Ряды. Уравнения математической физики.
1. Числовой ряд исследовать на абсолютную и условную сходимость. Для функционального ряда найти область сходимости и исследовать на границе области.
а) | б) | в) | |
г) | д) | ||
а) | б) | в) | |
г) | д) | ||
а) | б) | в) | |
г) | д) | ||
а) | б) | в) | |
г) | д) | ||
а) | б) | в) | |
г) | д) | ||
а) | б) | в) | |
г) | д) | ||
а) | б) | в) | |
г) | д) | ||
а) | б) | в) | |
г) | д) | ||
а) | б) | в) | |
г) | д) | ||
а) | б) | в) | |
г) | д) | ||
а) | б) | в) | |
г) | д) | ||
а) | б) | в) | |
г) | д) | ||
а) | б) | в) | |
г) | д) | ||
а) | б) | в) | |
г) | д) | ||
а) | б) | в) | |
г) | д) | ||
а) | б) | в) | |
г) | д) | ||
а) | б) | в) | |
г) | д) | ||
а) | б) | в) | |
г) | д) | ||
а) | б) | в) | |
г) | д) | ||
а) | б) | в) | |
г) | д) | ||
а) | б) | в) | |
г) | д) | ||
а) | б) | в) | |
г) | д) | ||
а) | б) | в) | |
г) | д) | ||
а) | б) | в) | |
г) | д) |
2. Найти сумму ряда.
а) | б) | |
в) | г) | |
а) | б) | |
в) | г) | |
а) | б) | |
в) | г) | |
а) | б) | |
в) | г) | |
а) | б) | |
в) | г) | |
а) | б) | |
в) | г) | |
а) | б) | |
в) | г) | |
а) | б) | |
в) | г) | |
а) | б) | |
в) | г) | |
а) | б) | |
в) | г) | |
а) | б) | |
в) | г) | |
а) | б) | |
в) | г) | |
а) | б) | |
в) | г) | |
а) | б) | |
в) | г) | |
а) | б) | |
в) | г) | |
а) | б) | |
в) | г) | |
а) | б) | |
в) | г) | |
а) | б) | |
в) | г) | |
а) | б) | |
в) | г) | |
а) | б) | |
в) | г) | |
а) | б) | |
в) | г) | |
а) | б) | |
в) | г) | |
а) | б) | |
в) | г) | |
а) | б) | |
в) | г) |
3. Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения удовлетворяющего начальному условию
1) ; | 2) ; | ||
3) ; | 4) ; | ||
5) ; | 6) ; | ||
7) ; | 8) ; | ||
9) ; | 10) ; | ||
11) ; | 12) ; | ||
13) ; | 14) ; | ||
15) ; | 16) ; | ||
17) ; | 18) ; | ||
19) ; | 20) ; | ||
21) ; | 22) ; | ||
23) ; | 24) ; |
Разложить в ряд Фурье функцию на указанном интервале .
1) ; | 2) |
3) ; | 4) |
5) ; | 6) ; |
7) ; | 8) ; |
9) ; | 10) ; |
11) ; | 12) ; |
13) ; | 14) ; |
15) ; | 16) ; |
17) ; | 18) ; |
19) ; | 20) ; |
21) ; | 22) ; |
23) ; | 24) |
5. Методом Фурье решить уравнение колебаний конечной струны длины 1 с граничными условиями и начальными условиями
1) | ; | ; |
2) | ; | ; |
3) | ; | ; |
4) | ; | ; |
5) | ; | ; |
6) | ; | ; |
7) | ; | ; |
8) | ; | ; |
9) | ; | ; |
10) | ; | ; |
11) | ; | ; |
12) | ; | ; |
Методом Фурье решить уравнение теплопроводности стержня длины l (найти распределение тепла в любой момент времени t вдоль стержня, имеющего теплопроницаемую боковую поверхность) с граничными условиями .
13) | ; | ; |
14) | ; | ; |
15) | ; | ; |
16) | ; | ; |
17) | ; | ; |
18) | ; | ; |
19) | ; | ; |
20) | ; | ; |
21) | ; | ; |
22) | ; | ; |
23) | ; | ; |
24) | ; | ; |
Раздел 8
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Вопросы для самопроверки
1. Задачи, приводящие к криволинейным интегралам. Определение криволинейных интегралов первого и второго рода, их основные свойства и вычисление. Геометрические и механические приложения. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Формула Грина.
2. Площадь поверхности. Определение поверхностных интегралов. Их свойства и вычисление.
3. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня скалярного поля. Производная по направлению. Градиент скалярного поля, его координатное и инвариантное определения.
4. Векторное поле. Векторные линии и их дифференциальные уравнения.
5. Односторонние и двусторонние поверхности. Поток векторного поля через поверхность. Физический смысл потока в поле скоростей жидкости. Вычисление потока. Теорема Остроградского.
6. Дивергенция векторного поля, ее инвариантное определение и физический смысл. Вычисление дивергенции. Соленоидальные (трубчатые) поля.
7. Линейный интеграл в векторном поле. Работа силового поля. Циркуляция векторного поля. Теорема Стокса. Ротор поля, его координатное и инвариантное определения. Физический смысл ротора в поле скоростей. Условия независимости линейного интеграла от формы пути интегрирования.
8. Потенциальное поле. Условие потенциальности поля. Вычисление линейного интеграла в потенциальном поле.
9. Оператор Гамильтона. Операции второго порядка в векторном анализе. Оператор Лапласа, его выражение в цилиндрических и сферических координатах.
В гл. XV §1-2 вводятся понятия криволинейного интеграла первого (по длине дуги) (КИ1) и второго (в координатной форме) (КИ2) рассмотрены их свойства и приложения. Вычисление криволинейных интегралов сводится в общем случае к вычислению определенного интеграла (задача 1,2), доказана формула Грина (§3), Связывающая вычисление КИ2 по замкнутой плоской кривой L с вычислением двойного интеграла по области , ограниченной этой кривой
.
Масса дуги материальной кривой при заданной линейной плотности вычисляется с помощью КИ1
.
При вычислении циркуляции векторного поля вдоль плоского контура (задача 3) следует применить формулу Грина.
В §5, 6 гл.XV вводятся понятия поверхностных интегралов первого (ПИ1) и второго (ПИ2) рода, доказываются их свойства и приложения. В §7 доказана формула Остроградского-Гаусса, связывающая вычисления ПИ2 от векторного поля
по замкнутой поверхности с вычислением тройного интеграла по области , ограниченной поверхностью
, где .
При вычислении ПИ2 по замкнутой поверхности (задача 4), как правило применяют формулу Остроградского.
При решении задачи №5 необходимо вспомнить ( гл. IX §6), что нормаль к поверхности, заданной уравнением определяется вектором
.
Производная от функции по направлению вектора вычисляется ( гл. VIII §14) по формуле
.
Положительным считается направление нормали к поверхности, составляющее острый угол с осью OZ.
Указание.При выполнении контрольной работы №8 приходится вычислять неопределенные (определенные) интегралы вида:
, при - нечетном удобно сделать замену ; при - четном либо используют тригонометрическую подстановку, либо интегрируют по частям.
Можно найти аналогичный интеграл (для конкретных значений m, a, b) в книге: Двайт «Таблица интегралов и другие математические формулы».