Методы математической физики, т.1

Содержание

ГЛАВА I. АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ

§ 1. Линейные уравнения и линейные преобразования 1

§ 2. Линейные преобразования с линейным параметром 14

§ 3. Преобразования к главным осям квадратичных и эрмитовых форм 20

§ 4. Минимально-максимальное свойство собственных значений 28

§ 5. Дополнения и задачи к первой главе 31

Глава II. ЗАДАЧА О РАЗЛОЖЕНИИ В РЯД ПРОИЗВОЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

§ 1. Ортогональные системы функций 42

§ 2. Принцип предельных точек в функциональном пространстве 50

§ 3. Мера независимости и число измерений 55

§ 4. Теорема Вейерштрасса об аппроксимировании. Полнота системы 58

степеней и системы тригонометрических функций

§ 5. Ряды Фурье 62

§ 6. Интеграл Фурье 70

§ 7. Примеры на интеграл Фурье 75

§ 8. Полиномы Лежандра 77

§ 9. Примеры других ортогональных систем 80

§ 10. Дополнения и задачи ко второй главе 90

ГЛАВА III. ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 1. Предварительные соображения 104

§ 2. Теоремы Фредгольма для выродившегося ядра 107

§ 3. Теоремы Фредгольма для произвольного ядра 109

§ 4. Симметрические ядра и их собственные значения 113

§ 5. Теорема о разложении и ее применения 124

§ 6. Ряд Неймана и разрешающее ядро 130

§ 7. Формулы Фредгольма 132

§ 8. Новое обоснование теории 186

§ 9. Расширение границ приложимости теории 140

§ 10. Дополнения и задачи к третьей главе 142

ГЛАВА IV. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

§ 1. Постановка задачи вариационного исчисления 152

§ 2. Прямые методы 162

§ 3. Уравнения Эйлера 173

§ 4. Замечания относительно интегрирования дифференциального уравнения Эйлера. Примеры

§ 5. Граничные условия 198

§ 6. Вторая вариация и условие Лежандра 205

§ 7. Вариационные задачи с дополнительными условиями 207

§ 8. Инвариантный характер дифференциальных уравнений Эйлера 213

§ 9. Приведение вариационных задач к каноническому и инволюционному 222

виду

§ 10. Вариационное исчисление и дифференциальные уравнения математической физики

§ 11. Дополнения и задачи к четвертой главе 243

ГЛАВА V. ПРОБЛЕМЫ КОЛЕБАНИЙ И ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ

§ 1. Предварительные замечания о линейных дифференциальных уравнениях

§ 2. Системы с конечным числом степеней свободы
§ 3. Колебания струны
§ 4. Колебания стержня
§ 5. Колебания мембраны
§ 6. Колебания пластинки
§ 7. Общие соображения о методе собственных функций
§ 8. Колебания трехмерных континуумов
§ 9. Краевые задачи теории потенциала и собственные функции
§ 10. Задачи штурма-лиувиллевского типа. Особые краевые точки
§ 11. Об асимптотическом поведении решений штурм-лиувиллевских

дифференциальных уравнений

§ 12. Краевые задачи с непрерывным спектром собственных значений 320

§ 13. Теория возмущений 324

§ 14. Функция Грина (функция влияния). Приведение задач с дифференциальными уравнениями к интегральным уравнениям

§ 15. Примеры функции Грина 349

§ 16.Дополнения к пятой главе 366

ГЛАВА VI. ПРИМЕНЕНИЕ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ЗАДАЧАМ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ

§1. Экстремальные свойства собственных значений 375

§ 2. Общие следствия из экстремальных свойств собственных значений 384

§ 3.Теорема о полноте системы собственных функций и теорема о разложении

§ 4. Асимптотическое распределение собственных значений 407

§ 5. Задачи о собственных значениях шрёдингеровского типа 423

§ 6. Узлы собственных функций 429

§ 7. Дополнения и задачи к шестой главе 434

ГЛАВА VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ, К КОТОРЫМ ПРИВОДЯТ ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ

§ 1.Предварительные замечания относительно линейных дифференциальных уравнений второго порядка

§ 2. Функции Бесселя 445

§ З. Шаровые функции Лежандра 477

§ 4. Применение метода интегральных преобразований к дифференциальным уравнениям Лежандр а, Чебышева,Эрмита и Лагерра

§ 5. Шаровые функции Лапласа 485

§ 6. Асимптотические разложения 496

Примечания 509

Предметный указатель 519

Предметный указатель Абеля интегральное уравнение 146

Адамар, оценка определителя 32—33

Амплитуда 268

Аппроксимирование в среднем 44

- теорема Вейерштрасса об аппроксимировании 58

- одновременное аппроксимирование производных 61

Аргумент функциональный 156

Асимптотическое поведение

- - бесселевых функций 314—315, 498—506

- - функций Лежандра 507—508

- - собственных функций Штурм-Лиувилля 312—320

Асимптотическое поведение собственных значений 120, 273, 384—402

- - - - у дифференциального уравнения Бесселя 393—394

- - - - в задаче Штурм-Лиувилля 392 Асимптотическое число измерений 56 Асимптотические разложения 496—508

Бесконечно большое число переменных 35, 48—49, 148—149, 165—171

Бесконечное возрастание собственных значений 120, 273, 390 Бесконечно малое линейное преобразование 35—36 Бесселевы функции 286, 306, 350, 368, 380, 445—477

- - асимптотическое поведение при больших значениях аргумента 314, 498

- - при больших значениях параметра 393

- - выражение бесселевых функций в виде интегралов 451—460

- - интегральная теорема 321, 467—468

- - нули бесселевых функций 469—473

- - особые точки 477

- - соотношения между бесселевыми функциями 463—467

Бесселевы функции, степенной ряд 460—463

- - теорема сложения 467

Бесселя неравенство для систем векторов 4

- - для систем функций 45

Биения 368

Билинейная интегральная форма 114

Билинейная форма 10

Билинейная формула для итерированных ядер 127

Билинейное соотношение 339, 342, 348

Биортогональности условия 382

Биполь 490

Брахистохрона 158

Вариационная производная 175

Вариация первая 176, 198—205

- вторая 205

- в случае переменной области интегрирования 246

Вейерштрасс, теорема об аппроксимировании 58

- теорема об экстремумах непрерывных функций 20—21, 152

- условие для угловых точек 245

Векторы 1—3

Взаимное ядро 130

Взаимно обратные формулы для определенных интегралов 74—75, 91 Взаимность в вариационных задачах с дополнительными условиями 153 Влияния функция см. Гринова функция

Возмущений теория 324—328

- - пример к теории возмущений 328—330

Волновая поверхность 205

Вольтерра, интегральное уравнение 146, 317—320

Вынужденное движение 269, 274, 278, 283, 367

Выродившиеся квадратичные формы 24

- ядра 106

Высота гона 268

Гаара теорема 192—193

Гамильтона принцип 233—234

Гаммерштейна теорема 150

Ганкеля функции 447—451, 454—460

- - асимптотическое вычисление для больших значений аргумента 498—500

Ганнкеля функции для больших значении аргумента и параметра 502—506

- - особые точки 477

Геодезические линии 158, 178, 204

Гиббса явление 98

Главные колебания 268

Гладкие, кусочно-гладкие функции 41

Гладкость множества функций 54

Градиент в функциональном пространстве 214

Грама определитель 31—32, 100

Граница, свободная вариация на границе 198, 201 Граничные условия см. Краевые условия Гринова функция 294, 330—348

- - дифференциального уравнения Бесселя 349, 350

- - дифференциального уравнения Лагерра 353

- - дифференциального уравнения Лежандра 350

- - дифференциального уравнения Эрмита 351—352

- - для круга и шара 354—356

Гринова функция для прямоугольника 362, 364

- - для прямоугольного параллелепипеда 357—362

- - для шаровой поверхности 356—357

- - и конформное отображение 356

- - и краевая задача 330—337, 342, 346

- - обобщенная 335

- - построение 334—335

- - примеры 349—366

- - симметричность 333, 343

- - существование 345

Гриновы тензоры 371

Дарбу, метод асимптотического вычисления 506—508

Движение вынужденное 269, 274, 278, 283, 367

Делитель элементарный 39

Дивергенция, выражение типа дивергенции 182—185, 242, 255

Дини теорема 50

Диполь см. Биполь

Дирихле, задача Дирихле 167—170

- интегральная формула 71

- разрывный множитель 75—76

Дюбуа-Реймона теорема 190

Единичная сила см. Сосредоточенная сила Естественные граничные условия 198 Жесткость, увеличение жесткости 27, 271

Задачи о собственных значениях асимптотическое поведение 312—320

- для замкнутых поверхностей 439

- определение 272, 292

- с непрерывным спектром 320—324

- Шредингера 322—324

- Штурм-Лиувилля 275, 306, 312, 320 Замкнутые системы функций 102—103 Измеримые точечные множества 101 Изопериметрическая задача

- - для многоугольников 162—163

- - на кривой поверхности 244

- - решение Гурвица 90

- - уравнение Эйлера 207—209

Изопериметрические задачи 159—161, 207—210

Инвариантность дифференциальных уравнений Эйлера 213, 221

Инвариантные вариационные задачи 248

Индикатрисса 244

Инерция, закон инерции квадратичных форм 25

Интеграл Дирихле 71

- Лебега 100—103

- Пуассона 488—489

- Фурье 70—76

Интегралы уравнений движения системы материальных точек 250—252

Интегральная теорема для бесселевых функций 321, 467, 469

- - Фурье 70—76

Интегральная форма, билинейная и квадратичная 113 Интегральное преобразование, метод и.п. 444, 445, 446, 481—485 Интегральные выражения

- - бесселевых функций 451—460

- - функций Ганкеля 447, 459—460

- - - Лагерра 484—485

- - Лежандра 477—483

- - - Неймана 474

- - - Чебышева 483—484

- - - Эрмита 484

Интегральные уравнения (линейные)

- - первого рода 147

- - второго рода или Фредгольма 104

- - третьего рода или полярные 149

- - Вольтерра 146, 317—320

- - неоднородные 126, 138—139

- - однородные 104

- - особенные 142—143

- - симметрические 113—131, 137—138

- - применение к задачам о собственных значениях дифференциального уравнения

330—348

Интегральные формулы Мелина 95—98 Интегродифференциальные уравнения 381 Истокообразно представленные функции 105 Итерированные ядра 127

Канат, колебание каната, подвешенного за один конец 368 Каноническая форма вариационных задач 229 Канонические дифференциальные уравнения 230 Кастильяно, принцип Кастильяно 253, 256

Квадратичная форма 10—12, 20—30

- интегральная форма 113

Кели, теорема Кели 19

Келлог, метод определения собственных функций 145

Кинетическая энергия 233

Колебание, уравнение колебания 271, 275, 282, 290, 369 Колебание, примеры на уравнение колебания 369—370 Конечные разности, метод конечных разностей 165 Континуумы, колебания трехмерных континуумов 296—297 Конформное отображение 356

Координаты нормальные 267

- полярные 216

- эллиптические 217

- эллиптические вырождающиеся 220, 221

Краевое условие теории потенциала 239, 297, 306

Краевые условия естественные 198—205

- однородные и неоднородные 262

- содержащие параметр 370, 438—439

- для колеблющейся струны 276

- для колеблющегося стержня 280 Кратное собственное значение 120 Кратность собственного значения 105, 120

Кратчайшие линии 158, 178, 204

Критическая сила 258

Кусочно-гладкие функций 41

- непрерывные функции 41

Лагерр, дифференциальное уравнение Лагерра, применение метода интегрального преобразования 484—485

- полиномы и ортогональные функции Л. 81, 86, 89, 310—312, 323, 353, 484—485

Лагранж, уравнения движения Лагранжа 234

- множитель Лагранжа 153, 211, 222

Ламэ, функции Ламэ, уравнение Ламэ, задача Ламэ 301—306

Лаплас, интегральное выражение шаровых функций Лежандра 479—481, 482

Лаплас, преобразование Лапласа 445, 454

- шаровые функции см. Шаровые функции Лапласа Лебег, теория Лебега 51, 52

- интеграл Лебега 100, 101

- теорема сходимости Лебега 101

Лежандр, дифференциальное уравнение Лежандра, применение метода интегрального преобразования 432, 481

- полиномы Лежандра 77—80, 307, 308, 380, 483, 507, 508

- условие Лежандра в вариационном исчислении 175, 205

- шаровые функции Лежандра см. Шаровые функции Лежандра Линейная зависимость векторов 2

- - функций 43

Линейное преобразование 5, 14

Линейные уравнения 1, 5 Лиувилль см. Штурм-Лиувилль Логарифмический потенциал 355

Максвелл, теория шаровых функций Максвелла 489—496

Максимальная последовательность 163

Максимально-минимальное свойство собственных значений 28—30, 122, 383

Малые колебания 235

Матрица 6

Матье, функции Матье 369, 370

Мелин, формулы обращения Мелина 95

Мембрана, потенциальная энергия 238

- вариационная задача и дифференциальное уравнение 237—240

- однородная 281—289

- неоднородная 289

- круговая 286, 289

- прямоугольная' 284—286

- "кривая" 300

- минимальное свойство 441

Мера независимости 32, 55—56 Мера точечного множества 100—101 Мерсер, теорема Мерсера 128 Минимальные поверхности 171, 182

Минимальные последовательности 163

Минимальные свойства

- собственных значений 434, 437

- собственных функций 149

Множество, мера точечного множества 100—101

- меры нуль 101

Множитель Эйлера-Лагранжа 153, 211, 222

Мультипликативная вариация 436

Мультиполь 490

Мюнц, теорема о полноте системы степеней 94

Нагрузка, задачи с нагрузкой 381

- ортогональные полиномы, соответствующие нагрузке p(x) 80—81

Наложение, принцип наложения 261

Начальное состояние 241

Неголономные условия 212

Независимость, мера независимости 32, 55, 56

Неймана ряд 8, 16, 130—131, 320

Неймана функции 449—451, 473—476

- интегральные выражения 474

- особые точки 477

- разложения в степенной ряд 475, 477

Неограниченное возрастание собственных значений 120, 273, 390

Неоднородная мембрана 289—290

- струна 275—279

Неоднородные интегральные уравнения 126, 138, 139

- краевые условия 262

Неопределенное ядро 114

Непрерывная зависимость от ядра 139—140

Непрерывность, кусочная непрерывность 41

- свойства непрерывности собственных значений 396

Непрерывный спектр 320—324

Нормальные координаты 267

Норм. вектора 2

- функции 42

Нормированные векторы 2

- функции 42

Нули бесселевых функции 429, 469—473 Нули собственных функций 429—434 Ньютонов потенциал 354—355

Обертоны 270

Обращение, формулы обращения Мелина 95—98

Однородная мембрана 281—289

- струна 271—275

Однородная форма дифференциального уравнения Эйлера 193

Однородные интегральные уравнения 104

Однородный стержень 279

Окрестность функции 157 Определенная квадратичная форма 11 Определенное ядро 114 Ортогонализация системы векторов 4

- - функций 43, 44

Ортогональная система векторов, полная 3, 4

- - функций, полная 46

Ортогональные векторы 3

- преобразования 12—14, 48—49

- функции 42

Ортогональные системы специальные см. Бесселевы функции, Эрмита полиномы, Лагерра полиномы, Якобиевы полиномы, Шаровые функции Лапласа, Шаровые функции Лежандра, Чебышева полиномы Ортогональные системы, принадлежащие несимметрическому ядру 147

Основное решение 332, 346

Основной тон 270

Особенные интегральные уравнения 142—143 Особые точки бесселевых функций 477 Отображение конформное 356 Отрицательные собственные значения 394 Перевал, метод перевала 501, 506

Пикар, теорема Пикара о разрешимости интегрального уравнения 148

Пластинка, потенциальная энергия 241

- вариационная задача и дифференциальное уравнение 241—243

- задача о собственных значениях 290, 291

- круговая 290—291

- минимальное свойство 441

- асимптотическое распределение собственных значений 438

Плотность спектра 93

Плотные системы функций 93

Площадей теорема 251

Полная ортогональная система векторов 3, 4

- - - функций 46

- - - функций многих переменных 49, 50

Полнота системы

- полиномов Лагерра 88

- полиномов Лежандра 77

- полиномов Эрмита 88

- собственных функций дифференциального уравнения 331—342, 339, 347, 402

- степеней 58—61

- тригонометрических функций 61—62

- шаровых функций Лапласа 487

- штурм-лиувиллевских собственных функций 339

- соотношение или условие полноты 4, 46

Полярное интегральное уравнение 149

Полярные координаты, преобразование \Deltau к полярным координатам 216— 217

Потенциал Ньютона 354—355

- логарифмический 355

- теория потенциала 166—171, 297—306, 342—348, 354—366

- уравнение потенциала 182

Предельные точки, принцип предельных точек 52

Преобразование

- бесконечно большого числа переменных 48—49

- бесконечно малое линейное 35—36

Преобразование вариационных задач 222, 233

- дифференциального выражения \Deltau 216

- интегральное преобразование дифференциального уравнения 444—445, 446, 481—485

- интегральное п. Мелина 95—98

- квадратичной формы к главным осям 20, 30

- Лапласа 445, 454

Преобразование линейное 5

- ортогональное 12—14, 46—49

- унитарное 14

- формула преобразования тета-функции 68—69

- Фридрихса 225, 226

- Эйлера 445

Продольный изгиб 258

Произведение скалярное

- векторов 1—2

- функций 42

Производящие функции 452, 453, 483, 485

Пространство функций 51

Прямые методы вариационного исчисления 162

Пуассон

- интеграл Пуассона 488—489

- уравнение Пуассона 346

- формула суммирования Пуассона 69

Равностепенная непрерывность 52, 105

Разложение, теоремы о разложении 339—340, 342, 347, 348, 349, 373, 404, 407,

Разрешающее ядро 130, 131 Разрыв, условия разрыва 381 Резольвента билинейной формы 16

- квадратичной формы 26—28

- линейного интегрального уравнения 130, 135

Рисса-Фишера теорема 102

Ритц, метод решения вариационных задач 163—165

Ряд Неймана 8, 16, 130, 320

- Фурье 62, 70

Свет, кратчайшее время распространения света, принцип Ферма 153

Световые лучи 153, 158, 179, 205, 243

Свободные кряя, свободная вариация на границе 198—201

Сильвестр, алгебраическая теорема Сильвестра 493, 494—496

- выражение шаровых функций Максвелла-Сильвестра 489—496 Симметризация, ядро, допускающее симметризацию 150 Симметрическое ядро 113—124

Скалярное произведение векторов 1—2

- - функций 42

Собственная частота 268, 272

Собственные векторы 21, 269

Собственные значения 15, 23—24, 113, 124, 272, 292, 375

- - кратные 120

- - бесконечно большой кратности 372

- - задачи, о собственных значениях см. Задачи о собственных значениях

- - их распределение 385—402, 407—423

- - их существование 28—30, 113—124, 338, 341—342, 347, 348

- - максимально-минимальное свойство 28, 30, 122, 124, 383

- - оценки 439, 441

- - экстремальные свойства 375

Собственные колебания 268, 272

Собственные функции 105, 272

- - их существование 338, 341—342, 347, 348—349 Сопряженное дифференциальное выражение 262—265 Сосредоточенная сила 331, 342

Спектральное разложение 92—93

Спектр матрицы 15

Спектр унитарной матрицы 39—40

- дифференциального уравнения 320, 321

- дискретный, имеющий конечную точку сгущения 322—324

- непрерывный 92—93, 320, 324, 426 Стационарные функции и кривые 176 Стержень, потенциальная энергия 237

- вариационная задача и дифференциальное уравнение 237

- естественные краевые условия 237

- задача о собственных значениях 279—281

- однородный 279

Стирлинг, формула Стирлинга 496, 498

Струна, потенциальная энергия 236

- вариационная задача и дифференциальное уравнение 236

- неоднородная 275—279

- однородная 271—275

- оттянутая 366—367

- примеры на колебание струны 366, 368 Суммирование, формула суммирования Пуассона 69 Суммируемые функции 100

Суперпозиция, принцип суперпозиции 261

Сходимость в среднем 102

- теоремы сходимости Лебега 101

Тензор Грина 371

Теплопроводность, задачи о собственных значениях в теории теплопроводности, дифференциальное уравнение теплопроводности 294—295

Тета-функции, применения 360—362, 366

Тета-функции функциональное уравнение 68, 69

Томсона принцип в электростатике 253 Тон, высота тона 268 Трансверсальность 201—205

Угловые точки, условие Вейерштрасса-Эрдмана для угловых точек 245

Узловые линии 284, 286, 287, 372

Узловые точки 284, 429, 442

Унитарная матрица 9

Унитарное преобразование 14

Условия разрыва 332, 334, 335, 340, 341, 381

Фаза 268

Фейер, теорема Фейера о суммировании 94—95

Ферма, принцип Ферма 153

Фишер-Рисса теорема 102

Форма билинейная 10

- интегральная 113

- квадратичная 11

Формы, зависящие от бесконечно большого числа переменных 35

Фредгольм, теоремы Фредгольма 107, 109

- формулы Фредгольма 132—135

Фридрихса преобразование 225, 226

Фундаментальная лемма вариационного исчисления 174 Фундаментальные функции см. Собственные функции Функционал 155

Функциональное пространство 51

Функциональное уравнение тета-функции 68, 69

Функциональный аргумент 156

Фурье, коэфициенты Фурье 44, 63

- - - порядок их малости 67

- интеграл Фурье 70—76

- ряд Фурье 62—70

Характеристические числа 19, 23

Центр тяжести, теорема о движении центра тяжести 251

Цепная линия 160, 210

Цилиндрические функции см. Бесселевы функции, Ганкеля функции, Матье, функции Матье, Неймана функции

Чебышева дифференциальное уравнение, применение метода интегрального преобразования 483—484

- полиномы 81, 82—83, 309—310, 483, 485

Число измерений последовательности функций 56, 136, 137, 138

Шаровые функции Лапласа 297, 298—299, 485—496

- - выражение Максвелла-Сильвестра 489, 496

- - симметрические 487

- - полнота системы шаровых функций Лапласа 487

- - теорема о разложении 488

Шаровые функции Лежандра 307—309, 350, 477—481

- - асимптотические формулы 507—508

- - второго рода 480—481

- - высшего порядка 309, 481

- - дифференциальное уравнение 79, 80

- - интегральные выражения 477—483

- - как частный случай шаровых функций Лапласа 300

- - производящая функция 79, 483

- - -рекуррентные формулы 479

- - сопряженные 309, 481

Шаровые функции обобщенные 300

Шварц, неравенство Шварца для векторов 2

- - - для функций 42

Шестигранник, софокусный ортогональный 301

Шлефли, интегральное выражение шаровых функций Лежандра 477—479

Шмидт, метод вывода теорем Фредгольма 143—144

Шредингер, задача Шредингера о собственных значениях 322—324

- задачи о собственных значениях шредингеровского типа 423

Штейнера задача 154

- решение изопериметрической задачи 162, 163

Штурм-Лиувилля задача о собственных значениях 275—278, 306—312, 312—320,

379, 432

Эйлер, дифференциальное уравнение Эйлера 175

- преобразование Эйлера 445

Экстремали 175, 178

- ломаные 245

Элементарный делитель 39

Эллиптические координаты 217

- - вырождающиеся 220—221 Эллиптические функции 218, 219 Энергия, интеграл энергии 253 Энског 144

Эрдман, условие для угловых точек 245

Эрмита дифференциальное уравнение, применение метода интегрального преобразования 484

- ортогональные функции 351

- полиномы 310, 484

- полиномы, их производящая функция 485

Ядро, определение 104

- выродившееся 106

Ядро итерированное 127

- определенное 114

- разрешающее или взаимное 130, 135

Ядро симметрическое 113, 124

- допускающее симметризацию 150

- несимметрическое 145, 147

Якоби, полиномы Якоби 81, 83, 309, 310