Основні правила диференціювання

Основні теореми про границі функцій

Теорема 1. Якщо функції і в точці мають границі, то сума і добуток цих функцій також мають у цій точці границю, причому
;
.
Теорема 2. Якщо функції і в точці мають границі й , то й функція має в цій точці границю, яка дорівнює
.
Теорема 3. Якщо при функція має границю A, то ця границя єдина.

11)Гіпербола.Означення. Множина точок площини, для яких модуль різниці відстаней від двох заданих точок, що називаються фокусами, є величиною сталою, яка дорівнює 2а і менша за відстань між фокусами, називається гіперболою.

Канонічне рівняння гіперболи має вигляд:

, де b² = c² – a².

Парабола.Означення. Множина то­чок площини, що містяться на одна-
ковій відстані від даної точки фокуса
і даної прямої, яка не проходить че-
рез фокус і називається директрисою, є парабола.

або у² = 2рх

— канонічне рівняння параболи, коли e = 1. Парабола симетрична осі Ох, проходить через початок системи координат.

12 Означення. Функція називається неперервною в точці якщо

Властивості неперервних функцій

Теорема 1. Якщо функції і неперервні у точці то у цій точці будуть неперервними функції ; в останньому випадку за умови, що

Теорема 2. Якщо функція — неперервна для а функція — неперервна для і значення функції то складна функція — неперервна для

Теорема 3 (Коші). Якщо функція неперервна на закритому проміжку і на кінцях проміжку набуває значення різних знаків (наприклад ), тоді на відкритому проміжку існує така точка х = с, що

Методика дослідження функції на неперервність.

1. Знайти область визначення функції D(y).

2. Визначити скінченні граничні точки D(y) і обчислити односторонні границі функції у цих точках.

3. Зробити висновок про характер точок розриву (якщо вони є) і побудувати графік функції поблизу цих точок

13) Означення. Похідною функції за аргументом х називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.

Операція знаходження похідної називається диференціюванням цієї функції.

Геометричний зміст похідної— похідна чисельно дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка функції у точці з абсцисою х.

Механічний зміст похідної

Припустимо, що точка М рухається прямолінійно нерівномірно по деякій прямій лінії, яку візьмемо за вісь ОхРух точки відбувається за законом х = f (t), де х — шлях; t — час. Знайдемо швидкість точки М у да-
ний момент часу t (миттєва швидкість).

Нехай точка М у момент t перебувала на відстані х від початкової точки М₀, а в момент часу точка опинилася на відстані від початкової точки й зайняла положення М₁. Отже, час t набув приросту , а шлях х — приросту . Середня швидкість руху точки М за час описується формулою .

Основні правила диференціювання

Теорема 1. Похідна сталої дорівнює нулю, тобто якщо у = с, де с = const, то .