.

Точки С и D являются точками видимости горизонтальной проекции линии пересечения. Их построения выполнены в такой последовательности:

1) через центр сферы О проведена горизонтальная плоскость уровня Q;

2) построена горизонтальная проекция окружности радиуса R¹, по которой плоскость Q пересекает коническую по-верхность; эта же плоскость пересекает сферу по экватору (окружности максималь-ного радиуса);

3) построена горизонтальная проекция окружности радиуса R¹, по которой плоскость Q пересекает коническую поверхность; эта же плоскость пересекает сферу по экватору (окружности максимального радиуса);

4) определены точки C₁, D₁ пересечения окружности радиуса R¹ с очерком сферы;

5) установлены фронтальные проекции точек С(С₂), D(D₂) из условия принадлежности их плоскости Q.

Для построения промежуточных точек 1(1₁,1₂), 2(2₁,2₂), …, 6(6₁,6₂) линии пересечения заданных поверхностей используем плоскости , и .

Полученные точки соединим плавной кривой линией.

Видимость линии пересечения опреде-ляется на каждой поверхности отдельно. Затем устанавливаются участки, видимые одновременно для обеих поверхностей. Так, при проецировании коническая поверхность своих точек не закрывает, а сфера закрывает точки, расположенные ниже горизонтального контура. Точки С и D, расположенные на горизонтальном очерке, отделяют видимую часть линии от невидимой. Невидимая часть показана штриховой линией. На П₂ проекции видимой части линии пересечения совпадает с проекцией невидимой, так как фронтальные очерки обеих поверхностей расположены в плоскости симметрии поверхностей.

12.4.2. Способ концентрических сфер

Этот способ широко используется при решении задач на построение линий пересечения поверхностей вращения с пересекающимися осями. В основе этого способа лежит следующее свойство поверхностей вращения: две соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям, число которых равно числу точек пересечения их полумиридианов. Эти окружности лежат в плоскостях, перпендикулярных оси поверхностей вращения. У сферы любой диаметр можно принять за ось вращения. Следовательно, сфера с центром на оси поверхности вращения пересекает эту поверхность по одной или нескольким окружностям. Если ось поверхностей вращения параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость линия пересечения проецируется в отрезок прямой линии. На рис. 12.14, а и рис. 12.14, б показано пересечение сферы цилиндрической и конической поверхностями вращения, соответственно. На рис. 12.14, в приведены пересекающиеся соосные цилиндрическая и коническая поверхности вращения.

Рассмотрим применение вспомогательных концентрических сфер - сфер с постоянным центром. Этот способ применяют при выполнении следующих условий:

а) пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения;

б) оси этих поверхностей должны пересекаться; точку их пересечения принимают за центр вспомогательных сфер;

в) плоскость симметрии поверхностей должна быть параллельна какой-либо плоскости проекций (в противном случае применяют преобразование чертежа).

Рассмотрим построение линии пересечения конических поверхностей вращения. На рис. 12.15 показано наглядное изображение, а на

Рис. 12.15 рис. 12.16 – комплексный чертеж этих поверхностей. Поверхности и их расположение удовлетворяют приведенным выше условиям.

Прежде чем строить промежуточные точки, необходимо найти опорные точки линии пересечения. Точки А, В, K и L, а также E, F, С и D – это точки, принадлежащие контурам поверхностей. Их можно найти способом концентрических сфер или с помощью плоскостей посредников S(S₂) и D(D₁).

Рассмотрим теперь построение промежуточных точек на примере точек 5 и 6. Построения выполняем на фронтальной плоскости проекций. Сфера посредник Q(Q₂) с центром в точке О(О₂) пересекает конические поверхности по окружностям, которые на П₂ проецируются в отрезки и (проекции двух других окружностей не показаны). Точки 5₂=6₂ их пересечения являются фронтальными проекциями точек 5 и 6, которые принадлежат линии пересечения поверхностей, так как принадлежат каждой из этих поверхностей.

Горизонтальные проекции точек 5 и 6 находим из условия принадлежности точки поверхности. В данном случае используется принадлежность точек окружности на «вертикальной» конической поверхности. Точки 5₂ и 6₂ находятся по линии проекционной связи на .

Аналогично можно построить любое количество точек искомой линии пересечения. Однако нужно иметь в виду, что не все сферы могут быть использованы для решения задачи. Рассмотрим предельные границы вспомогательных сфер.

Радиус сфер посредников изменяется в диапазоне

R_max ³ R ³ R_min,

где R_min – минимальный радиус сферы, R_max – максимальный радиус сферы.

Сфера минимального радиуса R_min – это сфера, которая касается одной поверхности и пересекает другую (или тоже касается). На рис. 12.21 такая сфера касается «горизонтальной» конической поверхности. С помощью сферы минимального радиуса построены точки 1₂=2₂ и 3₂=4₂. Горизонтальные проекции точек 1, 2, 3 и 4 построены аналогично точкам 5 и 6.

Радиус максимальной сферы равен расстоянию от точки пересечения осей поверхностей до самой удаленной точки пересечения контурных образующих этих поверхностей. На рис 12.16 – R_max =êO₂L₂ê.

Для установления видимости проекций линии пересечения анализируем расположение точек относительно контуров поверхностей. Так, относительно П₁, видимым будет участок кривой, расположенный выше контура горизонтальной конической поверхности (вторая поверхность на видимость на П₁ не влияет). Горизонтальная проекция невидимой части линии показана штриховой линией. Точки А, В и K, L принадлежат фронтальным контурам поверхностей и отделяют видимую часть линии пересечения от невидимой при проецировании на П₂. Фронтальные проекции видимой и невидимой частей линии пересечения на рис. 12.16 совпадают.

12.4.5. Способ эксцентрических сфер

Способ эксцентрических сфер применяют при условии, что

1) одна из поверхностей – поверхность вращения, а другая – циклическая (имеет семейство окружностей);

2) поверхности имеют об-щую плоскость симметрии;

3) общая плоскость сим-метрии параллельна плоскости проекций (в противном случае следует применить преобра-зование чертежа).

Пример 1. Построить фрон-тальную проекцию линии пересечения поверхностей S и Q, общая плоскость симметрии которых параллельна П₂ (рис. 12.17).

Решение. Заданные по-верхности и их расположение удовлетворяют условиям при-менимости способа эксцентрических сфер, который и применяем для решения поставленной задачи.

Опорными точками являются точки A(А₂) и B(В₂), расположенные в пересечении очерковых образующих. Построение промежуточных точек выполняем в такой последовательности:

1) проводим на конической поверхности окружность, которая расположена в плоскости, параллельной ее основанию и на P₂ проецируется в отрезок – m(m₂);

2) проводим перпендикуляр к плоскости окружности m через ее центр O¹ и находим центр O² сферы-посредника;

3) проводим проекции сферы с центром в точке O² посредством крайних точек окружности m(m₂);

4) строим окружность n(n₂), по которой сфера пресекает поверхность вращения Q;

5) определяем точки 1₂=2₂ пересечения построенных окружностей.

Проекции других точек линии пересечения определяют аналогично.

На П₂ проекции видимого и невидимого участков линии пересечения совпадут.

Примечание. Предложите решение этой задачи, используя второе семейство окружностей на эллиптическом конусе (см. п. 12.5).

Пример 2. Построить проекции линии пересечения тора и конической поверхности вращения (рис. 12.18).

Решение. Исходные поверхности и их расположение удовлетворяют условиям применимости способа концентрических и эксцентрических сфер. Промежуточные точки 1, 2, 3 и 4 построены способом концентрических сфер, а точки 5 и 6 – способом эксцентрических сфер.

Точки 5 и 6 построены по алгоритму, приведенному в примере 1. Окружность на торе выделена введением фронтально-проецирующей плоскости W(W₂).

Точки 1, 2, 3, 4 построены в следующей последовательности:

1) построены проекции сферы Q(Q₁, Q₂) с центром в точке О(О₁,О₂);

2) определены проекции окружности n(n_1, n₂), по которой сфера пересекает коническую поверхность;

3) построены проекции окружностей m¹ и m², по которым сфера пересекает тор; сначала построены m¹₁ и m²₁, а затем m¹₂ и m²₂ (показано стрелками);

4) пересечение проекций окружностей m и n задает проекции точек 1, 2, 3, 4.

Точки A, B, C, D, а также K, L, M, N являются опорными. Первые расположены в пересечении очерковых образующих поверхностей, а вторые – на сфере минимального радиуса (экстремальные).

12.5. Пересечение поверхностей второго порядка

В общем случае две поверхности второго порядка пересекаются по пространственной кривой четвертого порядка. Следует отметить, что при некоторых особых положениях относительно друг друга поверхности второго порядка могут пересекаться по плоским кривым второго порядка, то есть прост-ранственная кривая пересечения распадается на две плоские кривые. Условия распадения кривой четвертого порядка на две кривые второго порядка формулируются в виде следующих теорем.

Теорема 1. Если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой, то они пересекаются и еще по одной плоской кривой. Иллюстрацией этой теоремы является рис. 12.19, на котором показаны фронтальные проекции сферы и эллиптического конуса, пересекающихся по двум окружностям – m(m₂) и n(n₂). Окружность m параллельна основанию (плоскости окружности) конической поверхности, а окружность n построена в соответствии с теоремой 1.

Теорема 2 (теорема о двойном соприкосновении).Если две поверх-ности второго порядка имеют касание в двух точках, то линия их взаимного пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка.

Плоскости этих кривых пройдут через прямую, соединяющую точки касания. На рис. 12.20 показано построение линии пересечения конической поверхности вращения и эллиптического цилиндра (оси поверх-ностей пересекаются и параллельны П₂).Линии пересечения - эллипсы – лежат во фронтально-проецирующих плоскостях, проходящих через прямую АВ, соединяющую точки касания А и В, а также точки 1, 2 и 3, 4 (точки пересечения очерков поверхностей).

Теорема 3 (теорема Монжа). Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности второго порядка или вписаны в нее, то линия их взаимного пересечения распадается на две плоские кривые. Плоскости этих кривых пройдут через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания. Эта теорема является частным случаем теоремы 2. Если оси пересекающихся поверхностей вращения параллельны какой-либо плоскости проекций, то на эту плоскость кривые линии проецируются в отрезки прямых.

На рис. 12.21 приведен пример построения линии пересечения двух конических поверхностей вращения, оси которых пересекаются и параллельны П₂. Исходные поверхности описаны вокруг сферы и имеют с ними касание по окружностям t(t₂) и k(k₂). Эти окружности пересекаются в точках 1 и 2. Плоскости линий пересечения проходят через прямую 12 и точки пересечения очерков поверхностей А, D, В и С.