Минор и алгебраическое дополнение.

Раздел 2 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Тема 2.1 Матрицы и определители

Таблица, состоящая из Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru строк и Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru столбцов, называется матрицей размерности Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru :

Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru , (2.1)

где Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru – элементы матрицы ( Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru ; Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru ).

Сокращенная запись Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru или Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru .

Если Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru , то матрица называется квадратной. В этом случае число Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru называется ее порядком. В квадратной матрице n-го порядка диагональ, состоящая из элементов Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru ,называется главной диагональю.

Две матрицы Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru и Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru одинаковой размерности называются равными, если все их соответствующие элементы равны.

Действия над матрицами

Суммой (разностью) двух матриц Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru и Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru одинаковой размерности называется матрица Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru , элементы которой определяются равенством

Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru ( Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru ; Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru ) (2.2)

Произведением матрицы Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru на число Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru называется матрица Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru на число Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru :

Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru ( Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru ; Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru ). (2.3)

ПроизведениемМинор и алгебраическое дополнение. - student2.ruматрицы Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru на матрицу Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru называется матрица Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru , элемент Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru которой равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru на соответствующие элементы j-го столбца матрицы Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru , т.е.

Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru , ( Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru ; Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru ) (2.4)

Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru Произведение матрицы Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru на матрицу Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru определено только в том случае, когда число столбцов первого множителя (матрицы Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru ) равно числу строк второго множителя (матрицы Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru ). При этом размерность матрицы Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru равна Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru :

Матрица, полученная из матрицы Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru заменой всех строк соответствующими по номеру столбцами, называется транспонированной по отношению к матрице Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru и обозначается Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru или Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru , т.е.

Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru

Определители

Каждой квадратной матрице по определенному закону ставится в соответствие некоторое число Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru , называемое определителем (детерминантом) этой матрицы. Обозначают определители так:

Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru

Определителем второго порядка называется число, записанное в виде таблицы и равное

Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru .

Например,

Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru .

Определителем 3-го порядка называется число, равное

Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru (2.6)

Каждое слагаемое равно произведению трех элементов, взятых по одному из каждого столбца и каждой строки, число слагаемых при этом равно Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru .

Определитель 3-го порядка можно вычислить по правилу треугольника (правилу Саррюса). Если соединить линией каждые три элемента определителя (по одному из каждой строки и каждого столбца), то получим легко запоминающуюся схему:

Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru D = Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru .

На левой схеме линиями соединены каждые три элемента определителя, произведение которых входит в определитель со знаком “+”, на правой схеме приведены произведения, которые входят в определитель со знаком “–”.

ОпределителемМинор и алгебраическое дополнение. - student2.ru-го порядка ( Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru ) называется число, записанное в виде таблицы, состоящей из Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru строк и Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru столбцов:

Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru

Минор и алгебраическое дополнение. - student2.ru (2.7)

Основные свойства определителей

1. При транспонировании матрицы величина ее определителя не изменяется.

2. Если поменять местами любые две строки или два столбца, то определитель изменит свой знак на противоположный.

3. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

4. Если одна строка (столбец) определителя состоит только из нулей, то определитель равен нулю.

5. Определитель равен нулю, если имеются две одинаковые или две пропорциональные строки (столбца).

6. Величина определителя не изменится, если к элементам какой-нибудь строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

7. Если элементы некоторой строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы двух определителей D1 и D2. В определителе D1 указанная строка состоит из первых слагаемых, в определителе D2 – из вторых слагаемых. Остальные строки определителей те же, что и в исходном определителе.

Минор и алгебраическое дополнение.

Наши рекомендации