Формализм и теоретико-множественные основания математики 12 страница
Математике доступны лишь наиболее простые проблемы физического мира, но именно в ней эти проблемы находят полное решение. Вера в могущество человека отчасти зиждется на той силе, которой наделяет его математика — она помогает человеку покорять природу и тем облегчает его ношу. Одержанными математикой победами человек может по праву гордиться.
Вопрос о том, почему математика столь эффективна, представляет не только чисто академический интерес. Если мы используем математику в технике, то в какой степени можно полагаться на нее в расчетах и проектах? Можно ли спроектировать мост с помощью теории, опирающейся на бесконечные множества или аксиому выбора? Не обрушится ли такой мост? К счастью, инженерные проекты обычно основаны на применении теорем, столь надежно подкрепленных накопленным ранее опытом, что их использование не вызывает сомнений. Многие инженерные проекты умышленно предусматривают большой запас прочности. Например, при строительстве мостов используются такие материалы, как сталь, хотя прочность материалов нам не известна досконально. Чтобы компенсировать возможные неточности, инженеры вводят «коэффициент незнания» — используют более прочные кабели и балки, чем того требует теория. Но в тех случаях, когда речь идет о проекте сооружения, не возводившегося никогда ранее, необходимо учитывать и надежность применяемой математики.[186]В таких случаях разумная осторожность подсказывает не приступать к строительству сооружения прежде, чем все расчеты не будут проверены на модели, выполненной в уменьшенном масштабе.
В этой главе мы поставили перед собой задачу попытаться наметить какой-то выход из того затруднительного положения, в котором оказались математика и ее «жрецы». Единой, общепринятой математики не существует, поэтому мы не стали бы рекомендовать в качестве возможного выхода перебор множества различных путей, отстаиваемых теми или иными группами: избрать такой «лобовой» подход к решению проблемы означало бы воспрепятствовать достижению главной цели математики — способствовать прогрессу науки. Именно этой высокой целью мы и рекомендовали бы воспользоваться как эталоном. Здесь мы достаточно подробно обсудили связанные с этим проблемы и спорные вопросы.
Но хотя акцент на приложениях к естественным наукам представляется наиболее разумным курсом дальнейшего развития математики, эта программа отнюдь не исключает и другие заслуживающие внимания и вполне разумные цели в рамках самой математики. Мы отмечали (гл. XIII), что развитие прикладной математики требует основательной и разнообразной поддержки: абстракции, обобщения, строгого обоснования и усовершенствования существующих методов. Кроме того, вполне оправдана деятельность в области оснований математики, не дающая прямого выхода в математику, но доказавшая свою полезность в процессе естественнонаучных исследований. Конструктивистская программа интуиционистов, хотя те исходили из намерения заменить лишенные смысла чистые теоремы существования, приводит к методам вычисления величин, о которых чистые теоремы существования сообщают нам лишь то, что эти теоремы существуют. Приведем один старый пример. Евклид доказал, что отношение площади круга к квадрату его радиуса одинаково для всех кругов (это отношение обычно обозначается греческой буквой π ). Тем самым Евклид доказал чистую теорему существования. Но если мы хотим вычислить площадь какого-нибудь круга, то для этого нам необходимо знать, чему равно π . К счастью, приближенный метод вычисления π , предложенный Архимедом, и некоторые разложения в ряды, полученные впоследствии, позволили найти π задолго до того, как интуиционисты бросили вызов чистым теоремам существования. Разумеется, возможность вычисления числа π необычайно важна. Аналогично возникает необходимость и в вычислении других величин, относительно которых пока доказано лишь то, что они существуют. Следовательно, конструктивистская программа вполне заслуживает внимания.
Однако исследования в области оснований математики ценны и тем, что открывают потенциальную возможность прийти к какому-нибудь противоречию. Непротиворечивость математики не доказана, и открытие противоречия или заведомо абсурдной теоремы позволило бы по крайней мере раз и навсегда разрешить эту проблему, которая поглощает сегодня немало времени и энергии некоторых математиков.
Наш обзор современного состояния математики вряд ли может пробудить чувство успокоенности. Математика лишилась своей истинности. Ныне она уже не является независимой, абсолютно надежной и прочно обоснованной областью знаний. Большинство математиков заявили о своей преданности естествознанию — акт похвальный в любой период истории, но особенно в тот момент, когда естественнонаучные приложения могут сыграть роль путеводной нити в поиске разумного направления в развитии математики. Замечательная точность и эффективность математики в описании реального мира по-прежнему ждут своего объяснения.
Несмотря на все свои недостатки и ограниченные возможности, математике есть чем гордиться. Она была и остается высшим интеллектуальным достижением и наиболее оригинальным творением человеческого духа. Музыка может возвышать или умиротворять душу, живопись — радовать глаз, поэзия — пробуждать чувства, философия — удовлетворять потребности разума, инженерное дело — совершенствовать материальную сторону жизни людей. Но математика способна достичь всех этих целей. Если же говорить о возможностях человеческого разума, то математики немало потрудились, чтобы доказать, сколь высокую надежность результатов способен обеспечить человеческий разум. Не случайно математическая точность вошла в поговорку. Математика по-прежнему остается эталоном самого надежного и точного знания, которого мы только в состоянии достичь.
Все свершения математики — это свершения человеческого разума. Показав, на что способен человек, математика вселила в людей смелость и уверенность, позволившие им вплотную взяться за разгадку ранее, казалось бы, неприступных тайн космоса, лечение страшных болезней, количественный анализ проблем, относящихся к экономике и устройству человеческого общества, что позволяет надеяться на дальнейший прогресс человечества. В решении этих проблем математика может оказаться более эффективной или менее, но с ней мы связываем определение надежды на успех.
Математика таит в себе ценности не меньше, чем любое другое творение человеческого духа. Ценности эти нелегко воспринимаются, им не всегда воздают должное, но, к счастью, ими пользуются. Познать их труднее, чем, скажем, ценности музыки, однако того, кто сумеет преодолеть нелегкий путь познания, ждет богатое вознаграждение; в этих ценностях сосредоточено все, что отличает лучшие творения человеческого духа. Ценности, воплощенные в математике, поистине неисчерпаемы; единственный вопрос, который может здесь возникнуть, — это вопрос о степени их важности. На этот вопрос каждый сам должен найти ответ, так как многое зависит от индивидуальных суждений, мнений и вкусов.
Математика — это высокий образец достоверного знания, идеал определенности, к которому мы будем стремиться и впредь, даже если он и недостижим. Достоверность вполне может оказаться не более чем призраком, манящим и все время ускользающим. Но идеалы, даже недостижимые, обладают притягательной силой и ценностью. Справедливость, равноправие или бог — идеалы. Правда, во имя бога люди убивали себе подобных, а справедливость далеко не всегда торжествует. И все же эти идеалы представляют собой главный итог многовекового развития цивилизации. Так обстоит дело и с математикой, даже если она всего лишь остается идеалом. Возможно, созерцание идеала позволяет нам с большей уверенностью выбирать направление, которым необходимо следовать для достижения истины.
Человек — песчинка в мироздании. Мы странники в бескрайних просторах Вселенной, беспомощные перед разгулом природных стихий, зависящие от них и в получении пищи, и в удовлетворении других потребностей. Человек взирает на загадочную, быстро меняющуюся, бесконечную Вселенную смущенный, озадаченный и даже испуганный собственной незначительностью. Как сказал Паскаль[187],
…ибо что такое человек во Вселенной? Небытие в сравнении с бесконечностью, все сущее в сравнении с небытием, среднее между всем и ничем. Он не в силах даже приблизиться к пониманию этих крайностей — конца мироздания и его начала, неприступных, скрытых от людского взора непроницаемой тайной, и равно не может постичь небытие, из которого возник, и бесконечность, в которой растворяется.
([119], с. 123.)
Монтень и Гоббс, по существу, утверждали то же, только иными словами. Человек одинок и слаб, а век его короток. Он жертва непредвиденного стечения обстоятельств.
Наделенный органами чувств, возможности которых весьма ограниченны, и рассудком, позволяющим анализировать воспринимаемую органами чувств информацию, человек начал проникать в окружающие его тайны природы. Используя данные непосредственного наблюдения или результаты специально поставленных экспериментов, он сформулировал определенные аксиомы и воспользовался своей способностью мыслить. Он стремился во всем найти порядок. Целью человека было построить систему знаний, способную противостоять мимолетной смене ощущений и послужить основой для познания — и покорения — окружающего мира. Один из значительных итогов его деятельности, продукт его разума — математика. Наша наука не идеальный алмаз — возможно, даже постоянная полировка не позволит ей избавиться от всех изъянов, Тем не менее математика была и остается самой надежной нашей связью с миром чувственного восприятия, и, хотя мы знаем, что она лишена прочных оснований (что не может не вселять в нас тревогу), она тем не менее по-прежнему является драгоценнейшим украшением нашей интеллектуальной жизни, которое следует беречь. Математика по праву занимает свое высокое место в сокровищнице человеческого разума и, несомненно, останется там, даже если более детальные исследования обнаружат в ней новые изъяны.[188]Алфред Норт Уайтхед некогда сказал: «Нельзя не признать, что занятие математикой — ниспосланное богами безумие человеческого духа». Безумие? Вполне возможно — но, несомненно, ниспосланное богами.
Избранная литература
1. Barker S.F. Philosophy of Mathematics. — Engelwood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1964.
2. Baum R.J. Philosophy and Mathematics from Plato to the Present. — San Francisco: Freeman, Cooper & Co., 1973.
3. Bell E.T. The Place of Rigor in Mathematics. — Amer. Math. Month., 1934, 41, p. 599-607.
4. Benacerraf P., Putnam H. Philosophy of Mathematics, Selected Readings. — Engelwood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1964.
5. Beth E.W. The Foundations of Mathematics. — New York: North-Holland Publishing Co., 1959; New York: Harper and Row, 1966.
6. Beth E.W. Mathematical Thought: An Introduction to the Philosophy of Mathematics. — Dordrecht, Holland: D. Reidel, 1965; New York: Gordon and Breach, 1965.
7. Bishop E. et al. The Crisis in Contemporary Mathematics. — Hictoria Mathematica, 1975, 2, p. 505-533.
8. Black M. The Nature of Mathematics. — New York: Harcourt, Brace, Jovanovich, 1935; London: Routledge & Kegan Paul, 1933.
9. Blumenthal L.M. A Paradox, A Paradox, A Most Ingenious Paradox. — Amer. Math. Month., 1940, 47, p. 346-353.
10. Bochenski I.M. A History of Formal Logic. — New York: Chelsea переиздание, 1970.
11. Bourbaki N. The Architecture of Mathematics. — Amer. Math. Month, 1950, 57, p. 221-232; также в [54], т. I, p. 23-26. [Русский перевод: Бурбаки Н. Архитектура математики. — В кн. Очерки по истории математики. — M.: ИЛ, 1963, с. 245-259; в кн.: Математическое просвещение (новая серия), вып. 5. — М.: Физматгиз, 1960, с. 99-112; в кн. Архитектура математики, — М.: Знание, 1972, с. 4-18.]
12. Brouwer L.E.J. Intuitionism and Formalism. — Amer. Math. Soc. Bulletin, 1913-1914, 20, p. 81-96.
13. Burington A.S. On the Nature of Applied Mathematics. — Amer. Math. Month., 1949, 56, p. 221-241.
14. Calder A. Constructive Mathematics. — Scientific American, Oct, 1979, p. 146-171.
15. Cantor G. Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers. — New York: Dover Inc., 1955. [Немецкий оригинал в кн.: Cantor G. Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts. — Heidelberg Springer, 1980; русский перевод (неполный): Кантор Г. Теория ансамблей. — Спб.: Образование, 1914 («Новые идеи в математике», вып. 6).]
16. Cohen M.R. A Preface to Logic. — New York: Holt, Rinehart and Winston. 1944; New York: Dover Inc., 1977.
17. Cohen P.J., Reuben Hersh. Non-Cantorian Set Theory. — Scientific American, Dec. 1967, p. 104-116. [Русский перевод: Коэн П., Херш Р. Неканторовская теория множеств. — Природа, 1969, №4, с. 43-51; в кн, Математика в современном мире. — М.: Знание, 1969, с. 20-32.]
18. Courant R. Mathematics in the Modern World. — Scientific American, Sept, 1964, p. 40-49. [Русский перевод: Курант Р. Математика в современном мире. — В кн. [137], с. 13-27.]
19. Dauben J.W. Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite. — Cambridge: Harvard University Press, 1978.
20. Davis M., Hersh R. Nonstandard Analysis. — Scientific American, June 1972. p. 78-86. [Вошло также в книгу: Davis M., Hersh R. The Mathematical Experience. Boston: Birkhauser, 1981.]
21. Davis P.J. Fidelity in Mathematical Discourse: Is One and One Really Two? — Amer. Math. Month., 1972, 79, p. 252-263.
22. De Long H. A Profile of Mathematical Logic. — Reading, Mass, Addison-Wesley, 1970.
23. De Long H. Unsolved Problems in Arithmetic. — Scientific American. March 1971, p. 50-60.
24. Desua F. Consistency and Completeness — A Résumé. — Amer. Math. Month., 1956, 63, p. 293-305.
25. Dieudonné J. Modern Axiomatic Methods and the Foundations of Mathematics. [Французский оригинал статьи — в оригинальном издании собрания математических статей, составленного Ле Лионне — см. [54]. vol. I, p. 251-266.]
26. Dieudonné J. The Work of Nicolas Bourbaki. — Amer. Math. Month., 1970, 77, p. 134-145. [Русский перевод: Дьедонне Ж. О деятельности Бурбаки. — Успехи математических, наук, т. 28, вып. 3(171), 1973, с. 205-216; Дело Никола Бурбаки. В кн.: Очерки о математике. М.: Знание, 1973, с. 44-56.]
27. Dresden A. Brouwer's Contributions to the Foundations of Mathematics. — Amer. Math. Soc. Bulletin, 1924, 30, p. 31-40.
28. Dresden A. Some Philosophical Aspects of Mathematics. — Amer. Math. Soc. Bulletin, 1928, 34, p. 438-452.
29. Eves H., Carroll V.N. An Introduction to the Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics, rev. ed. — New York: Holt, Rinehart and Winston, 1965.
30. Fraenkel A.A. On the Crisis of the Principle of the Excluded Middle. — Scripta Mathematica, 1951, 17, p. 5-16.
31. Fraenkel A.A. The Recent Controversies about the Foundations of Mathematics. — Scripta Mathematica, 1947, 13, p. 17-36,
32. Fraenkel A.A., Bar-Hillel Y., Levy A. Foundations of Set Theory, 2nd rev, ed. — New York: North-Holland, 1973. [Имеется русский перевод 1-го изд «книги: Френкель А., Бар-Хилел И. Основания теории множеств. — М.: Мир, 1966]
33. Gödel K. What is Cantor's Continuum Problem? — Amer. Math. Month., 1947, 54, p. 515-525; с дополнением вошло в кн. [4], р. 258-273.
34. Goodman N.D. Mathematics as an Objective Science. — Amer. Math. Month. , 1979, 86, p. 540-551.
35. Goodstein R.L. Essays in the Philosophy of Mathematics. — Leicester: The University Press, 1965.
36. Hahn H. The Crisis in Intuition. — B [65], vol. III, p. 1956-1976. [Русский перевод: Хан. Г. Кризис интуиции. — В кн.: Математики о математике. — М.: Знание, 1972, с. 25-42.]
37. Halmos P.R. The Basic Concepts of Algebraic Logic. — Amer. Math. Month., 1956, 63, p. 363-387.
38. Hardy G.H. Mathematical Proof. — Mind , 1928, 38, p. 1-25; Collected Papers , vol. VII, 58, p. 1-606.
39. Hardy G.H. A Mathematician's Apology. — Cambridge: University Press, 1981. [Русский перевод отрывков из книги: Харди Г.Г. Исповедь математика. — В кн.: Математики о математике. — М.: Знание, 1967, с. 4-15.]
40. Heijenoort J. van, ed. From Frege to Gödel, A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. — Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1967.
41. Hempel C.G. Geometry and Empirical Science. — Amer. Math. Month., 1945, 52, p. 7-17.
42. Hempel C.G. On the Nature of Mathematical Truth. — Amer. Math. Month., 1945, 52, p. 543-556; также вошло в кн. [4].
43. Hersh R. Some Proposals For Reviving the Philosophy of Mathematics. — Advances in Mathematics, 1979, 31, p. 31-50.
44. Hilbert D. Über das Unendliche. — Mathematische Annalen, 1925, 95, 161-190; англ. переводы On the Infinite в кн. [4], p. 131-151 и в кн. [40], с. 367-392. [Русский перевод сокращенного варианта статьи: Гильберт Д. О бесконечном. В кн.: Гильберт. Основания геометрии. — М. — Л.: Гостехиздат, 1948, 338-364.]
45. Kline M. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. — New York: Oxford University Press, 1972.
46. Kline M. Mathematics in Western Culture. — New York: Oxford University Press, 1958.
47. Kneale W., Kneale M. The Development of Logic. — New York: Oxford University Press, 1962.
48. Kneeborn G.T. Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics. — New York: D. Van Nostrand, 1963.
49. Körner S. The Philosophy of Mathematics. — London: Hutchinson University Library, 1960.
50. Lakatos I. Mathematics, Science and Epistemology, 2 vols. — New York: Cambridge University Press, 1978.
61. Lakatos I., ed. Problems in the Philosophy of Mathematics, vol. I. — New York: North-Holland, 1972.
62. Lakatos I. Proofs and Refutations. — New York: Cambridge University Press., 1976. [Русский перевод более краткого варианта книги: Лакатос И. Доказательства и опровержения. — М.: Наука, 1967.]
63. Langer S.K. An Introduction to Symbolic Logic, 2nd ed. — New York: Dover, 1953.
64. Le Lionnais F. ed. Great Currents of Mathematical Thoughts, 2 vols. — New York: Dover, 1971. [Французский оригинал: La Lionnais F. Les grands courants de la pensée mathématiques. — Cahiers du Sud, 1948.]
65. Lewis C.I. A Survey of Symbolic Logic. — New York: Dover, 1960.
66. Luchins E. and A. Logicism. — Scripta Mathematics, 1965, 27, p. 223-243.
57. Luxemburg W.A.J. What is Non-Standard Analysis? — Amer. Math. Month. , 1973, 80, p. 11, p. 38-67.
58. Mackie G.L. Truth, Probability and Paradox. — New York: Oxford University Press, 1973.
59. Mendelson E. Introduction to Mathematical Logic. — New York: Van Nostrand, 1979, (2nd ed.) [Русский перевод 1-го изд. книги: Мендельсон Э. Введение в математическую логику. — М.: Наука, 1971.]
60. Monk J.D. On the Foundation of Set Theory. — Amer. Math. Month., 1970, 77, p. 703-711.
61. Myhill J. What is a Real Number? — Amer. Math. Month., 1972, p. 748-754.
62. Nagel E., Newman J.R. Gödel's Proof. — Scientific American, June 1956, p. 71-86.
63. Nagel E., Newman J.R. Gödel's Proof. — New York: New York University Press, 1958. [Сокращенный русский перевод: Нагель Э., Ньюмен Д. Теорема Гёделя. — М.: Знание, 1970.]
64. Neumann J. von. The Mathematician. In: Heiwood R.B. The Works of the Mind. — Chicago: University of Chicago Press, 1947; 180-196; также в кн.: [65], vol, IV, p. 2053-2068; Neumann J. von, Collected Works, vol. I, 1961, p. 1-9. [Русский перевод: Нейман Дж. фон. Математик. — Природа, 1983, №2, с. 88-95.]
65. Newman J.R. The World of Mathematics, 4 vols. — New York: Simon and Schuster, 1956,
66. Pierpont J. Mathematical Rigor Past and Present. — Amer. Math. Soc. Bulletin, 1928, 34, p. 23-52.
67. Poincaré H. The Foundations of Science. — Lancaster, Pa.; The Science Press, 1946,
68. Poincaré H. Last Thoughts. — New York: Dover Publications, 1963. [Неполный русский перевод (с французского) книг [67], [68] — см. книгу [1] в списке Дополнительной литературы]
69. Putman H. Is Logic Empirical? — Boston Studies in Philosophy of Science. 1969, p. 216-241.
70. Putnam H. Mathematics, Matter and Method, Philosophical Papers, vol. 1. — New York: Cambridge University Press, 1975.
71. Quine W.V. The Foundations of Mathematics. — Scientific American, Sept, 1964, p, 112-127.
72. Quîne W.V. From a Logical Point of View, 2nd ed. — Cambridge, Mass. Harvard University Press, 1961.
73. Quine W.V. Paradox. — Scientific American, April 1962, p. 84-96.
74. Quine W.V. The Ways of Paradox and Other Essays. — New York: Random House, 1966.
75. Richmond D.E. The Theory of the Cheshire Cat. — Amer. Math. Month., 1934, 41, p. 361-368.
76. Robison A. Non-Standard Analysis, 2nd ed. — New York: North-Holland, 1974.
77. Rotman B., Kneebone G.T. The Theory of Sets and Transfinite Numbers. — London: Oldbourne, 1966.
78. Russell B. The Autobiography of Bertrand Russell: 1872 to World War I. — New York: Bantam Books, 1965.
79. Russell B. Introduction to Mathematical Philosophy. — London: George Allen & Unwin, 1919.
80. Russell B. Mysticism and Logic. — London: Longmans, Green, 1925.
81. Russell B. The Principles of Mathematics, 2nd ed. — London: George Allen & Unwin, 1937.
82. Schrodinger E. Nature and the Greeks. — New York: Cambridge University Press, 1954.
83. Sentilles D. A Bridge to Advanced Mathematics. — Baltimore: Williams & Wilkins, 1975.
84. Snapper E. What is Mathematics? — Amer. Math. Month., 1979, 86, p. 551-557.
85. Stone M. The Revolution in Mathematics. — Amer. Math. Month., 1961, 68, p. 715-734.
86. Tarski A. Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences, 2nd ed. — New York: Oxford University Press, 1946. [Русский перевод 1-го изд.: Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. — М.: ИЛ, 1948.]
87. Tarski A. Truth and Proof. — Scientific American, June 1969, p. 63-77.
88. Waisman F. Introduction to Mathematical Thinking. — New York: Harper & Row, 1959.
89. Wavre R. Is There a Crisis in Mathematics? — Amer. Math. Month., 1934, 41, p. 488-499.
90. Weil A. The Future of Mathematics. — Amer. Math. Month., 1950, 57, p. 295-306.
91. Weyl H. A Half-Century of Mathematics. — Amer. Math. Month., 1951, 58, 523-553. [Русский перевод: Вейль Г. Полвека математики. — M.: Знание, 1969.]
92. Weyl H. Mathematics and Logic. — Amer. Math. Month, 1946, 53, p. 2-13,
93. Weyl H. Philosophy of Mathematics and Natural Sciences. — Princeton: University Press, 1949. [Немецкий оригинал: Weyl H. Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaften. — München: Oldenberg, 1922; русский перевод (частичный): Вейль Г. О философии математики. — М.: Гостехиздат, 1934, с. 34-91; 2-е изд. доп. и перераб. München: Leibniz Verlag, 1950; русский перевод отрывков — в кн.: Прикладная математика (под ред. Э. Беккенбах). — М.: Мир, 1968, с. 309-361.]
94. White L.A., The Locus of Mathematical Reality: An Anthropological Footnote. — Philosophy of Science, 1947, 14, p. 289-303; vol. IV, p. 2348-2364.
95. Whitehead A.N., Russell В. Principia Mathematica, 3 vols. — New York: Cambridge University Press., 1st ed., 1910-1913; 2nd ed., 1925-1927.
96. Wigner E.P. The Unreasonable Effectiveness of Mathematics. — Corn. Pure and Appl. Math., 1960, 13, 1-14. [Русский перевод: Вигнер Е. Непостижимая эффективность математики в естественных науках. — В кн.: Вигнер Е. Этюды о симметрии. — М.: Мир, 1971, 182-198; также: УФН, т. 94, вып. 3. 1968, с. 535-546; в кн.: Проблемы современной математики. — М.: Знание, 1971, с. 22-33.]
97. Wilder R.L. Introduction to the Roundations of Mathematics, 2nd ed. — New York: John Wiley, 1965.
98. Wilder R.L. The Nature of Mathematical Proof. — Amer. Math., 1944, 51, p. 309-323.
99. Wilder R.L. The role of Axiomatic Method. — Amer. Math. Month., 1967, 74, p. 115-127.
100. Wilder R.L. The Role of Intuition. — Science, 1967, 156, p. 605-610.
Дополнительная литература
1. Пуанкаре А. О науке. — M.: Наука, 1983.
2. Бурбаки H. Теория множеств. — М.: Мир, 1965.
3. Лейбниц Г.В. Переписка с Кларком. — В кн.: Сочинения, т. 1. — М.: Мысль, 1982, с. 430-528.
4. Манин Ю.И. Математика и физика. — М.: Знание, 1979.
5. Ван дер Варден Б.Л. Пифагорейское учение о гармонии. — В кн.: Пробуждающаяся наука. — М.: Физматгиз, 1959.
6. Аристотель. Сочинения в 4-х томах. — М.: Мысль, 1976 (т. 1), 1981 (т. 3).
7. Платон. Сочинения в 3-х томах. Т. 3, ч. 1. — М.: Мысль, 1971.
8. Аристотель. Аналитики первая и вторая. — М.: Госполитиздат, 1952.
9. Юшкевич А.П. История математики в средние века. — М.: Физматгиз, 1961.
10. Баткин Л.М. Итальянские гуманисты: стиль жизни, стиль мышления. — М.: Наука, 1978.
11. Коперник Н. О вращениях небесных сфер. Серия «Классики науки». — М.: Наука, 1964.
12. Данилов Ю.А., Смородинский Я.А. Иоганн Кеплер: от «Мистерии» до «Гармонии». — УФН, 109, 1973, вып. 1, 175-209.
13. Паскаль Б. Письма к провинциалу, или Письма Людовика Монтальта к другу в провинцию и отцам иезуитам о морали и политике иезуитов. — Спб., 1898.
14. Декарт Р. Рассуждение о методе с приложениями. Серия «Классики науки». — М.: Наука, 1953.
15. Декарт Р. Правила для руководства ума. — М. — Л.: Соцэкгиз, 1936.
16. Декарт Р. Избранные произведения. — М.: Госполитиздат, 1950.
17. Галилей Г. Избранные труды в 2-х томах. Т. 2. — М.: Наука, 1964.
18. Кант И. Сочинения в 6-ти томах. — М.: Мысль, 1964 (т. 3), 1965 (т. 4), 1966 (т. 6).
19. Гюйгенс X. Трактат о свете. — М. — Л.: ОГИЗ, 1935.
20. Ньютон И. Математические начала натуральной философии. Собрание трудов академика А.Н. Крылова. Т. 7. — М. — Л.: Изд-во АН СССР, 1936.
21. Беркли Дж. Сочинения. — М.: Мысль, 1978.
22. Ньютон И. Оптика, или трактат об отражениях, преломлениях, изгибаниях и цветах света. — М.: Гостехиздат, 1954.
23. Бэкон Ф. Сочинения в 2-х томах. — М.: Мысль, 1977 (т. 1); 1978 (т. 2).
24. Об основаниях геометрии. Сб. классических работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей. — М. — Л.: Гостехиздат, 1956.
25. Начала Евклида. — М. — Л.: Гостехиздат, 1948 (книги 1—VI), 1949 (книги VII-X).
26. Бонола Р. Неевклидова геометрия. — Спб.: Общественная польза, 1910.
27. Каган В.Ф. Лобачевский. — М. — Л.: Изд-во АН СССР, 1948.
28. Каган В.Ф. Лобачевский и его геометрия. — М.: Гостехиздат, 1956, с. 193-194.
29. Больяи (Бойаи) Я. Appendix. Приложение, содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную, не зависящую от истинности или ложности XI аксиомы Евклида, что a priori никогда решено быть не может, с прибавлением, к случаю ложности, геометрической квадратуры круга. — М. — Л.: Гостехиздат, 1950, 235 с.
30. Рашевский П.К. О догмате натурального ряда. — Успехи математических наук, 28, вып, 4 (172), 1973, с. 243-246.
31. Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Т. 2. — М.; Наука, 1966.
32. Фейнберг Е.Л. Кибернетика, логика, искусство. — М.: Радио и связь, 1981.
33. Архимед. Сочинения. — М.: Физматгиз, 1962.
34. Диофант Александрийский. Арифметика и Книга о многоугольных числах. — М.: Наука, 1974; Башмакова И.Г. Диофант и диофантовы уравнения. — М.: Наука, 1972; Башмакова И.Г., Славутин И. История диофантова анализа от Диофанта до Ферма. — М.: Наука, 1984.
35. Бируни Абу Рейхан. Избранные произведения. Т. 2. — Ташкент: Фан, 1963.
36. Аль-Хорезми. Математические трактаты. — Ташкент: Фан, 1983.
37. Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми. — М.: Наука, 1983.
38. Кавальери Б. Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного, с приложением «опыта IV» о применении неделимых к алгебраическим степеням. — М. — Л.: Гостехиздат, 1940.
39. Кеплер И. Новая стереометрия винных бочек, преимущественно австрийских, как имеющих самую выгодную форму, и исключительно удобное употребление для них кубической линейки с присоединением дополнения к архимедовой стереометрии. — М. — Л.: Гостехиздат, 1935.
40. Eleckenstein S.О. Der Prioritätsstreit zwischen Leibnitz und Newton. — Basel: Birkhäuser, 1976.
41. Boyer C.B. The History of the Calculus and Its Conceptual Development. — N.Y.: Dover, 1959.
42. Baron M.E. The Origins of the Infinitesimal Calculus. — Oxford: Pergamon, 1969.
43. Priestley W.M. Calculus: An Historical Approach. — N.Y.: Springer, 1979.
44. Edwards C.H. The Historical Development of the Calculus. — N.Y.: Springer, 1979.
45. Карно Л. Размышления о метафизике исчисления бесконечно малых. — М. — Л.: Гостехиздат, 1933.
46. Дедекинд Р. Непрерывность и иррациональные числа. — Одесса: Матезис, 1923.
47. Дедекинд Р. Что такое числа и для. чего они служат. — Казань: Изд-во Императорского университета, 1905.
48. Делоне Б.Н. Элементарное доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского. — М.: Гостехиздат, 1956.