Теоретический материал к разделу

Решение типовых задач

Задача №1.Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Решение: Данное уравнение перепишем в виде:

, далее это дифференциальное уравнение ( в дальнейшем ДУ) первого порядка с разделяющимися переменными, т.е.

или .

Ответ: - общий интеграл данного ДУ.

Задача №2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Решение: Данное уравнение является ДУ первого порядка, однородным, т.к. его можно привести к виду и однородная функция нулевого измерения и, сделав замену переменных , привести к виду , далее вычисляя интеграл в левой части, найти ответ. У нас

; ;

. Окончательно:

Ответ: - общий интеграл ДУ.

Задача №3.Найти общий интеграл дифференциального уравнения .

Решение: Данное ДУ первого порядка, приводящиеся к однородному. Сделаем замену переменных

, выбераем при этом так, чтобы

а уравнение примет вид:

- однородное, первого порядка. Применим замену переменых

.

Из урвнений замены , подставляя в общий интеграл ДУ получим:

Ответ:

Задача №4. Найти решение задачи Коши , .

Решение: Данное ДУ является линейным неоднородным ДУ первого порядка. Решим его методом вариации произвольной постоянной. Сначала решим ДУ однородное, т.е. . Это всегда ДУ с разделяющимися переменными - общие решение однородного линейного ДУ. в таком виде будем искать общее решение неоднородного ДУ, где - неизвестная функция, Подставляем и у в исходное ДУ, будем иметь;

Найдем частное решение, используя начальные условия . Итак, задача Коши решена : найдено частное решение, ДУ, отвечающее начальному условию

Ответ:

Задача №5.Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение: Перепишем данное ДУ в виде или - это линейное ДУ первого порядка, неоднородное относительно искомой функции , а – независимая переменная. Решим его методом вариации произвольной постоянной. Сначала решаем однородное уравнение

( постоянная величина) общее решение однородного уравнения. Общее решение неоднородного ищим в виде , . Подставим два последних выражения в неоднородное уравнение, получим:

Отдельно вычислим интеграл

Преобразуем так :

. Тогда

.Интегрируем далее по частям:

Получили уравнение относительно искомого интеграла

. Откуда

Итак, , преобразуем

Наконец, .

Следовательно, общее решение исходного ДУ будет иметь вид: или

Ответ :

Задача №6. Найти решение задачи Коши ,

Решение:Перепишем данное ДУ в виде это уравнение Бернулли. Решаем методом Бернулли:

Решим задачу Коши:

Ответ: - частное решение исходного ДУ, удовлетворяющего начальному условию

Задача №7.Найти общий итеграл дифференциального уравнения

Решение: Данное ДУ перепишем в виде

Проверим, является ли это ДУ в полных дифференциалах. У нас ; ; ; ; так как данное ДУ является ДУ первого порядка, в полных дифференциалах, т.е. имеет вид ,откуда общий интеграл исходного ДУ. Остается найти функцию , чей полный дифференциал стоит в левой части уравнения и , ;

с другой стороны, значит ,

. Наконец, – и общий интеграл имеет вид – , окончательно , .

Ответ: общий интеграл

Задача №8. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение: Данное ДУ второго порядка не содержит искомой функций , значит, замена переменных такова: , откуда уравнение принимает вид: или , т.е. становится ДУ I порядка линейным неоднородным, решаем его методом вариации произвольной постоянной. Сначала рассмотрим однородное уравнение:

всегда с разделяющимися переменными:

ищем общее решение неоднородного ДУ в таком же виде, только , т .е.

подставляя в неоднородное ДУ, получаем

Найдем , выделив сначала целую часть дроби =

получим . Тогда

Ответ: - общее решение исходного ДУ второго порядка.

Задача №9. Найти решение задачи Коши , ,

Решение: Данное ДУ II порядка не содержит x, значит, сделаем замену переменных так: , . Подставляя в исходное ДУ, т.е. получим , т.е. ДУ I порядка сразделяющимися переменными

и сразу найдем С₁, используя начальное условие , .

Получим: . Итак ДУ I порядка c разделяющимися переменными: .

Найдем С₂ , используя

Ответ: и являются решениями задачи Коши.

Задача №10.Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение: Данное ДУ III порядка является линейным неоднородным с постоянными коэффициентами. Его общее решение имеет вид: . Сначала найдем – общее решение однородного уравнения, соответствующего данному: , его характеристическое уравнение имеет вид : или . Найдем корни этого уравнения: ,

Следовательно, частные решения однородного уравнения, имеют вид , , , а общее решение однородного уравнения . Т.к. правая часть неоднородного ДУ является многочленом второй степени, то и будем искать как многочлен второй степени с неопределенными коэффициентами , но надо еще учесть, что – простой корень характеристического уравнения, поэтому выражение нужно умножить на x. Итак, или

Ответ:

Задача №11.Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение: Решаем данное дифференциальное уравнение III порядка линейное неоднородное с постоянными коэффициентами также, как и предыдущее.

Сначала имеет характеристическое уравнение , , , , умножение на x вызвано тем, что является простым корнем характеристического уравнения, и число 2 стоит множетелем при x в степени показательной функции . Значит

;

Ответ:

Задача №12.Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение: Данное ДУ II порядка линейное неоднородное с постоянными коэффициентами решаем также как и две предыдущие задачи:

Уравнение имеет характеристическое уравнение - корень кратности два.

Задача №13.Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение: Как и предыдущие три ДУ решаем это уравнение

– характеристическое уравнение. , , – его корни . А – многочлен нулевой степени, соответствующий многочлену, стоящему в левой части уравнения, умножен на x, т.к. – простой корень характеристического уравнения.

Ответ:

Задача №14. Найти решение задачи Коши ,

Решение: Данное ДУ решим методом вариации произвольных постоянных. Сначала решаем ДУ однородное: , его характеристическое уравнение , у нас , , значит, , ; Общее решение неоднородного уравнения ищется в том же виде, только и – искомые функции т.е Для нахождение и составим систему:

из и подставим в (2) системы, получим:

. Значит

Итак, или Найдем С₁ и С₂ из начальных условий

. Следовательно, решением задачи Коши будет частное решение вида

Ответ:

7 РЯДЫ

Теоретический материал к разделу

7.1.1 Числовые ряды

Определение 1.Для заданной бесконечной последовательности чисел выражение

, (1)

где числа - члены ряда, называется числовым рядом.

Обозначим и назовем частичными суммами ряда.

Определение 2. Если существует предел частичной суммы ряда то называется суммой ряда (1).

Определение 3. Ряд называется сходящимся, если - конечное число, иначе, т.е. если равен бесконечности или не существует, ряд называется расходящимся.

Очевидно, что отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на ее сходимость. Для сходящихся рядов