Естественный способ изучения движения

Естественный способ задания движения

При естественном способе задания движения задаются траектория и закон движения точки по траектории. Для задания закона движения точки по траектории необхо­димо выбрать на траектории точку О, принимаемую за начало отсчета расстояний (рис. 7). Расстояния в одну сторону от точки О по траектории считаются положительными (например, вправо), в другую — отрицательными. Кроме того, следует задать начало отсчета времени. Обычно за t = 0 принимают момент времени, в который движущаяся точка проходит через точку О, или момент начала движения. Время до этого события считается отрицательным, а после него — положительным.

Если в момент времени t движущаяся точка занимает положение М, то закон движения точки по траектории задается зависимостью от времени расстояния s, отсчитываемого от точки О до точки М, т.е. s =f(t). Эта функция должна быть непрерывной и дважды дифференцируемой.

Скорость точки при естественном способе задания движения

Пусть движение точки задано естественным способом, т. е. заданы траектория точки и закон ее движения по траектории s=f(t). Вычислим скорость точки. Для этого используем радиус-вектор rдвижущейся точки, начало которого находится в неподвижной точке О₁(рис. 8). При движении точки ее радиус-вектор изменяется с течением времени, а следовательно, он изменяется в зависимости от расстояния. Используя опреде­ление скорости, имеем:

или v = sτ, где τ = dr/ds

Единичный вектор τ всегда направлен по касательной к траектории в сторону возрастающих (положительных) расстояний независимо от направления движения точки.

Рисунок 8

Величина v τ =s называется алгебраичес­кой скоростью точки. Ее можно считать проекцией скорости на положительное на­правление касательной к траектории. Естественное задание движения точки полностью определяет скорость точки по величине и направлению. Алгебраическую скорость находят дифференцированием по времени закона изменения расстояний.

Радиус кривизны и соприкасающаяся плоскость.

В точке М кривой линии проведем касательную Мτ (рис. 9). В точке кривой М₁ отстоящей от точки М на расстоянии ∆s, построим касательную M_1τ1. В общем случае пространст­венной кривой касательные Мτ и M_1τ1 будут скрещиваться. Проведем в точке М прямую линию M_τ1, параллельную M_1τ1. Угол ∆φ между линиями Мτ и M_τ1^” называется углом_ смежностиКривизной кривой к в точке М называют Радиусом кривизны кривой р в точке М называют величину, обратную кривизне кривой в этой точке, т. е. р=1/k=ds/dφ

Вычислим радиус кривизны дуги окружности радиусом R (рис. 10). Дуга окружности длиной s, опирающаяся на центральный угол φ, выражается зависимостью s = R φ. Для радиуса кривизны имеем р=ds/dφ=R

т. е. для окружности радиус кривизны в каждой ее точке один и тот же и совпадает с радиусом окружности.

Для определения понятия соприкасающейся плоскости прово­дим вспомогательную плоскость через две пересекающиеся прямые Мτ и М^/τ (см. рис9), Предельное по­ложение этой плоскости при совпаде­нии в пределе точки М₁ с точкой М называется соприкасающейся плос­костью кривой в точке М.

В случае плоской кривой сопри­касающейся плоскостью для всех то­чек кривой является сама плоскость, в которой расположена эта кривая. Естественный трехгранник. Постро­им в точке М кривой линии естественные оси этой кривой (рис. 11). Первой естественной осью является касатель­ная Мτ. Ее положительное направление совпадает с направ­лением единичного вектора касательной τ, направленного в сторону возрастающих расстояний.

Перпендикулярно касательной Мτ располагается нор­мальная плоскость кривой. Нормаль, расположенная в со­прикасающейся плоскости, называется главной нормалью Мп. Она является линией пересечения нормальной плоскости с со­прикасающейся плоскостью. По главной нормали внутрь вогнутости кривой направим единичный вектор п. Он определя­ет положительное направление второй естественной оси.

Нормаль, перпендикулярная главной нормали, называется бинормалью. Единичный вектор b, направленный по бинормали так, чтобы три вектора τ, п и b образовывали правую систему осей координат, определит положительное направление третьей естественной оси.

Три взаимно перпендикулярные оси Мτ, Мп и Mb, положи­тельные направления которых совпадают с направлениями единичных векторов τ, п, b, называются естественными осями кривой. Эти оси образуют в точке М естественный трехгранник. При движении точки по кривой естественный трехгранник движется вместе с точкой как твердое тело, поворачиваясь вокруг вершины, совпадающей с движущейся точкой.

Ускорение точки при естественном способе задания движения

Учитывая, что для скорости точки имеем v=sτ= v_ττ (14)

в соответствии с определением ускорения, получаем: (15)

так как s² = v² и dτ/dt направлен внутрь вогнутости траектории параллельно единичному вектору главной нормали п.

Получено разложение ускорения точки по осям естественно­го трехгранника. Часть ускорения

называется касательной составляющей ускорения. Другая часть ускорения

называется нормальной составляющей ускорения. Она направле­на внутрь вогнутости траектории, т. е. в сторону положительно­го направления единичного вектора главной нормали п, так как внутрь вогнутости траектории направлено полное ускоре­ние. Таким образом, ускорение точки a=a_τ+a_n (16)

Из (15) получим формулы для проекций ускорения на естественные оси. Имеем:

Проекция ускорения на положительное на­правление касательной, совпадающее с на­правлением единичного вектора τ, называ­ется касательным ускорением, а на главную нормаль, направленную по единичному вектору n,— нормальным ускорением. Про­екция ускорения на бинормаль, направ­ленную по единичному вектору b, равна нулю; следовательно, ускорение точки рас­положено в соприкасающейся плоскости траектории.

Полное ускорение (Рис. 12) равно:

нормальная составляющая ускорения a_п внутрь вогнутости траектории. Касательная составляющая, а_τ при s’’>0 направлена в положительную сторону касательной,

При s’>0 и s’’>0 векторы скорости и касательной составляю­щей ускорения направлены в одну сторону — по τ. Движение точки является ускоренным в положительном направлении касательной к траектории. При s’>0 и s’’>0 движение точки является ускоренным, но в отрицательном направлении. Если s’>0 и s’’<0 вектор касательной составляющей ускорения противоположен скорости по направлению, движение точки является замедленным.Случаи обращения в нуль касательного ускорения получаю из условия a_τ=dv_τ/dt=0

Это условие выполняется все время, пока v = \v_τ\ = const, т.е. при равномерном движении точки по траектории любо формы. Касательное ускорение обращается в нуль также в тe моменты времени, в которые алгебраическая скорость v_τ достигает экстремума. Случаи обращения в нуль нормального ускорения следуют из условия a_n= v²/p=0

Это условие выполняется при р=∞, т.е. при прямолинейном движении точки. Нормальное ускорение обращается так же в нуль в моменты времени, в которые v=0 т.е. в моменты изменения направления движения точки по траектории. Случаи обращения в нуль касательного и нормального ускорений, а так же общие формулы для них показывают, что касательное ускорение характеризует изменение вектора скорости по величине, а нормальное по направлению.