Функция не является обратимой, так как не является монотонной
6.
| х |
| у |
| -1 |
| -2 |
| -3 |
= 0 - уравнение корней не имеет, нулей функции нет. Вывод: График функции не пересекает ось Ох
7. 
у > 0; 
у > 0.
8. Функция является ограниченной снизу, так как у > 0.
| х |  |  | |||
| у | | |
| -1 |
| х |
| у |
| -1 |
| -2 |
| -2 |
| -3 |
| -4 |
| -5 |
| -6 |
| -7 |
| -8 |
(a - отрицательное нечетное число) 1. Область определения функции: 
.
2. Множество значений функции: 
, так как 
;
.
Вывод: График функции расположен в первой и третьей координатных четвертях.
3. Функция является нечетной,так какее область определения симметрична относительно начала координат и для любого 
выполняется равенство 
. 
.
Вывод: График функции симметричен относительно начала координат.
4. Функция является монотонной, так как убывает при 
.
5. Функция является обратимой, так как является монотонной.
6. у = 0; 
= 0 уравнение корней не имеет, нулей функции нет.
Вывод: График функции не пересекает ось Ох.
| х | | | |||
| у |  |  |
7. у < 0; у > 0.
8. Функция является неограниченной сверху и снизу.
Упражнения:
1. Дана функция 
. Найти: f (0), f (- 1), f (1), f ( 
).
2. Найти область определения функции:
1) 
; 2) 
; 3) 
.
6. Квадратичная функция, ее свойства и графики
Определение: Функция вида 
, где a, b, c - действительные числа, причем а ¹ 0, называется квадратичной функцией.
Замечание: Графиком квадратичной функцииявляется парабола, по-разному расположенная относительно координатных осей.
Частные случаи:
| у |
| х |
| у |
| у |
| х |
| х |
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3
(b = 0, c = 0) 
(b = 0) 
(c = 0)
Общий случай: (b ¹ 0, c ¹ 0)
- Область определения функции: Х = R.
- Координаты вершины параболы А ( т, п ) определяются по формулам:
.
- Множество значений функции: при а > 0
;
при а < 0 
.
- Функция ни четная ни нечетная, так как
.
.
| х |
| у |
| т |
| п |
| т |
| п |
| т |
| т |
| п |
| п |
| у |
| х |
Рис. 4 Рис. 5
а > 0, b ¹ 0, c ¹ 0 а < 0, b ¹ 0, c ¹ 0
- Функция не монотонная:
при а > 0 
у - убывает;
у - возрастает;
при а < 0 у - возрастает;
у - убывает.
- Функция не обратимая, так как не монотонная.
- Нули функции:
;
; х1;2 - нули функции;
; х - нуль функции;
; нулей функции нет.
- Промежутки знакопостоянства:
| х |
| х |
| х |
| х1 |
| х2 |
| х |
| + |
| + |
| - |
| + |
| + |
| + |
| + |
| + |
Рис. 5 Рис. 6 Рис. 7
а > 0; D > 0; а > 0; D = 0; а > 0; D < 0;
| х |
| х |
| х |
| х1 |
| х2 |
| х |
| + |
| - |
| - |
| - |
| - |
| - |
| - |
| - |
Рис. 8 Рис. 9 Рис. 10
а < 0; D > 0; а < 0; D = 0; а < 0; D < 0;
- При
функция ограниченная снизу, так как 
при любом 
; при 
функция ограниченная сверху, так как 
при любом 
.
7. Уравнения с одной переменной
7.1. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.
Определение: Модулем (абсолютной величиной) действительного числа а называется само число а, если 
, и противоположное число - а, если 
.
Обозначение: 
- модуль числа а.
Замечание:
1. Из определения следует, что при любом действительном а 
.
2. Модуль числа равен расстоянию от точки, изображающей данное действительное число на числовой оси, до нуля.
| - 2 |
| 3,5 |
| х |
| - 1 |
| ½2½ |
| ½- 2½ |
| ½3,5½ |
| ½0½ |
½- 2½= 2; ½2½= 2; ½3,5½= 3,5; ½0½= 0.
3. ½b - а½ - расстояние между точками, изображающими на числовой оси числа а и b.
| a |
| х |
| ½b½ |
| ½a½ |
| ½b - a½ |
| b |
| b |
| х |
| ½а½ |
| ½b½ |
| ½b - a½ |
| a |
½b - а½= b - а , если b > а ½b - а½= а - b , если b < а
Способы решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля:
1. Раскрытие модуля по определению.
2. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
3. Разбиение на промежутки.
Пример:
1. 
.
Решение:
Так как при любом х 
, то уравнение решений не имеет.
Ответ: Решений нет.
2. 
.
Решение:
Раскроем 
по определению:
Ответ: х1 = 4; х2 = - 1 .
Теорема: Если обе части уравнения 
, где 
при всех значениях х из области определения уравнения, возвести в одну и ту же натуральную степень п , то получится уравнение 
, равносильное данному.
3. 
.
Решение:
Если х+1 < 0 , то уравнение корней не имеет, так как 
.
Если х+1 ≥ 0 , то обе части уравнения неотрицательны, возведем их в квадрат:
; 
; 
;
;
; 
; 
; 
.
Ответ: 
; 
.
4. 
.
Решение:
, 
.
Так как обе части уравнения положительны, возведем их в квадрат:
Û
Û 
Û 
;
;
; 
;
; 
.
Ответ: 
; 
.
5. 
.
Решение:
1) На числовой прямой отметим значения х, при которых 3 – х = 0, и значения х, при которых х + 2 = 0.
3 – х = 0 при х = 3.
х + 2 = 0 при х = – 2.
2) Числовая прямая разбивается на промежутки: 
.
Определим знак каждого из двучленов в полученных промежутках:
r PK9fg7/cisynRo0+aqh85w5qDNOdx0EN17UQ0KF8DdNneZ56h6JjKDzjppd6PeIORSmCRo0+aqi0 7A5qDHOzx0EN35aoYZnarzFTr8nsqYzO15iPiBpKETRq9FHjSG4oj3uO7tcIAl/khprDkx3ar6H9 Gl/Cr6GSpH8vqMGyy/G6eJb7Kl5tT++j737HdfcF/K/+BwAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEAQUuu m+AAAAAJAQAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbEyPQUvDQBCF74L/YRnBm90kpTWN2ZRS1FMR2gri bZudJqHZ2ZDdJum/dzzpbea9x5tv8vVkWzFg7xtHCuJZBAKpdKahSsHn8e0pBeGDJqNbR6jghh7W xf1drjPjRtrjcAiV4BLymVZQh9BlUvqyRqv9zHVI7J1db3Xgta+k6fXI5baVSRQtpdUN8YVad7it sbwcrlbB+6jHzTx+HXaX8/b2fVx8fO1iVOrxYdq8gAg4hb8w/OIzOhTMdHJXMl60ClarOSdZf05A sL9MUx5OLCSLBGSRy/8fFD8AAAD//wMAUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhALaDOJL+AAAA4QEAABMAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVzXS54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAOP0h/9YAAACU AQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAvAQAAX3JlbHMvLnJlbHNQSwECLQAUAAYACAAAACEAc/kE0WIJAADI XwAADgAAAAAAAAAAAAAAAAAuAgAAZHJzL2Uyb0RvYy54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAQUuum+AA AAAJAQAADwAAAAAAAAAAAAAAAAC8CwAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA8wAAAMkM AAAAAA== ">
| 3 – х |
| х |
| х +2 |
| - 2 |
| + |
| + |
| - |
| - |
| + |
| + |
 |  |  | |
| 3 – х | + | + | - |
| х +2 | - | + | + |
3) Решим уравнение на каждом промежутке:
При 
; 
.
.
При ; 
.
.
При 
; .
Ответ: 
.
Упражнения:
1.  ; | 2.  ; | 3.  ; |
4.  ; | 5.  ; | 6.  ; |
7.  ; | 8.  ; | 9.  ; |
10.  ; | 11.  ; | 12.  ; |
13.  ; | 14.  ; | 15.  . |
7.2. Иррациональные уравнения
Определение: Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком корня или под знаком операции возведения в дробную степень.
Замечание: Чтобы решить иррациональное уравнение, нужно сначала освободиться от корней, подкоренные выражения которых содержат переменную. Чаще всего этого добиваются возведением в квадрат обеих частей уравнения. Однако при этом могут появиться «посторонние» корни, которые не удовлетворяют данному иррациональному уравнению. Появление «посторонних» корней возможно при расширении области определения данного иррационального уравнения.
Вывод: При решении иррациональных уравнений необходима проверка.
Пример:
-
.
Решение:
Возведем обе части уравнения в квадрат: 
;
; 
; 
.
Проверка:
х1 = 2; 
; 
;
х2 = - 2; 
; .
Ответ: .
-
.
Решение:
Û 
;
Возведем обе части уравнения в квадрат: 
; 5 - х = 25; х = - 20.
Проверка:
х = - 20; 
; 7 = 7.
Ответ: х = - 20.
-
.
Решение:
Û 
Û 
;
Возведем обе части уравнения в квадрат: 
;
; 
;
;
; 
; х1 = - 3; х2 = 5.
Проверка:
х1 = - 3; 
; 
; 
- не существует;
х1 = - 3 - не является корнем данного уравнения.
х2 = 5; 
; 8 = 8.
Ответ: х = 5.
-
.
Решение:
Возведем обе части уравнения в квадрат: 
;
; 
;
;
Возведем обе части уравнения в квадрат: 
;
; 
;
;
Умножим обе части уравнения на - 1: 
;
;
; 
; х1 = 10; х2 = 362.
Проверка:
х1 = 10; 
; 8 = 8.
х2 = 362; 
; 19 + 27 ¹ 8.
х2 = 362 - не является корнем данного иррационального уравнения.
Ответ: х = 10.
-
.
Решение:
Возведем обе части уравнения в квадрат: 
;
; 
;
;
Возведем обе части уравнения в квадрат: 
;
; 
;
; 
;
;
; 
; х1 = 2; х2 = 
.
Проверка:
х1 = 2; 
; 3 + 4 = 7; 7 = 7.
х2 = ; 
;
;
; 
;