Краткие теоретические сведения
Тема 1. Определители.
Квадратной матрицей порядканазывается квадратная таблица из чисел
(
,
):
, состоящая из
строк и
столбцов. У квадратной матрицы различают главную диагональ:
и побочную диагональ:
. Любой квадратной матрице
порядка
можно поставить в соответствие число
, равное алгебраической сумме
слагаемых, составленных определённым образом из элементов
матрицы
,называемое определителем матрицы. Кратко обозначается
,
.
Определителем 1-ого порядка называется число .
Определителем 2-ого порядка называется число
.
Определителем 3-его порядка называется число
.
Минором элемента называется определитель
, полученный из определителя
вычёркиванием
-ой строки и
-ого столбца.
Алгебраическим дополнением элемента
называется его минор
, взятый со знаком
:
.
Определителем порядка называется число
Разложением определителя по
-ой строке (
) называется соотношение:
.
Разложением определителя по
-ому столбцу (
) называется соотношение:
Определители обладают следующими свойствами:
1) определитель не изменится при замене всех его строк столбцами с теми же номерами;
2) определитель изменит знак на противоположный, если переставить местами любые две строки (два столбца) определителя;
3) общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя;
4) определитель равен нулю, если он содержит нулевую строку (столбец), две одинаковые или пропорциональные строки (столбца);
5) определитель не изменится, если к какой-либо строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на любое число;
6) определитель треугольного вида (когда все элементы, лежащие по одну сторону одной из его диагоналей равны нулю) равен произведению диагональных элементов: .
Тема 2. Матрицы.
Матрицей размера называется прямоугольная таблица из чисел
(
,
):
, состоящая из
строк и
столбцов. Если необходимо указать размеры матрицы, то пишут
.
Если , то матрица
называется квадратной.
Нулевой называется матрица , все элементы которой равны нулю, например:
. Единичной называется квадратная матрица
, на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, например:
. Треугольной называется квадратная матрица
, все элементы которой расположенные по одну сторону от главной диагонали равны нулю, например:
. Трапециевидной (ступенчатой) называется матрица
, все элементы которой, расположенные ниже элементов
равны нулю, например:
.
Матрицы и
называются равными и пишут
, если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны:
,
,
.
Матрицы можно транспонировать, складывать, вычитать, умножать на число, умножать на другую матрицу.
Транспонированной к матрице называется матрица
, столбцами которой являются соответствующие строки матрицы
.
Суммой (разностью) матриц и
одного размера
, называется матрица
того же размера, для которой:
,
,
.
Произведением матрицы размера
на число
называется матрица
того же размера, для которой:
,
,
.
Линейной комбинацией матриц и
одного размера
, называется матрица
того же размера (
и
- произвольные числа), для которой:
,
,
,
Произведением матрицы на матрицу
называется матрица
, каждый элемент которой
вычисляется по правилу:
,
,
.
Операция умножения матрицы на матрицу определена не для всех матриц, а только для таких у которых число столбцов левой матрицы равно числу строк правой матрицы
. Такие матрицы называются согласованнымидля умножения. Поэтому прежде чем выполнять операцию умножения матрицы на матрицу следует проверить их согласованность для умножения и определить размерность матрицы-произведения (если умножение матриц возможно):
. Особенность операции умножения матриц состоит в том, что в общем случае:
, т.е. переместительное свойство места не имеет.
Элементарными преобразованиями матрицы называются:
1) перестановка строк (столбцов);
2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число;
4) вычёркивание нулевой строки (столбца).
Матрицы и
, полученные одна из другой в результате элементарных преобразований называются эквивалентнымии пишут
.
Обратнойк квадратной матрице порядка
, называется матрица
того же порядка, если:
, где
- единичная матрица порядка
.
Квадратная матрица называется невырожденной, если её определитель
. Обратная матрица всегда существует для невырожденных матриц.
Основными методами вычисления обратной матрицы являются:
Метод присоединённой матрицы. Если -невырожденная матрица, то
, где
- присоединённая матрица, для которой:
. Здесь
- алгебраические дополнения элементов
матрицы
.
В частности, если , то
Метод элементарных преобразований.Для данной квадратной матрицы порядка
строится прямоугольная матрица
размера
приписыванием к
справа единичной матрицы. Далее, с помощью элементарных преобразований над строками, матрица
приводится к виду
, что всегда возможно, если
- невырожденная.
Матричныминазываются уравнения вида: ,
,
,
где матрицы - известны, матрица
- неизвестна. Если квадратные матрицы
и
- невырожденные, то решения матричных уравнений записываются, соответственно, в виде:
,
,
.
Минором -ого порядка матрицы
размера
называется определитель
квадратной матрицы порядка
, образованной элементами матрицы
, стоящими на пересечении произвольно выбранных её
строк и
столбцов
. Максимальный порядок
отличных от нуля миноров матрицы
, называется её рангом и обозначается
или
, а любой минор порядка
, отличный от нуля – базисным минором.
Тема 3. Системы линейных уравнений. Модель Леонтьева.
…Система уравнений вида: называется системой
линейных уравнений с
неизвестными. Числа
называются коэффициентами системы,
- свободными членами системы,
- неизвестными системы.
В матричной форме система имеет вид: , где
,
,
.Здесь
-матрица системы,
-матрица-столбец неизвестных,
-матрица-столбец свободных членов.
Если , то система называется однородной, в противном случае неоднородной.
Система, матрица которой является треугольной с диагональными элементами
, называется треугольной. Система, матрица
которой является трапециевидной, называется трапециевидной.
Решением системы называется всякий упорядоченный набор чисел , обращающий каждое уравнение системы в равенство. Совокупность всех решений называется множеством решений системы.
Система называется совместной, если она имеет, по крайней мере, одно решение; определённой, если она имеет только одно решение; неопределённой, если она имеет бесконечно много решений; несовместной, если она не имеет решений.
Однородная система уравнений всегда совместна, так как всегда имеет, по крайней мере, нулевое решение . Треугольная система является определённой, трапециевидная система – неопределённой.
Две системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.
Элементарными преобразованиями систем уравнений называются:
1) перестановка уравнений;
2) перестановка местами слагаемых в каждом из уравнений системы;
3) умножение уравнения на число, отличное от нуля;
4)прибавление к уравнению другого, умноженного на любое число;
5) вычёркивание уравнения вида: .
Основными точными методами решения систем линейных уравнений являются методы: Крамера, обратной матрицы и Гаусса.
Если число уравнений в системе совпадает с числом неизвестных
и определитель матрицы системы
, то система имеет единственное решение, которое можно найти:
а) методом Крамера по формулам: ,
, где
- определитель, получаемый из определителя матрицы системы
заменой
-ого столбца на столбец свободных членов;
б) методом обратной матрицы по формуле .
Методом Гаусса находят решение произвольной системы линейных уравнений. Метод состоит в приведении системы уравнений, с помощью элементарных преобразований, к системе специального вида, эквивалентной исходной, решение которой очевидно. Преобразования по методу Гаусса выполняют в два этапа. Первый этап называют прямым ходом, второй - обратным.
В результате прямого хода выясняют: совместна или нет система и если совместна то, сколько имеет решений - одно или бесконечно много, а также, в случае бесконечного множества решений, указывают базисные и свободные неизвестные для записи общего решения системы. Преобразования прямого хода выполняют, как правило, над расширенной матрицей системы , которую получают, приписывая справа к матрице системы
столбец свободных членов
. В результате элементарных преобразований строк и перестановкой столбцов, матрица системы
должна быть приведена к матрице
треугольного или трапециевидного вида с элементами
. При этом, система уравнений, матрица которой
, является треугольной с диагональными элементами
, будет иметь единственное решение; система уравнений, матрица которой
, является трапециевидной с элементами
, будет иметь бесконечно много решений. Если, при выполнении преобразований расширенной матрицы
, в преобразованной матрице
появится строка
, где
, то это говорит о несовместности исходной системы уравнений. Базисные неизвестные указывают, выписывая базисный минор преобразованной матрицы системы
. Базисными являются неизвестные преобразованной системы, столбцы коэффициентов
при которых образуют базисный минор (определитель максимального порядка, отличный от нуля). Свободными являются неизвестные, не являющиеся базисными.
В результатеобратного хода находят решение системы, записывая его в виде общего решения, если их бесконечно много. Преобразования обратного хода часто выполняют, над уравнениями системы, соответствующей последней расширенной матрице прямого хода. В случае единственного решения, его получают, находя последовательно значения всех неизвестных из уравнений системы, начиная с последнего. В случае, когда решений бесконечно много, их записывают в виде общего решения. Для этого свободным неизвестным придают разные произвольные постоянные значения:
,
,…,
, и последовательно из уравнений системы, начиная с последнего, находят значения всех базисных неизвестных. Полученное решение называют общим. Придавая произвольным постоянным, конкретные значения, находят частные решения системы уравнений.
Уравнениямимежотраслевого баланса, описывающими процесс производства и потребления продукции -отраслевой экономикой, называют уравнения
(
) , где
- объём выпуска валовой продукции
-ой отраслью,
- объём продукции
-ой отрасли, потребляемый
-ой отраслью для производства своей продукции,
- объём выпуска конечной продукции
-ой отраслью, предназначенной для реализации в непроизводственной сфере.
Если предположить, что (гипотеза линейности), где
- постоянные числа, характеризующие технологию производства (показывают затраты продукции
-ой отрасли на производство 1 единицы продукции
-ой отрасли) и называемые коэффициентами прямых затрат, то уравнения межотраслевого баланса запишутся в виде:
(
). Их называют уравнениями линейного межотраслевого баланса или линейной моделью Леонтьева многоотраслевой экономики и записывают, как правило, в матричном виде:
, где
- единичная матрица;
- матрица коэффициентов прямых затрат;
и
- векторы (матрицы-столбцы) валового и конечного продукта, соответственно.
Основная задача линейного межотраслевого баланса состоит в отыскании вектора , который при известной матрице прямых затрат
обеспечивает заданный вектор конечного продукта
. Вектор
находится по формуле
, где
- матрица коэффициентов полных затрат, элемент
которой показывает величину валового выпуска продукции
-ой отрасли, необходимой для обеспечения выпуска 1 единицы конечного продукта
-ой отрасли. Решение такой задачи существует только для продуктивных матриц
.
Матрица называется продуктивной, если для любого вектора
существует решение
уравнения Леонтьева:
.
Матрица будет продуктивной, если сумма элементов по каждому её столбцу (строке) не превосходит единицы:
, причём хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы.
Чистой продукцией отрасли называется разность между валовой продукцией этой отрасли и затратами продукции всех отраслей на производство данной отрасли. Объёмы выпуска чистой продукции
-ой отрасли вычисляют по формулам:
(
).
Тема 4. Системы векторов. N-мерное векторное пространство. Евклидово пространство.
Арифметическим вектором называют упорядоченную совокупность из чисел:
и обозначают
. Числа
называют компонентами вектора
, число компонент называют его размерностью.
Векторы и
называют равными, если они одинаковой размерности и их соответствующие компоненты равны:
,
.
Суммой векторов и
одной размерности, называют вектор
той же размерности, для которого:
,
.
Произведением вектора на число
называют вектор
той же размерности, для которого:
,
.
Линейной комбинациейвекторов и
одной размерности, называют вектор
той же размерности (
и
- произвольные числа), для которого:
,
.
Множество всех -мерных векторов, в котором введены операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие определённым требованиям (аксиомам) называют векторнымпространствоми обозначают
.
Систему векторов называют линейно зависимой, если найдутся числа
,
одновременно, такие, что
(где
- нулевой вектор), в противном случае, систему называют линейно независимой.
Базисом системы векторов называют упорядоченную систему векторов
, удовлетворяющую условиям:
1) ,
; 2) система
линейно независима; 3) для любого вектора
найдутся числа
такие, что
. Коэффициенты
, однозначно определяемые вектором
, называют координатами вектора в базисе
, а формулу называют разложениемвектора
по базису
и пишут:
.
В пространстве базисом является каждая упорядоченная система из
линейно независимых векторов:
. Формулу
называют разложениемвектора
по базису
, коэффициенты
- координатами вектора в базисе
и пишут
.
Всякая упорядоченная система из векторов
образует базис
, если определитель, столбцами которого являются компоненты векторов
, не равен нулю.
Пространство , в котором введено скалярное произведение векторов, удовлетворяющее определённым требованиям (аксиомам), называют евклидовым. Скалярным произведением двух векторов
и
называют число:
.
Тема 5. Линейные операторы. Собственные числа и векторы.
Операторомназывается закон (правило), по которому каждому вектору ставится в соответствие единственный вектор
, и пишут
или
В дальнейшем, рассматривается случай
(преобразование пространства
). Оператор
называется линейным, если для любых векторов
и действительных чисел
выполнено условие:
.
Если - базис пространства
, томатрицей линейного оператора
в базисе
называется квадратная матрица
порядка
, столбцами которой являются столбцы координат векторов
. Между линейными операторами, действующими в
и квадратными матрицами порядка
, существует взаимно однозначное соответствие, что позволяет оператор
представить в матричном виде
, где
- матрицы-столбцы координат векторов
,
- матрица оператора
в базисе
.
Для линейных операторов, действующих в вводятся следующие операции: 1) сложение операторов:
; 2) умножение операторов на число:
; 3) умножение операторов:
.