Физические и математические маятники.

Математический маятник.

Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на нерастяжимой невесомой нити, совершающая колебательное движение в одной вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

Физические и математические маятники. - student2.ru

Таким маятником можно считать тяжелый шар массой m, подвешенный на тонкой нити, длина l которой намного больше размеров шара. Если его отклонить на угол α (рис.7.3.) от вертикальной линии, то под влиянием силы F – одной из составляющих веса Р он будет совершать колебания. Другая составляющая Физические и математические маятники. - student2.ru , направленная вдоль нити, не учитывается, т.к. уравновешивается силой натяжения нити. При малых углах смещения Физические и математические маятники. - student2.ru и, тогда координату х можно отсчитывать по горизонтальному направлению. Из рис.7.3 видно, что составляющая веса, перпендикулярная нити, равна

Физические и математические маятники. - student2.ru

Знак минус в правой части означает то, что сила F направлена в сторону уменьшения угла α. С учетом малости угла α

Физические и математические маятники. - student2.ru

Для вывода закона движения математического и физического маятников используем основное уравнение динамики вращательного движения

Момент силы относительно точки О: Физические и математические маятники. - student2.ru , и момент инерции:
M = FL .
Момент инерции J в данном случае
Угловое ускорение:
Физические и математические маятники. - student2.ru

С учетом этих величин имеем:
Физические и математические маятники. - student2.ru

или

Физические и математические маятники. - student2.ru (7.8)

Его решение
Физические и математические маятники. - student2.ru ,

где Физические и математические маятники. - student2.ru и Физические и математические маятники. - student2.ru (7.9)

Как видим, период колебаний математического маятника зависит от его длины и ускорения силы тяжести и не зависит от амплитуды колебаний.

Физический маятник.

Физическим маятником называется твердое тело, закрепленное на неподвижной горизонтальной ocи (оси подвеса), не проходящей через центр тяжести, и совершающее колебания относительно этой оси под действием силы тяжести. В отличие от математического маятника массу такого тела нельзя считать точечной.

Физические и математические маятники. - student2.ru

При небольших углах отклонения α (рис. 7.4) физический маятник так же совершает гармонические колебания. Будем считать, что вес физического маятника приложен к его центру тяжести в точке С. Силой, которая возвращает маятник в положение равновесия, в данном случае будет составляющая силы тяжести – сила F.

Физические и математические маятники. - student2.ru

Знак минус в правой части означает то, что сила F направлена в сторону уменьшения угла α. С учетом малости угла α

Физические и математические маятники. - student2.ru

Для вывода закона движения математического и физического маятников используем основное уравнение динамики вращательного движения

Физические и математические маятники. - student2.ru . Момент силы: определить в явном виде нельзя. С учетом всех величин, входящих в исходное дифференциальное уравнение колебаний физического маятника имеет вид:

Физические и математические маятники. - student2.ru (7.10)
Физические и математические маятники. - student2.ru (7.11)

Решение этого уравнения
Физические и математические маятники. - student2.ru

Определим длину l математического маятника, при которой период его колебаний равен периоду колебаний физического маятника, т.е. Физические и математические маятники. - student2.ru или

Физические и математические маятники. - student2.ru .
Из этого соотношения определяем
Физические и математические маятники. - student2.ru

Данная формула определяет приведенную длину физического маятника, т.е. длину такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника.

Наши рекомендации