Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности). Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды
Будем рассматривать случай вакуума. Уравнения Максвелла для электромагнитных волн в вакууме имеют вид:
Далее значок будет означать, что оператор действует на .
Умножим третье уравнение на , а четвёртое на скалярно. Тогда:
Тогда:
(19.1)
(19.2)
Вычтем из (19.1) – (19.2), тогда получим:
, следовательно
Введём обозначение - объёмная плотность в СГС. И введём вектор Пойнтинга.
- плотность потока энергии электромагнитного поля.
- в СГС.
Тогда
- уравнение непрерывности
В случае среды
Если проинтегрировать по объёму, то:
(19.3)
По теореме Остроградского-Гаусса:
- энергия электромагнитного поля, заключенная в объём с поверхностью .
Тогда (19.3) перепишется в виде:
Если это выражение поделить на площадь , то получим, что - это энергия, переносимая в единицу времени через единицу поверхности. Физическое содержание этого уравнения – закон сохранения энергии.
Если рассматривать объём и если угол между нормалью и острый, то интеграл , т.е. происходит вытекание энергии из объёма . В этом случае
Т.е. происходит убывание в замкнутом объёме за счёт переноса её через поверхность объёма во вне.
Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды.
Умножим третье уравнение Максвелла скалярно на , а четвёртое скалярно на и вычитая из третьего уравнения четвёртое получим:
где , и . Тогда:
-Теорема Пойнтинга в полном виде.
Третье слагаемое описывает процессы диссипации.
, тогда - закон Джоуля-Ленца.
15 § 20. Соотношение между векторами в случае плоских электромагнитных волн в вакууме
В случае плоских волн эти функции есть функции аргументов и ; - нормаль к поверхности фронта волны.
,
Вектор - волновой вектор, где - волновое число. Запишем соотношения:
Первое слагаемое содержит и поперечную и продольную составляющую. Второе слагаемое приводит к продольной составляющей. Чтобы в поле не было продольных составляющих надо положить и надо , т.е. чтобы поле было только поперечным нужно ввести калибровку:
Вообще-то следует из уравнения Максвелла .
Рассмотрим теперь:
Тогда:
Т.е. и ортогональны. Более того
Т.е. и ортогональны. В результате образовалась правая тройка векторов. Ортогональность вектора векторам и означает поперечность волны.
Рассмотрим вектор Пойнтинга:
Для поперечных волн , тогда:
Найдём выражение для , выраженное через одно из полей:
Тогда
Связь вектора Пойнтинга с плотностью энергии:
Значит, направлен по вектору нормали распространения фронта волны