Требуется знать доказательства теорем из вопросов 1, 18, 19, 26, 28, 33, 38, 40, 43, 53, 60, 73, 94, 98, 99. Конспект и шпаргалки использовать нельзя.
Вопросы к экзамену по высшей математике. 1 семестр.
(на оценку 3)
Группы 13505/2,3,4; 13508/1,2,3,4,5.
Формулировки и определения:
1. Предел числовой последовательности. Теорема о стабилизации знака.
2. Теорема о предельном переходе в неравенствах. Теорема о сжатой последовательности.
3. Бесконечно малая последовательность. Ограниченность числовой последовательности, имеющей предел. Лемма о произведении бесконечно малой и ограниченной последовательностей.
4. Бесконечно большие последовательности, их связь с бесконечно малыми последовательностями. Бесконечно большие последовательности и арифметические операции.
5. Теорема о вложенных отрезках.
6. Теорема о существовании точной верхней (нижней) грани у ограниченного сверху (снизу) множества.
7. Число e.
8. Теорема Больцано- Вейерштрасса.
9. .
10. Предел функции в точке. Равносильность двух определений предела.
11. Ограниченность функции, имеющей предел.
12. Теоремы о неравенствах и пределах.
13. Теорема об арифметических операциях и пределах.
14. .
15. .
16. Функции, имеющие бесконечные пределы, их связь с бесконечно малыми функциями. Арифметические операции над ними. Теорема о произведении бесконечно малой и ограниченной функций.
17. Односторонние пределы. Их связь с пределом функции.
18. Замена на эквивалентные при вычислении пределов. Необходимое и достаточное условия эквивалентности функций f(x) и g(x).
19. Правила дейтвий с символом о-малое.
20. Первый замечательный предел 
.
21. Второй замечательный предел 
. Следствия.
22. Определение функции, непрерывной в точке. Классификация точек разрыва.
23. Теорема о функциях , непрерывных в точке. Предел суперпозиции функций, одна из которых непрерывна. Следствия.
24. Теорема Кантора.
25. Первая теорема Вейерштрасса.
26. Вторая теорема Вейерштрасса.
27. Первая теорема Коши о значениях функции, непрерывной на отрезке.
28. Вторая теорема Коши о значениях функции, непрерывной на отрезке.
29. .
30. Непрерывность функции, монотонной на отрезке и переводящей этот отрезок в отрезок.
31. Обратные функции. Непрерывность обратной к монотонной функции.
32. Теорема о связи производной и дифференциала функции.
33. Связь непрерывности и дифференцируемости. Геометрический смысл производной и дифференциала.
34. Производная и дифференциал суммы и произведения функций.
35. Теорема о производной сложной функции. Производная отношения двух функций.
36. Свойство инвариантности формы первого дифференциала.
37. Производная обратной функции. Производные функций 
, 
.
38. Производные элементарных функций 
.
39.
40. Теорема Ферма.
41. Теорема Ролля.
42. Теорема Коши.
43. Теорема Лагранжа и следствия из нее.
44. Производные высших порядков. Примеры.
45. Дифференциалы высших порядков. Отсутствие инвариантности формы у дифференциалов высших порядков.
46. Формула Лейбница.
47. Производная функции, заданной параметрически.
48. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Следствия.
49. Разложение элементарных функций по формуле Тейлора.
50. Правило Лопиталя.
51. Вычисление пределов 
, 
, 
, 
, 
.
52. Аналитические признаки поведения функции.
53. Необходимое условие существования экстремума. Первое достаточное условие существования экстремума.
54. Второе достаточное условие существования экстремума.
55. Выпуклые функции. Доказательство неравенства 
для выпуклой вниз функции.
56. Достаточное условие строгой выпуклости. Следствие о положении касательной
57. Необходимое и достаточное условия существования точек перегиба.
58. Асимптоты. Условия существования вертикальных и наклонных асимптот к графику функции.
59.
60. Определение и свойства операций сложения и умножения комплексных чисел.
61. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел.
62. Свойства и неравенства для модуля комплексных чисел.
63. Свойства комплексно-сопряженных чисел.
64. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Извлечение корня из комплексного числа.
65. Показательная функция комплексной переменной. Формула Эйлера.
66. Логарифмическая и степенная функции комплексной переменной.
67. Определение многочлена. Равенство многочленов.
68. Теорема о делении многочлена на многочлен с остатком.
69. Теорема Безу о кратных корнях многочлена.
70. Основная теорема алгебры и следствия из нее.
71. Разложение на вещественные множители многочлена с вещественными коэффициентами.
72. .
73. Определение и свойства первообразной. Теорема о связи первообразных одной функции.
74. Таблица основных неопределенных интегралов (с доказательствами).
75. Интегрирование с помощью замены переменной. Вычисление 
.
76. Интегрирование по частям. Вычисление 
.
77. Интегрирование рациональных дробей..
78. Интегральные суммы Римана. Определение определенного интеграла. Теорема об ограниченности функции, интегрируемой на отрезке.
79. Суммы Дарбу: определение, свойства.
80. Признак интегрируемости функции, использующий суммы Дарбу.
81. .
82. .
83. Интегрируемость непрерывной функции.
84. Интегрируемость монотонной и ограниченной функции.
85. Действия над интегрируемыми функциями.
86. Теорема об интегрировании функции, равной нулю всюду, за исключением конечного числа точек, и функции, у которой изменены значения в конечном числе точек.
87. Свойства определенного интеграла.
88. Теорема о среднем значении функции на промежутке. Следствия.
89. Неравенства для определенных интегралов.
90. .
91. . Формула Ньютона – Лейбница.
92. .
93. Несобственные интегралы II рода: определение, главное значение. Критерий сходимости интеграла II рода от неотрицательной функции.
94. Первый и второй признаки сравнения. Сходимость интеграла 
.
95. Теорема о связи сходимости и абсолютной сходимости.
96. Несобственные интегралы I рода: определение, главное значение. Признаки сходимости.
97. Признак Дирихле. Сходимость интеграла 
при р>0.
98. Гамма-функция.
99. Понятие площади. Площадь криволинейной трапеции.
100. Площадь криволинейного сектора. Вычисление площади круга.
101. Понятие объема. Объем прямого кругового цилиндра.
102. Объем тела вращения. Объем тела с известными площадями поперечных
сечений. Объем эллипсоида и шара.
103..
Требуется знать доказательства теорем из вопросов 1, 18, 19, 26, 28, 33, 38, 40, 43, 53, 60, 73, 94, 98, 99. Конспект и шпаргалки использовать нельзя.