Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды

Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru (Ф19.1)

Рассматриваем нормальные волны, т.е. источников нет.

Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru , где Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru

Будем предполагать Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru . Здесь Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru , если Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru .

Запишем ещё одно уравнение для среды сравнения, которая имеет однородные диэлектрические свойства, и геометрически идентичная нашей неоднородной рассматриваемой среде.

Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru (Ф19.2)

Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru , где Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru

Это уравнение решать проще чем, чем исходное. Будем обозначать через Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru выражения вида:

Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru

Вычитая из (Ф19.1) – (Ф19.2) получим:

Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru

Введем обозначение Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru , тогда:

Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru

в компонентной форме:

Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru

Используем функцию Грина для оператора Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru , тогда:

Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru

Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru

или

Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru

Оператор Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru . Обозначим Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru , тогда:

Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru

Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru - интегральный оператор, действующий на поле Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru .

Это уравнение решается методом последовательного приближения:

0-е приближение Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru

1-е приближение Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru

(n+1)-е приближение Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru

Полученные результаты представляются в виде ряда Неймана (если этот ряд сходится):

Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru

Условие сходимости ряда Неймана - Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru

§ 20. Расчет показателя рассеяния Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru , фазовой Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru и групповой Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru скорости электромагнитных волн в неоднородных средах

При распространении волн в неоднородных средах наибольший интерес представляет среднее поле – когерентная составляющая Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru . Оказывается, что поле Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru удовлетворяет уравнению:

Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru ,

где Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru - эффективный интегро-дифференциальный оператор.

Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru

Важное значение имеет фурье-образ оператора Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru , т.е. тензор

Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru , где Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru

Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru - определяет свойства когерентной составляющей волны. Когерентная составляющая волны:

Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru

Вектор Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru определяется из решения дисперсионного уравнения:

Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru

Откуда получаем Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru . Мнимая часть Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru определяет рассеяние электромагнитных волн на неоднородностях среды.

Тогда показатель рассеяния Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru , фазовая скорость Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru и групповая скорость Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru .

§ 21. Асимптотические выражения для показателя рассеяния Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru

Рассмотрим Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru . Если Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru , то Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru и Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru .

Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru - описывает характер убывания взаимодействия между неоднородностями. Для описания Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru вводится параметр Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru :

Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru

Это для случая статистически однородной и изотропной среды (т.е. микросреда неоднородная, а макросреда – однородная). Здесь Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru - масштаб корреляции, т.е. расстояние на котором взаимодействие между неоднородностями убывает в е раз.

Удобно ввести безразмерный коэффициент:

Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru

Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru имеет различную зависимость от волнового числа в зависимости от диапазона длин волн.

Рассмотрим диапазон длинных волн Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru . Релей получил Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru , где Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru

Здесь Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru , т.е. длинноволновая асимптотика.

Рассмотрим случай коротких волн Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru . Здесь Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru , где вводится ограничение Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru , Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru .

Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru , т.е. Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru (случай коротких волн)

Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru , т.е. Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru

Мы получили выделенный интервал длин волн, для которого:

Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru

т.е. длины волн малы по сравнению с Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru и большие по сравнению с Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru .

Рассмотрим ультракоротких волн Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru . Здесь Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru и Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru

Графически все три случая можно изобразить следующим образом:

Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru Ширина Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru -области определяется величиной Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru . С ростом Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru область Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru уменьшается. С дальнейшим ростом Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru может исчезнуть область Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды - student2.ru - область ультракоротких волн.

Наши рекомендации