Предел ф-ции нескольких переменных

Пусть на множестве Х-Rⁿ задана ф-цияf(p) и пусть p₀- предельная точка для Х. Число а называется пределом ф-цииf в точке p₀, если для любой сходящейся к p₀ последовательности {p_n}, где все p_n≠p₀, соответствующая числовая послед-ть {f(p_n)} сходится к числу а. Запись: limf(p)=a при pк p₀

28. Непрерывность ф-ции нескольких переменных. Ф-цияf(p), определенная на множестве ХϵRⁿ, называется непрерывной на этом множестве, если она непрерывна в каждой точке множества Х.

Ф-цияf(p), определенная на множестве ХϵRⁿназывается непрерывной в точке p₀ϵХ, еслиlimf(p)=f(p₀) pкp₀

30. Частной производной ф-ции нескольких переменных по одной из этих переменныхназывается предел отношения частного приращения ф-ции к приращению соответствующей независимой переменной, когда это приращение стремится к нулю.

Z’_x=lim∆_xZ/∆x=lim(f(x₀+∆x,y₀)-f(x₀,y₀))/∆xпри ∆х к нулю

Z’_y=lim∆_yZ/∆y=lim(f(x₀,y₀+∆y)-f(x₀,y₀))/∆yпри ∆y к нулю

31.Дифференцируемость функции нескольких переменныхФ-цияz=f(x,y) называетсядифференцируемойвточке (x₀,y₀), еслиееполноеприращениеможнопредставитьввиде: ∆z=f(x,y)-f(x₀,y₀)=f’_x(x₀,y₀)∆x+ f’_y(x₀,y₀)∆y+eρ, либо ∆z=dz+ eρ, гдее=е(∆x,∆y)- ф-циябесконечномалаяпри ∆x→0,∆y→0; ρ=√((∆x)²+∆y²)-расстояниеотточки (x,y) доточки(x₀,y₀)

32. Дифференциал функции нескольких переменных.Полный дифференциал ф-циивыполняет роль линейного приближения и определяется как сумма произведений частных производных ф-ции на приращения независимых переменных: dz=z’x∆x+z’y∆y

33. Достаточное условие дифференцируемости функции нескольких переменных.Если частные производные f’x(x,y) и f’y(x,y) определены в окрестности точки (x₀,y₀), то ф-цияz=f(x,y) дифференцируема в этой точке

34. Непрерывность дифференцируемой функции.Если ф-цияz=f(x,y)дифференцируема в точке (x₀,y₀), то она непрерывна в этой точке.

35. Однородные функции.Ф-ция z(x;y) называется однородной степени α, если для любой точки (х;у) из области определения и переменной t выполняется равенство z(tx;ty)= t^α z(x;y).

Пусть D из Rⁿ – область в Rⁿ, содержащая с каждой своей точкой (x1, x2, …., xn) и все точки вида (tx1, tx2, …., txn) при t>0 ф-ция f(x1, x2, …., xn) с такой областью определения D называется однородной степени λ, если для любого t>0 выполнятся равенство f (tx1, tx2, …., txn)=tλ f(x1, x2, …., xn).

36. Формула Эйлера для однородной функции. f’x(tx, ty)x+f’y(tx, ty)y=λt^λ-1f(x,y)

Положив здесь t=1,получим формулу Эйлера:

f’x(x, y)x+f’y(x, y)y=λf(x,y)

38. Производная по направлению.Производной ф-цииf(x,y) в точке (x₀,y₀)по направлению е(стрелка сверху)называется предел: (δf(x₀,y₀))/δе↑=lim ((f(x₀ +te_x, y₀+te_y)-f(x₀,y₀))/t) где t→0+0

39. Градиент. Свойства градиентаГрадиентом ф-ции z= f(x,y) в точке M(x,y) называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным , взятым в точке M(x,y).

Grad f(M)=(f’x(M),f’y(M)). Градиент указывает направление наискорейшего роста ф-ции, а максимальная скорость роста равна модулю градиента.

│Gradf(M)│=δf(M)/δe

Положимѱ(t)=f(p+tv), p,vϵRⁿ, тогдаѱ’(0)=(gradf(p),v)

Градиент ф-цииgradf(M) является вектором нормали касательной к линии уровня в точке М

Градиент ф-цииf(x,y,z) является вектором нормали касательной плоскости к поверхности уровня ф-ции в точке М

41. Теорема о равенстве смешанных производных.Если производные z’’_xyиz’’_yx существуют в некоторой окрестности точки M(x₀,y₀) bи непрерывны в самой точке М, то имеет место равенство z’’_xy=z’’_yx

43. Локальные экстремумы функций нескольких переменных.Точка а↑ называется точкой локального максимума (мин) ф-цииf(x↑), если существует такая е-окрестность U_e(a↑)={x↑ϵRⁿ:│x↑-a↑│<e}точки а↑, в которой для любой точки х↑ϵU_e(a↑) выполняется равенство f(x↑)≤f(a↑) (f(x↑)≥f(a↑)). Точки локального максимума и локального минимума называются точками локального экстремума или просто точками экстремума.

44. Необходимое условие локального экстремума функций нескольких переменных.Для того, чтобы дифференцируемая ф-цияf(x↑) имела локальный экстремум точки а↑, необходимо чтобы все ее частные производные первого порядка в этой точке были равны 0. Пусть ф-цияf(x↑) имеет в окрестности точки своего локального экстремума а↑ непрерывные частные производные второго порядка, тогда: если а↑-точка лок мин, то d²f_a↑неотрицат определенная квадрат форма. (для пол наоборот)

40. Частные производные высших порядков. Частные производные от функций f’_x(x,y) и f’_y(x,y) называют частными производными второго порядка от ф-цииf(x,y).Частные производные от частных производных второго порядка называют частными производными третьего порядка от ф-ции. Частные производные второго порядка z’’_xyиz’’_yxназывают смешанными частными производными.

45. Достаточное условие локального экстремума функций нескольких переменных.Пусть ф-цияnпеременных f(x↑) имеет в окрестности своей стационарной точки а↑ непрерывные частные производные второго порядка, тогда: если квадр форма d²f_a↑пол определена, то а↑- точка лок мин f (для пол наоборот).

Пусть ф-цияf(x,y) имеет непрчастнпроизв второго порядка в некоторой окрестности своей стационарной точки P. Положим ∆=detf’’(P)=f’’_xx(P) f’’_yy(P)-( f’’_xy(P))²тогда если ∆>0, то в точке Рф-ция имеет лок экстремум, при чем f’’_xx(P)<0-лок макс, f’’_xx(P)>0- лок мин; если ∆<0, то в точке Р нет экстремума

46. Условный экстремум.Точка х*↑ϵХ называется точкой условного локального максимума (мин) ф-цииf, если для всех достаточно близких к ней точек х↑ϵХ выполняется неравенство: f(x↑)≤ f(x*↑) f(x↑)≥f(x*↑)- точки условного экстремума

47. Метод Лагранжа: Дано: f(x,y) и g(x,y).

1) L(x,y,λ)= f(x,y)+λg(x,y).

2) деL/деx=0

деL/деу=0 из этого находим стационарную точку (х*; у*)

деL/деλ=0

3) а) Если (х*; у*) - единственная стационарная точка, то нужно взять произвольную точку (х₁; у₁), удовлетворяющую соотношению g(x₁;y₁)=0 и вычислить f(x*;y*) иf(х₁; у₁) и сравнить между собой, далее сделать выводЕсли(х*; у*) - maxили min

б) Если несколько стационарных точек, тогда нужно вычислить значение ф-цииfв этих точках и сделать вывод, кто min, ктоmax.

48. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на замкнутом ограниченном множестве. Дифференциальнаяф-ция на ограниченном и замкнутом множестве может принимать наименьшее и наибольшее значение, либо в критических точках внутри этого множества, либо на границе этого множества.

50. Сведение кратного интеграла к повторному: если ф-цияf(x,y) интегрируема в области G и при любом фиксированном xиз [a,b] существует интеграл ⌠_g1(x)^g2(x)f(x,y)dxdy=⌠^b_a{⌠_g1(x)^g2(x)f(x,y)dy}dx

55. Послед-ть частичных сумм. Сумма ряда. Сходящиеся ряды.Суммы конечного числа первых членов рядаS₁=a₁, S₂=a₁ + a₂, S_n=a₁+a₂+…+a_nназывают частичными суммами ряда а₁+а₂+а₃+….+а_п+….=сумме а_п. Т.к. число членов ряда бесконечно, то частичные суммы образуют числовую послед-тьS₁, S₂, …., S_n, ….. Ряд а₁+а₂+а₃+….+а_п+….=сумме а_п называют сходящимся, если послед-тьS₁, S₂, …., S_n, …..его частичных сумм сходится к некоторому числу S называют суммой ряда а₁+а₂+а₃+….+а_п+….=сумме а_п. В противном случае ряд называют расходящимся.

57. Необходимое условие сходимости ряда.Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю. Док – во. Пусть данный ряд сходится и его сумма равна S. Для любого натурального n имеем S_n=S_n-1+a_n, или a_n=S_n-S_n-1. При n→∞ обе части суммы S_n иS_n-1 стремятся к пределу S_, поэтому из равенства a_n=S_n-S_n-1 следует, что lim_n→∞a_n= lim_n→∞S_n- lim_n→∞S_n-1=S-S=0. Подчеркиваем еще раз, что мы установили, только необходимое условие сходимости ряда, т.е. условие при на рушении которого ряд не сможет сходиться. С помощью этого признака можно доказывать только расходимость ряда.

58. Числовые ряды с неотрицательными членами.Числовой ряд называется рядом с положительными членами, если общий член ряда ап >0 для любого n=1,2,....Для того чтобы ряд с положительными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы послед-ть его частичных сумм была ограничена.

59. Критерий сходимости числовых рядов с неотрицательными членами. Для того чтобы ряд с положительными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.

60. Признаки сравнения, Даламбера и Коши: Если для ряда с положительными членами a₁+a₂+….+a_n+…. Существует такое число q<1, что при всех n(или, начиная с некоторого n ) выполняется неравенство a_n+1/a_n<q, то ряд сходится. Если же a_n+1/a_n>1 для всех или начиная с некоторогоn,то ряд расходится.

Признак Коши: Если существует предел lim_n→∞a_n+1/a_n=d, то ряд сходится в случае d<1, расходится в случае d>1.

Интегральный признак: Пусть неотрицательная ф-цияy=f(x) определена и монотонно убывает для x>1. Тогда для сходимости ряда f(1)+f(2)+…+f(n)+… необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл ∫₁^∞f(x)dx

Первый признак сравнения: Пусть даны два ряда с положительными членами: a₁+a₂+….+a_n+…. И b₁+b₂+….+b_n+…., причем члены первого ряда не превосходят соответствующих членов второго: a_n<b_n (n= 1, 2,….). Тогда из сходимости второго ряда («большего») следует сходимость первого ряда («меньшего»). Эквивалентно из расходимости меньшего ряда следует расходимость большего ряда.

Второй признак сравнения: Если для рядов a₁+a₂+….+a_n+…. И b₁+b₂+….+b_n+….,с положительными членами существуют отличный от нуля предел отношения limn→∞a_n/b_n=u, то ряды a₁+a₂+….+a_n+…. И b₁+b₂+….+b_n+…. Сходятся или расходятся одновременно.

61. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость .Особенно часто среди знакопеременных рядов встречаются ряды члены которых имеют чередующиеся знаки, т.е. знакочередующиеся ряды. Знакочередующийся ряд в общем виде записывается так: а₁-а₂+а₃-а₄+….+(-1)^п-1а_п+…, где а_п – положительны. Ряд a₁+a₂+….+a_n+…. Называют, условно сходящимся, если он сходится, а ряд составленный из модулей его членов, расходится. Абсолютно сходящийся ряд, т.е. такой, для которого ряд из модулей его членов сходится.

62. Признак Лейбница для знакочередующихся числовых рядов . Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и стремятся к нулю, когда n→∞, то 1) ряд сходится 2) любой остаток ряда не превосходит по абсолютной величине первого из своих членов и имеет одинаковый с ним знак.

64. Теорема Абеля.Если степенной ряд a₀+a₁x+a₂x+…+a_nx_n+… сходится при некотором х=х₀, не равном нулю, то он сходится, и притом абсолютно, при всех х, удовлетворяющих условию |х|<|x₀|; Если ряд a₀+a₁x+a₂x+…+a_nx_n+… расходится при некотором х=х₁, то он расходится при всех х, удовлетворяющих условию |х|>|x₁|

65. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.Теорема: Для степенного ряда a₀+a₁x+a₂x+…+a_nx_n+… возможны только три случая: 1) ряд сходится только в единственной точке х=0; 2) ряд сходится для всех значений х; 3) существует такое R>0, что ряд сходится для всех значений х из интервала (-R;R) и расходится для всех значений х вне отрезка [-R;R].

Определение: интервал (-R;R) называют интервалом сходимости ряда a₀+a₁x+a₂x+…+a_nx_n+…, число R –радиусом сходимости этого ряда.

66. Интегрируемость и дифференцируемость суммы степенного рядана интервале сходимости. Пусть ф-ция разлагается на интервале (-R;R) в степенной ряд f(x)=a₀+ a₁x+ a₂x²+..+ a_nxⁿ+..(1)Рассмотрим степенной ряд a₁+ 2a₂x+..+na_nx^n-1+..(2) полученный почленным дифференцированием ряда:

1)ряд (2) имеет тот же радиус сходимости R, что и ряд (1)

2) на всем интервале (-R,R) ф-цияf(x) имеет производную f’(x), которая разлагается в степенной ряд (2)

Следствие: ф-цияf(x) , которая разлагается в степенной ряд (1)на интервале (-R,R), бесконечно диф на этом интервале. Разложение в степенной ряд для любой производной получается почленным дифференцированием ряда (1). При этом радиусы сходимости рядов раны радиусу сходимости ряда.

Если ф-цияf(x) разлагается в степенной ряд на интервале (-R,R), то она интегрируема на этом интервале. Интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда: ⌠^x2_x1f(x)dx=⌠^x2_x1a₀+ a₁x+ a₂x²+..+ a_nxⁿ+.dx=⌠^x2_x1 a₀+⌠^x2_x1 a₂ x²dx+…⌠^x2_x1 a_nxⁿdx+..

69. Разложение в ряд Маклорена функцийe^x=1+x+(x²/2!)+(x³/3!)+…+(xⁿ/n!)+…

Sinx=x-(x³/3!)+(x⁵/5!)-…+(-1)ⁿ(x²ⁿ⁺¹/(2n+1)!)+…

Cosx=1-(x²/2!)+(x⁴/4!)-…+(-1)ⁿ(x²ⁿ/(2n)!)

1/1+x=1-x+x²-x³+…+(-1)ⁿxⁿ+…(r=1)

Ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-x4/4+…+(-1)ⁿ(xⁿ⁺¹/n+1)

(1+x)^b=1+b/1!x+(b(b-1)x²)/2!+…+(b(b-1)…(b-n+1)xⁿ)/n!+…

63. Степенные ряды. Ряд вида a₀+a₁x+a₂x+…+a_nx_n+…, гдеa₀, a₁, a₂, …,a_n, … - некоторая числовая послед-ть, называют степенным рядом.

70. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения первого порядка в нормальной форме.Если в некоторой окрестности точки (х₀;у₀) ф-цияf(x,y) определенная, непрерывна и имеет непрерывную частную производную f’_y, то существует такая окрестность точки (х₀;у₀), в которой задача Коши y’=f(x,y), y(x₀)=y₀имеет решение, притом единственное.

71. Уравнения с разделяющимися переменными. Автономные уравнения .Одним из наиболее простых, но весьма важных типов дифференциальных уравнений являются уравнения с разделяющимися переменными. Это дифференциальные уравнения вида: y’=f(x)g(y), где f(x) и g(y) – непрерывные ф-ции.

Одним из важных частных случаев дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными являются так называемые автономные уравнения. Это уравнения вида: y’=g(y).

72. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальное уравнение y’+p(x)y=0 называется линейным однородным уравнением, соответствующим уравнению y’+p(x)y=f(x).

73. Уравнения в полных дифференциалах.Диф уравнения в симметрической форме N(x,y)dx+M(x,y)dy=0, где N(x,y) и M(x,y) непрерывные в некоторой области Dф-ции, называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая непрерывно дифф-цияU(x,y), что dU= N(x,y)dx+M(x,y)dy

75. Линейные дифференциальные уравнения. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского системы решений Дифференциальное уравнение n-го порядка, называется линейным. Если оно имеет вид yⁿ+a₁xy^n-1+a₂xy^n-2+…+a_nxy=f(x), где a₁x, a₂x, …, a_nx, f(x) – непрерывныеф-ции.

W(y₁, y₂,…,y_k)=|y₁ y₂ …. Y_k|

|y’₁y’₂ …. Y’_k|

|. . …………… |

|y₁^(k-1)y₂^(k-1) …. Y_k^(k-1)|

Систему уравнений y₁(x),…., y_n(x), состоящую из n линейно зависимых решений уравнений L(y)=0, будем называть фундаментальным набором решений этого уравнения.

74. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли. Дифференциальное уравнение вида y’+p(x)y=f(x)yⁿ (n≠0, n≠1) называется уравнением Бернулли.

76. Общее решение однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (для уравнений второго порядка).1 случай: y=C₁e^λx+C₂е^λx2 случай: у=е^ах(С₁cosβx+C₂sinβx) 3 случай: y=e^λx(C₁+C₂x)

77. Частное решение неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида.y=x^le^ax(P_m(x)cosbx+Q_m(x)sinbx)