Перечень вопросов, которые выносятся на семестровый контроль

(I семестр)

1. Определители 2-го и 3-го порядков, их вычисление и свойства.
2. Минор, алгебраическое дополнение элемента. Вычисление определителя разложением по элементам ряда. Понятие об определителях произвольного порядка.
3. Понятие матрицы. Виды матриц. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц.
4. Матрица, обратная данной. Алгоритм её нахождения.
5. Понятие о системах m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными. Общая схема исследования.
6. Понятие о ранге матрицы. Методы его вычисления. Условие совместности СЛАУ.
7. Решение системы линейных алгебраических уравнений с помощью формул Крамера.
8. Решение системы линейных алгебраических уравнений средствами матричного исчисления.
9. Элементарные преобразования. Метод Гаусса решения СЛАУ.
10. Основные и свободные неизвестные. Решение СЛАУ для случая m = n.
11. Исследование однородных систем линейных уравнений.
12. Векторы на плоскости и в пространстве. Коллинеарные и компланарные вектора. Линейные операции над векторами (в геометрической форме).
13. Линейная зависимость и независимость векторов. Понятие базиса. Разложение вектора по базису.
14. Проекция вектора на ось. Теоремы о проекциях.
15. Системы координат на плоскости и в пространстве. Базисы на плоскости и в пространстве. Координаты вектора и точки. Длина и направление вектора.
16. Линейные операции над векторами в координатной форме. Условие коллинеарности векторов.
17. Скалярное произведение 2-х векторов. Формулы для вычисления, свойства, геометрические и физические приложения. Условие перпендикулярности двух векторов.
18. Векторное произведение 2-х векторов. Формулы для вычисления, свойства, геометрические и физические приложения. Условие коллинеарности двух векторов.
19. Смешанное произведение 3-х векторов. Формулы для вычисления, свойства, геометрический смысл. Условие компланарности трёх векторов.
20. Различные системы координат на плоскости (в пространстве). Связь между ними.
21. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости и в пространстве (расстояние между двумя точками, деление отрезка в данном отношении).
22. Задание множеств точек уравнениями и неравенствами. Алгоритм составления уравнения линии. Примеры.
23. Общее уравнение прямой на плоскости. Его исследование.
24. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Его исследование.
25. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение прямой в отрезках.
26. Уравнение прямой, проходящей через данную точку. Расстояние от точки до прямой.
27. Угол между двумя прямыми на плоскости. Условия параллельности, перпендикулярности.
28. Взаимное расположение 2-х прямых на плоскости.
29. Уравнение плоскости в пространстве (в отрезках, через 3 точки). Расстояние от точки до плоскости.
30. Понятии линейной интерполяции.
31. Общее уравнение кривой 2-го порядка. Окружность. Каноническое уравнение. Исследование формы.
32. Каноническое уравнение эллипса и его основные соотношения.
33. Гипербола. Каноническое уравнение. Исследование формы.
34. Парабола. Каноническое уравнение. Исследование формы.
35. Преобразование координат. Приведение уравнений кривых 2-го порядка к каноническому виду в простейших случаях.
36. Основные применения кривых 2-го порядка.
37. Простейшие поверхности 2-го порядка.
38. Понятие множества. Виды числовых множеств. Окрестность точки.
39. Функция. Способы задания. Основные свойства. Область определения.
40. Основные элементарные функции. Элементарные функции и их классификация.
41. Построение графика функции путём элементарных преобразований.
42. Последовательность и ее предел.
43. Предел функции. Бесконечно большие и бесконечно малые величины.
44. Основные теоремы о конечных пределах.
45. Первый замечательный предел.
46. Бесконечно большие функции и их свойства. Связь между б.м. и б.б. функциями.
47. Второй замечательный предел.
48. Понятие о неопределённых выражениях. Основные методы раскрытия неопределённостей.
49. Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных функций.
50. Производная, ее геометрический и механический смыл.
51. Производная суммы, произведения и частного двух функций.
52. Производные элементарных функций.
53. Производные сложных, неявных и параметрически заданных функций.
54. Производные обратных функций. Логарифмическое дифференцирование.
55. Дифференциал и его свойства. Применение в приближённых значениях.
56. Производные и дифференциалы высших порядков.
57. Основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма, Роля, Лагранжа).
58. Правило Лопиталя.
59. Признаки возрастания и убывания функции в интервале. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума.
60. Первое и второе достаточные условия экстремума.
61. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке и интервале.
62. Выпуклость и вогнутость кривых. Точки перегиба.
63. Асимптоты графика функции.
64. Исследование графиков функций.

(II семестр)

1. Понятие о функции нескольких переменных.
2. Полное и частное приращение функции.
3. Частные производные функций нескольких переменных.
4. Полный дифференциал.
5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
6. Частные производные и дифференциалы высших порядков.
7. Необходимый признак экстремума функций двух переменных.
8. Нахождение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов.
9. Понятие комплексного числа.
10. Геометрическое изображение комплексного числа.
11. Сложение и вычитание комплексных чисел.
12. Умножение и деление комплексных чисел.
13. Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа.
14. Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа.
15. Первообразная функция. Основные теоремы о первообразных.
16. Понятие неопределенного интеграла.
17. Теорема о производной от неопределенного интеграла.
18. Теорема о дифференциале от неопределенного интеграла.
19. Теорема о неопределенном интеграле от дифференциала.
20. Доказать, что постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.
21. Теорема о неопределенном интеграле от алгебраической суммы конечного числа функций.
22. Метод замены переменной (внесение под знак дифференциала).
23. Интегрирование по частям неопределенного интеграла.
24. Схема разложения алгебраических дробей на элементарные.
25. Интегралы вида ; ; .
26. Интегралы вида (m>0, n>0, хотя бы одно из них нечетное).
27. Интегралы виды ; (m – нечетное).
28. Интегралы вида (m>0, n>0, оба четные).
29. Интегралы вида (m>0, n<0, оба четные); (m и n нечетные, одно из них отрицательное); (m и n отрицательные, их сумма четное число).
30. Интегралы вида .
31. Интегрирование иррациональных выражений с помощью тригонометрических подстановок.
32. Интегральная сумма и ее свойства.
33. Понятие определенного интеграла.
34. Геометрический смысл определенного интеграла.
35. Свойства определенного интеграла.
36. Теорема о среднем для определенного интеграла.
37. Формула Ньютона-Лейбница.
38. Замена переменной в определенном интеграле.
39. Интегрирование по частям определенного интеграла.
40. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
41. Интегралы от разрывных функций.
42. Вычисление площадей в декартовых координатах.
43. Вычисление площадей, ограниченных кривыми, заданными параметрически.
44. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах.
45. Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений.
46. Вычисление объема тела вращения.
47. Длина дуги кривой в декартовых координатах.
48. Длина дуги кривой, заданной параметрически.
49. Длина дуги кривой в полярных координатах.
50. Частные и общие решения дифференциального уравнения 1-го порядка.
51. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
52. Однородные уравнения.
53. Линейные уравнения.
54. Уравнения Бернулли.
55. Частные и общие решения дифференциального уравнения 2-го порядка.
56. Дифференциальные уравнения вида , .
57. Дифференциальные уравнения вида ; .
58. Дифференциальные уравнения вида ; .
59. Основная теорема об общем решении линейного однородного уравнения 2-го порядка.
60. В каком случае является решением линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
61. Вид общего решения линейного дифференциального уравнения второго порядка в случае, если корни характеристического уравнения действительные и различные.
62. Вид общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка, если корни характеристического уравнения кратные.
63. Вид общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка, если корни характеристического уравнения комплексные.
64. Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка.
65. Метод Лагранжа решения неоднородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка.
66. Дифференциальные уравнения малых колебаний механических систем.

12. Методическое обеспечение и рекомендуемая литература

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры./ Д.В. Беклемишев – М.: Наука, 1974. – 320 с.

2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 –х ч. Ч. I: Учеб. пособие для втузов./ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова – М.: Высшая школа, 1997.– 304 с.

3. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 –х ч. Ч. II: Учеб. пособие для втузов./ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова – М.: Высшая школа, 1997.– 416 с.

4. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу./ Г.И. Запорожец – М.: Высшая школа, 1966. – 460 с.

1. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. Ч. 1 – 3. / И.А. Каплан – Харьков: Изд-во ХГУ, 1967. – 946 с.
2. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. Ч. 5. / И.А. Каплан – Харьков: Изд-во ХГУ, 1967. –378 с.
3. Клетеник Д.В.Сборник задач по аналитической геометрии: учеб. пособие для втузов. /Д.В. Клетеник – СПб.: Изд-во «Профессия», 2003. – 200 с.
4. Слободская В.А. Краткий курс высшей математики: учеб. пособие для втузов./ В.А. Слободская – М.: Высшая школа, 1969. – 544 с.
5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления : учеб. пособие для втузов./ Н.С. Пискунов – М.: Физматгиз, 1962. – 856 с.