Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды

Будем рассматривать случай вакуума. Уравнения Максвелла для электромагнитных волн в вакууме имеют вид:

Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru

Далее значок Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru будет означать, что оператор Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru действует на Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru .

Умножим третье уравнение на Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru , а четвёртое на Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru скалярно. Тогда:

Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru

Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru

Тогда:

Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru (19.1)

Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru (19.2)

Вычтем из (19.1) – (19.2), тогда получим:

Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru

Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru , следовательно Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru

Введём обозначение Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru - объёмная плотность в СГС. И введём вектор Пойнтинга.

Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru - плотность потока энергии электромагнитного поля.

Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru - в СГС.

Тогда Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru

Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru - уравнение непрерывности

В случае среды Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru

Если проинтегрировать по объёму, то:

Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru (19.3)

По теореме Остроградского-Гаусса: Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru

Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru - энергия электромагнитного поля, заключенная в объём Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru с поверхностью Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru .

Тогда (19.3) перепишется в виде:

Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru

Если это выражение поделить на площадь Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru , то получим, что Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru - это энергия, переносимая в единицу времени через единицу поверхности. Физическое содержание этого уравнения – закон сохранения энергии.

Если рассматривать объём Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru и если угол между нормалью Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru и Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru острый, то интеграл Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru , т.е. происходит вытекание энергии из объёма Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru . В этом случае

Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru

Т.е. происходит убывание Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru в замкнутом объёме Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru за счёт переноса её через поверхность объёма во вне.

Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды.

Умножим третье уравнение Максвелла скалярно на Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru , а четвёртое скалярно на Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru и вычитая из третьего уравнения четвёртое получим:

Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru

где Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru , Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru и Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru . Тогда:

Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru -Теорема Пойнтинга в полном виде.

Третье слагаемое описывает процессы диссипации.

Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru , тогда Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru - закон Джоуля-Ленца.

15 § 20. Соотношение между векторами Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru в случае плоских электромагнитных волн в вакууме

В случае плоских волн эти функции есть функции аргументов Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru и Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru ; Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru - нормаль к поверхности фронта волны.

Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru , Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru

Вектор Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru - волновой вектор, где Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru - волновое число. Запишем соотношения:

Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru

Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru

Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru

Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru

Первое слагаемое содержит и поперечную и продольную составляющую. Второе слагаемое приводит к продольной составляющей. Чтобы в поле Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru не было продольных составляющих надо положить Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru и надо Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru , т.е. чтобы поле было только поперечным нужно ввести калибровку:

Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru

Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru

Вообще-то Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru следует из уравнения Максвелла Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru .

Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru

Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru

Рассмотрим теперь:

Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru

Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru

Тогда:

Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru

Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru

Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru

Т.е. Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru и Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru ортогональны. Более того Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru

Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru

Т.е. Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru и Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru ортогональны. В результате образовалась правая тройка векторов. Ортогональность вектора Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru векторам Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru и Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru означает поперечность волны.

Рассмотрим вектор Пойнтинга:

Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru

Для поперечных волн Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru , тогда:

Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru

Найдём выражение для Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru , выраженное через одно из полей:

Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru

Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru

Тогда

Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru

Связь вектора Пойнтинга с плотностью энергии:

Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru

Значит, Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru направлен по вектору нормали распространения фронта волны Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru

Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды - student2.ru

Наши рекомендации