Тема 12. Определенный интеграл

Задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Формула Ньютона – Лейбница. Свойства определенного интеграла. Вычисление определенного интеграла методом замены переменной и по частям. Понятие о несобственных интегралах с бесконечными пределами интегрирования. Вычисление площадей плоских фигур. Приближенное вычисление определенного интеграла по формуле трапеций ([1 или 6, § 11.1 – 11.8, 11.10]; [2 или 7, § 11.1 – 11.4], или [3, § 11.1 – 11.8, 11.11 – 11.14], или [5, §7.1 – 7.8, 7.11 – 7.14]).

Рассматривая задачу о нахождении площади криволинейной трапеции, нужно четко представлять, что сначала выводится формула площади этой фигуры, а затем проводится ее вычисление.

Студент должен знать определение определенного интеграла как предела интегральной суммы и то, что благодаря формуле Ньютона – Лейбница ([1, или 6, или 3, формула (11.15)]) – основной формуле интегрального исчисления – удается свести вычисление этого интеграла к нахождению приращения любой первообразной для данной функции на отрезке интегрирования. Следует обратить внимание на достаточное условие интегрируемости функции на данном отрезке – непрерывность функции на этом отрезке.

Используя метод подстановки при вычислении определенного интеграла, нужно изменять пределы интегрирования после введения новой переменной и вычислять интеграл, не возвращаясь к старой переменной ([1 или 6, примеры 11.3, 11.18] или [3, примеры 11.3, 11.23]).

Применяя формулу интегрирования по частям, можно находить частное приращение первообразной uv в процессе решения, не откладывая это действие до полного отыскания первообразной ([1 или 6, или 3, пример 11.4]).

Понятие несобственного интеграла с бесконечными пределами появляется как обобщение понятия определенного интеграла для случая, когда один из пределов интегрирования или оба не ограничены, т.е. когда подынтегральная функция определена и непрерывна на одном из промежутков: или . Если при этом первообразная известна (является элементарной функцией), то сходимость несобственного интеграла устанавливается по определению. Если первообразная неизвестна (неопределенный интеграл не "берется" в элементарных функциях), то сходимость устанавливается косвенным путем с помощью признаков сходимости. Последнее выходит за рамки программы.

Применяя определенный интеграл для вычисления площадей плоских фигур, мы исходим из того интуитивного утверждения, что всякая плоская фигура, ограниченная несколькими непрерывными кривыми, образующими замкнутый контур, имеет площадь. Следует помнить, что "простейшей" фигурой, площадь которой выражается определенным интегралом, является криволинейная трапеция. Во всех остальных случаях фигуру нужно представить в виде сумм или разностей криволинейных трапеций. Решение задачи на вычисление площади криволинейной трапеции всегда начинают с построения чертежа и при этом следят за тем, чтобы граница фигуры содержала все заданные в условии линии и точки. (Уяснить сказанное можно, разобрав примеры, в которых вычисляются площади различных плоских фигур) (см. ниже, раздел «Задачи для самоподготовки»).

Формула трапеций и другие формулы для приближенного вычисления определенных интегралов используются, когда соответствующая первообразная не является элементарной функцией ("неберущийся" неопределенный интеграл) или когда интеграл представляет собой трансцендентную функцию (для составления таблиц значений таких функций).

Вопросы для самопроверки

Часть I. Линейная алгебра

1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц.

2. Определители 2, 3 и n-го порядков (определения и их свойства). Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца.

3. Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и неособенная квадратные матрицы. Присоединенная матрица. Матрица, обратная данной, и алгоритм ее вычисления.

4. Понятие минора k-го порядка. Ранг матрицы (определение). Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Пример.

5. Линейная независимость строк (столбцов) матрицы. Теорема о ранге матрицы.

6. Система п линейных уравнений с п переменными (общий вид). Матричная форма записи такой системы. Решение системы (определение). Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений.

7. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с п переменными. Понятие о методе Жордана – Гаусса.

8. Система m линейных уравнений с n переменными. Теорема Кронекера – Капелли. Условие определенности и неопределенности любой системы линейных уравнений.

9. Базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные системы m линейных уравнений с n переменными. Базисное решение.

10. Система линейных однородных уравнений и ее решения. Условие существования ненулевых решений такой системы.

11. Векторы на плоскости и в пространстве (геометрические векторы). Линейные операции над векторами (сложение, умножение вектора на число). Коллинеарные и компланарные векторы.

12. Скалярное произведение двух векторов (определение) и его выражение в координатной форме. Угол между векторами.

13. n-мерный вектор. Линейная комбинация, линейная зависимость и независимость векторов.

14. Векторное (линейное) пространство. Его размерность и базис. Теорема о существовании и единственности разложения вектора линейного пространства по векторам базиса.

15. Скалярное произведение векторов в n-мерном пространстве. Евклидово пространство. Длина (норма) вектора.

16. Ортогональные векторы. Ортогональный и ортонормированный базисы. Теорема о существовании ортонормированного базиса в евклидовом пространстве.

17. Уравнение линии на плоскости. Точка пересечения двух линий. Основные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести).

18. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

19. Общее уравнение плоскости в пространстве и его частные случаи. Нормальный вектор плоскости.

20. Углы между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

.