Примеры выполнения практических заданий.

Методические указания

К выполнению самостоятельных работ и лабораторных работ

по курсу «Математические методы моделирования»

Часть 2. «Решение уравнений и систем уравнений»

Для студентов специальности ГИСИТ, 2 курс

Разработчик: Манакова Н.О.

Харьков, 2010

Самостоятельные работы. 3

Самостоятельная работа №2. Решение систем линейных уравнений. 3

Примеры выполнения практических заданий. 3

Контрольные вопросы и задания. 5

Индивидуальные задания. 6

Самостоятельная работа №3. Решение нелинейных уравнений. 10

Уточнение корней методом половинного деления (дихотомии) 10

Метод Ньютона для решения систем нелинейных алгебраических уравнений. 11

Индивидуальные задания. 13

Лабораторные работы. 15

Лабораторная работа №5. Реализация методов решения уравнений и их систем средствами VBA. 15

Лабораторная работа №6. Решение уравнений средствами Excel. 23

Подбор параметра. 23

Поиск решения. 25

Самостоятельные работы.

Самостоятельная работа №2. Решение систем линейных уравнений.

Примеры выполнения практических заданий.

1. Осуществить замену зависимой переменной s₂ на независимую t_r в системе:

.

Решение. Решение задачи достигается с помощью одного шага жордановых исключений.

Исходная таблица жордановых исключений в условиях примера имеет вид:

	t1	t2	t3
s1=
s2=

Переменные, участвующие в транспозиции, определяют направляющую строку и направляющий столбец. Они в таблице выделены серым цветом.

Для осуществления шага жордановых исключений необходимо вычислить элементы новой таблицы жордановых исключений в соответствии с правилами.

Так, новый главный элемент . Новые элементы направляющей строки, кроме главного, есть ; .Новый элемент направляющего столбца . Остальные новые элементы вычисляются по четвертому правилу жордановых исключений:

; .

Результирующая таблица жордановых исключений для рассматриваемого примера имеет вид:

	t1	t2	s2
s1=			-3
t3 =	1,5		-0,5

Результирующей таблице соответствует новая (искомая) система линейных уравнений:

2. Решить систему линейных уравнений

относительно переменных х₁ и х₃.

Решение. Решить систему линейных уравнений относительно переменных х₁ и х₃ — это значит выразить переменные х₁ и х₃ через оставшиеся переменные х₂ и х_4. Это можно сделать с помощью жордановых исключений. Для этого введем вектор независимых переменных , каждая составляющая которого принимает только нулевое значение, и независимую переменную t, которая принимает единственное значение, а именно 1. Тогда заданную систему линейных уравнений можно представить в следующем виде:

.

Осуществим два шага жордановых исключений, в которых зависимую переменную s₁ заменим на независимую х₁, в s₂ — на х₃. Получим искомое решение:

.

Проверим правильность решения с помощью подстановки в исходную систему какого-либо частого решения. Для получения частного решения присвоим независимым переменным х₂ и х₄ какие-либо значения и подставим их в последнюю полученную систему для вычисления зависимых переменных х₁ и х₃. Например, пусть х₂=2 и х₄=2. Тогда х₁=0,5∙2-0,5∙2-1=-1, х₃=0,5∙2+2,5∙2-2=4.

Найденное частное решение превращает уравнение системы в тождества:

-1=0,5∙2-0,5∙2-1=-1.

4=0,5∙2+2,5∙2-2=4.

Следовательно, общее решение найдено правильно.

3. Решить систему линейных уравнений методом жордановых исключений :

Решение. Для решения задачи представим матрицу А как матрицу коэффициентов системы в следующем виде:

.

Преобразуем в систему с искомой обратной матрицей А^-1. Для этого в систем осуществим последовательно три шага жордановых исключений (в общем случае n шагов), каждый раз выбирая в качестве главного элемента один из диагональных, и только диагональных. Цель жордановых исключений — заменить каждую зависимую переменную s_i на независиую t_i ( ). Последовательность замен несущественна, важно, что каждая i используется только единожды.

После проведения указанных шагов жордановых исключений получим новую систему линейных форм:

,

в которой матрица коэффициентов представляет собой искомую матрицу, обратную по отношению к заданной.

Для проверки правильности найденного решения необходимо перемножить исходную и искомую матрицы:

Поскольку произведением этих матриц является единичная матрица, найденная матрица согласно определению является обратной, то есть решение найдено верно.

Контрольные вопросы и задания.

1. Привести общую форму записи систем линейных уравнений в матричном виде.

2. Привести общую форму записи решения системы линейных уравнений в матричном виде при числе переменных, равном числу уравнений.

3. Привести общую форму записи решения системы линейных уравнений в матричном виде при числе переменных, превышающем число уравнений.

4. С помощью жордановых исключений заменить в следующей системе:

зависимые переменные х₁, х₂ на независимые х₅, х₆.

5. Разрешить систему линейных уравнений

относительно переменных х₃, х_5.

6. Какое применение в линейной алгебре находят жордановы исключения?

7. Решить систему линейных уравнений

относительно переменных х₁, х₂,х₄.

8. Решить систему линейных уравнений

относительно переменных х₂,х₃.

Индивидуальные задания.

Индивидуальное задание №1. Решить систему линейных уравнений с помощью жордановых исключений относительно заданных переменных.

1.1.		Решить относительно переменных х1, х2, х4.
1.2		Решить относительно переменных х1, х2
1.3		Решить относительно переменных х2,х3 х4.
1.4		Решить относительно переменных х1, х4.
1.5		Решить относительно переменных х1, х3, х4.
1.6		Решить относительно переменных х1, х5.
1.7		Решить относительно переменных х1, х2, х3.
1.8		Решить относительно переменных х2, х4.
1.9		Решить относительно переменных х1, х2, х3.
1.10		Решить относительно переменных х2, х5.
1.11		Решить относительно переменных х1, х2, х4
1.12		Решить относительно переменных х2, х4
1.13		Решить относительно переменных х1, х2, х5
1.14		Решить относительно переменных х3, х5
1.15		Решить относительно переменных х1, х3, х4
1.16		Решить относительно переменных х4, х5
1.17		Решить относительно переменных х1, х2, х3
1.18		Решить относительно переменных х2, х5
1.19		Решить относительно переменных х1, х2, х3
1.20		Решить относительно переменных х1, х2, х4
1.21		Решить относительно переменных х1, х3
1.22		Решить относительно переменных х1, х3, х4
1.23		Решить относительно переменных х1, х5
1.24		Решить относительно переменных х2, х3, х4
1.25		Решить относительно перемененных х1, х2, х3
1.26		Решить относительно переменных х1, х2, х3.
1.27		Решить относительно переменных х1, х4.
1.28		Решить относительно переменных х1, х3.
1.29		Решить относительно переменных х1, х2, х4.
1.30		Решить относительно переменных х1, х4.

Индивидуальное задание №2. Решить систему линейных уравнений с помощью метода жордановых исключений и выполнить проверку: