Электромагнитные волны в немагнитных анизотропных средах

Плоская монохроматическая волна. Распространение электромагнитных волн в прозрачном немагнитном кристалле описывается уравнениями Максвелла в форме

(Ф15.1)

и материальным уравнением

(Ф15.2)

где и - векторы напряженности и индукции; с - скорость света в вакууме, а по повторяющемуся (немому) индексу к предполагается суммирование. Предположение о прозрачности кристалла приводит к отбрасыванию в полных уравнениях Максвелла источников поля (плотностей заряда и тока). Свойство немагнитности (пренебрежение намагниченностью) кристалла выражается равенством Н = В.

Связь (Ф15.2) между векторами и осуществляется при помощи тензора диэлектрической непроницаемости ). Понятие тензора возникает при установлении линейных соотношений между внешним воздействием и реакцией на него в анизотропных средах. Скалярная величина (температура, энергия) представляется тензором нулевого ранга, векторная величина (напряженность и индукция электрического поля) - тензором первого ранга. Физические свойства кристаллов описываются тензорами разного ранга: нулевого (теплоемкость), второго (диэлектрическая проницаемость) и т.п. Связь между индукцией и напряженностью электрического поля

определяет тензор диэлектрической проницаемости , связанный с из (Ф15.2) равенством

(Ф15.3)

Тензоры и обладают свойством симметрии относительно перестановки индексов

Следует иметь в виду, что компоненты и тензоров и зависят, как и проекции , и векторов и , от выбора системы координат (базиса).

Если переменное электромагнитное поле распространяется в кристалле в форме плоской монохроматической волны, то для полей , , будем иметь:

(Ф15.4)

где - фазовый множитель; - фаза волны; - волновой вектор; - циклическая частота. Равенство

(Ф15.5)

определяет форму фронта волны - поверхности равной фазы. Легко видеть, что (Ф15.5) представляет уравнение плоскости, нормаль к которой (волновая нормаль) – вектор . Можно показать, что имеют место соотношения

(Ф15.6)

где - фазовая скорость света в рассматриваемой среде; - показатель преломления среды, зависящий от направления единичного вектора волновой нормали ; - волновое число в случае вакуума, когда ; и - длина волны света в среде и вакууме соответственно.

Пространственно-временная зависимость (Ф15.4) полей , и в случае плоской монохроматической волны существенно упрощает

уравнения (Ф15.1), поскольку действие операторов и на поля , , сводится к их действию на скалярную функцию . Это дает:

В силу этого для полей вида (Ф15.4) устанавливается соответствие

(Ф15.7)

С учетом (Ф15.7) уравнения (Ф15.1) в случае (Ф15.4) принимают вид:

(Ф15.8)

Отсюда следует, что поля , , имеют одинаковую фазу , причем векторы , , взаимно ортогональны, а в общем случае ортогонален лишь вектору . Таким образом, поперечность электромагнитных волн в анизотропных средах сводится к тому, что векторы и лежат в плоскости волнового фронта. Общий случай пространственного расположения векторов , , , и , удовлетворяющих (Ф15.6) и (Ф15.8), изображен на рис.9.

Исключив из пары векторных уравнений (Ф15.8) поле и поделив на , получим уравнение

которое после преобразования двойного векторного произведения при­нимает вид:

(Ф15.9)

где - составляющая поля , лежащая в плоскости волнового фронта (см. рис.9).

Воспользовавшись материальным уравнением (Ф15.2) и введя в рассмотрение поляризацию вектора (единичный вектор в направлении исследуемого поля)

,

вместо (Ф15.9) запишем:

(Ф15.10)

Векторному уравнению (Ф15.10) соответствуют три (по числу проек­ций) скалярных:

(Ф15.11)

Уравнение (Ф15.10) позволяет по известным оптическим свойствам среды (тензор ) рассчитать соответствующие им значения показателя

преломления , а также векторы для волн, распространяющихся в кристалле в направлении m .

Действительно, представив (Ф15.11) в форме

(Ф15.12)

придем к системе однородных линейных уравнений относительно неизвестных . Критерий

существования нетривиального решения системы (Ф15.12) сводится к квадратному уравнению относительно (дисперсионному уравнению). Это означает, что в общем случае существует не более двух различных значений , обозначаемых посредством .Им соответствуют два значения показателя преломления - и два значения фазовой скорости - .

Подставив

в матрицу и решив систему (Ф15.12) вместе с условием нормировки , найдем поляризации и обеих мод плоской монохроматической волны поля .

Можно показать, что и ортогональны. С учетом вытекающей из (Ф15.8) ортогональности и заключим: , , взаимно ортогональны подобно , , . В случае, когда коллинеарен вектору , волна называется линейно-поляризованной.

Итак, при прохождении света через анизотропную среду в общем случае имеет место двойное лучепреломление - раздвоение луча, обусловленное зависимостью показателя преломления от поляризации d и направления m распространения волны. Проходящая через кристалл волна (Ф15.4) распадается на две линейно-поляризованные волны, для которых имеем:

(Ф15.13)

В любой оптически анизотропной среде существуют особые направления - оптические оси, - вдоль которых раздвоения луча не происходит. По числу (не более двух) этих осей кристаллы подразделяются на одноосные и двухосные.

Оптическая индикатриса. Задача нахождения и может быть проиллюстрирована геометрическими построениями, опирающимися на использование характеристической поверхности

(Ф15.14)

тензора , называемой оптической индикатрисой (или эллипсоидом Пуансо).

Приведение поверхности (Ф15.14) второго порядка к каноническому виду (или, что то же самое, приведение матрицы [ ] к диагональному виду) дает:

(Ф15.15)

где , - собственные (главные) значения , соответственно. Главные оси индикатрисы (Ф15.15) ортогональны. Длины ее полуосей именуемые главными показателями преломления, - характерные параметры вещества. Напомним, что они зависят от частоты колебаний электромагнитного поля (Ф15.4). В таблице приведены некоторые данные о форме оптической индикатрисы и свойствах кристаллов.

Форма оптической индикатрисы	Соотношение между	Оптические свойства кристаллов
Сфера		Изотропные
Эллипсоид вращения		Одноосные
Трехосный эллипсоид		Двухосные

На рис. 10 изображена оптическая индикатриса двухосного кристалла вместе с характерными плоскостями и осями.

Центральным сечением называется кривая, получаемая от пересечения с оптической индикатрисой плоскости волнового фронта, проходящего через начало координат (точку О на рис. 10). В общем случае эта кривая - эллипс, все точки которого удовлетворяют одновременно и уравнению индикатрисы, и уравнению плоскости волнового фронта. Если по известному вектору нормали к фронту волны провести через точку О ортогональную ему плоскость, то длины полуосей центрального сечения, соответствующего данному m, представляют пока­затели преломления, определяющие, согласно (Ф15.13), фазовые скорости обеих линейно-поляризованных волн, распространяющихся в направлении .

У оптически изотропных кристаллов (см. таблицу) индикатриса - сфера и все центральные сечения - окружности. Это означает, что показатель преломления (Ф15.13) не зависит ни от направления m распространения волны, ни от ее поляризации :

(Ф15.16)

Равенство вида (Ф15.16) имеет место и для оптически анизотропных веществ, но лишь для одного (одноосные кристаллы) или двух (двухосные кристаллы) направлений вектора m. Направление нормали , для которого центральное сечение (см. плоскость на рис. 10) - окружность, называется оптической осью (или бинормалью). На рис. 10 для направлений и справедливо равенство

Для одноосных кристаллов (два различных значения главных пока­зателей преломления) имеем:

в случае оптически положительных кристаллов:

(Ф15.17)

в случае оптически отрицательных кристаллов:

(Ф15.18)

Вследствие этого направления (оптические оси) и совпадают с большой ( ) главной осью эллипсоида (Ф15.15) в случае (Ф15.17) и малой ( ) - в случае (Ф15.18). Таким образом, в одноосных кристаллах первый показатель преломления (Ф15.18) не зависит от , а второй - в разных направлениях различен. Первый показатель называют обыкновенным и обозначают ; второй - необыкновенным и обозначают , его значения зависят от направления распространения волны.

Фазовая и групповая скорости. В анизотропных средах векторы и в общем случае неортогональны, поэтому возникает необходимость введения, наряду с вектором , нормали к фронту волны другого единичного вектора (называемого лучевым, или лучом), ортогонального векторам и (см. рис.9).

Вектор задает направление перемещения фронта волны, т.е. направление фазовой скорости. По определению,

где величина фазовой скорости находится из условия постоянства фазы для точек фронта волны. Продифференцировав обе части равенства (Ф15.5), получим:

Отсюда с учетом (Ф15.2), (Ф15.3) и (Ф15.6) найдем:

Важную роль в теории поля играет вектор Пойнтинга

имеющий смысл плотности потока энергии. В рассматриваемом случае (Ф15.4), (Ф15.8) плоской монохроматической волны, распространяющейся в оптически прозрачной анизотропной среде, для лучевого вектора имеем:

Выразив и через при помощи (Ф15.2) и (Ф15.8) и введя единичный вектор , приведем к виду

Отсюда с учетом ортогональности векторов и (Ф15.10) найдем:

Таким образом, угол между векторами и равен углу между векторами и .

Для описания процесса переноса энергии электромагнитной волны вводится вектор групповой скорости . Его направление совпадает с направлением . В рассматриваемом случае прозрачных немагнитных кристаллов фазовая и групповая скорости связаны равенством

(Ф15.19)

В общем случае для групповой скорости имеем:

Для расчета необходимо знать решение дисперсионного уравнения типа (Ф13.2).

В качестве альтернативного часто используется метод, основанный на принципе перестановочной двойственности, который в нашем случае сводится к следующему:

(Ф15.20)

замена (Ф15.20), осуществленная в соотношениях для волн, переводит их в соотношение для лучей (и обратно).

Замена (Ф15.20), выполненная в (Ф15.15), приводит к уравнению

характеристической поверхности тензора (в главных осях), именуемой эллипсоидом Френеля. Главные оси взаимно-обратных (Ф15.3) тензоров и совпадают, однако длины соответствующих полуосей взаимно-обратны. Построения на эллипсоиде Френеля идентичны построениям на индикатрисе (эллипсоиде Пуансо). Направления, перпендикулярные круговым сечениям эллипсоида Френеля, называются лучевыми оптическими осями, или бирадиалями. У одноосных кристаллов бирадиали совпадают с бинормалями, а у двухосных лежат вместе с ними в плоскости оптических осей, которая ортогональна средней ( ) главной оси обоих эллипсоидов.

По заданному лучу рассчитываются, подобно (Ф15.12), (Ф15.13), пара­метры луча:

(Ф15.21)

Из (Ф15.13),(Ф15.19) и (Ф15.21) следует

В заключение еще раз отметим, что оптические свойства кристаллов в значительной мере определяются свойствами симметрии тензоров и и геометрией соответствующих им квадратичных форм.