В.2. Определение производной функции

Пусть функцияy = ƒ(x) определена на множестве Х. Возьмём т.х Х. Дадим значению х приращение . Тогда y подучит приращение .

Определение. Производной функции y = ƒ(x) называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):

.

Другие обозначения:

Дифференцирование функции – это нахождение производной этой функции. Если функция имеет в точке x производную (конечную), то она называется дифференцируемой в этой точке. То же можно сказать о дифференцировании функции на промежутке X.

Геометрический смысл производной: производная – угловой коэффициент или тангенс угла наклона касательной, проведенной к кривой y= f(x) в точке x₀ , с осью Ох.

Уравнение касательной к кривой y= f(x) в точке x₀: .

Механический смысл: производная пути по времени - есть скорость точки в момент t₀ , т.е. .

Теорема (зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью): Если функция y= f(x)дифференцируема в точке x₀, то она в этой точке непрерывна.

Обратная теорема, вообще говоря, не верна, т.е. непрерывная функция может быть не дифференцируемой в точке x₀ , например, функция y =|x| в точке x=0.

Поэтому непрерывность функции является необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости функции. В математике известны непрерывные функции, не дифференцируемые ни в одной точке.

Замечание. Производная непрерывной функции не обязательно непрерывна. Если функция имеет непрерывную производную на промежутке X , то функция называется гладкойна этом промежутке. Если производная допускает конечное число точек разрыва 1-го рода, то она называется кусочно-гладкой на данном промежутке.

В.3. Основные правила дифференцирования

1) с’ = 0;

2) x’ = 1;

3) (u + v)’ = u’ + v’;

4) (c∙u)’ = c∙u’;

5) (u∙v)’ = u’∙v + u∙v’;

6) (u∙v∙w)’ = u’∙v∙w + u∙v’∙w + u∙v∙w’;

7) .

В.4. Производная сложной и обратной функций

Если у есть функция от и: у = f(u), где и в свою очередь есть функция от аргумента х: u = φ(x), т.е. если у зависит от х через промежуточный аргумент и, то у называется сложной функцией от х (функцией от функции): y = f(φ(x)).

Теорема. Производная сложной функции , где , где y и u – дифференцируемые функции своих аргументов, равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной:

или y’_x = y’_u u’_x

.

Пусть –дифференцируемая и строго монотонная функция на промежутке X, – обратная к ней и непрерывная на соответствующем промежутке Y.

Теорема. Для дифференцируемой функции с производной, не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е.