Определение предела функции

Определение 4.1. Пусть функция f(х) определена на некотором интервале (а,в). Число А называется пределом функции f(х) в точке х_о, т.е.

,

если " e > 0 $ d = d(e) > 0: "х Î ( а, в), удовлетворяющих условию

çх - х_оç < d, х ¹ х_о (4.1)

çf(x) - Aç < e. (4.2)

Рис. 4.1.

Таким образом, число А называется пределом функции f(х) в точке х_о A = , при х ® х_о тогда и только тогда, когда для любого (") e > 0 существует ( $) такая дельта окрестность d = d (e) > 0 точки х_о :

"х Î (а, в) : х Î O ( х_о , d), х ¹х_о Þ f ( x ) Î O ( A, e ).

Замечание.

Понятие предела, естественно, переносится на функции нескольких переменных.

Пусть f (х, у) - функция двух переменных, заданная на множество Х плоскости Оху.

Под окрестностью О_а,в точки М_о (а, в) (а и в - конечные) будем понимать внутренность любого прямоугольника {a₁ < х < b₁ , a₂ < у < b₂ }, построенного вокруг точки М_о (т.е. a₁ < а < b₁ , a₂ < в < b₂ ), из которого удалена сама точка М_о.

В таком утверждении можно записать

" e > o $ O_а,в : " M (х ,у ) Î O_а,в Þ ç f (x, y) - A ç < e.

При этом предполагается, что в любой О_а,в $ M (х,у ), в которых f (х, у) имеет смысл (предельная точка).

Односторонние пределы функции

Введем понятие левой и правой окрестности точки х_о - число.

Определение 4.2. Любой интервал = (a, x_o) (( = (x_о, b )), правым (левым) концом которого является точка х_о, назовем ее левой (правой) окрестностью.

Символически факт, что х принимает лишь значения, принадлежащие некоторой левой окрестности точки х_о, будем обозначать

х ® х_о - 0, х < х_о.

Аналогично х ® х_о + 0 , х > х_{о .}

Определение 4.3. Число А называется пределом функции слева, если

çf( x) - A ç < e.

И будем писать , где Х - область определения f (х).

Аналогично - предел функции справа.

Замечание.

Можно, конечно, ограничиться рассмотрением левых d - окрестностей точки х_{о :} = (х_о - d, х_о ) , где d = d ( e ) > 0.

= (x_o , x_o + d), где d = d ( e ) > 0.

O(x_о - 0, d ) = { х: х_о - d < x £ х_о }, d > 0

O(х + 0, d ) = {х : х_о £ х < x_o + d }, d > 0.

Рис. 4.2.

Пример 4.1.

Рис. 4.3.

Пусть f(х) = sin х = ,определена для всех x ¹ 0.

Здесь , а .

Теорема 4.1. Для существования предела функции f(х) при х ® х_о (х_о - число) Û f(х_о - о) = f(х_о + о).

Доказательство: Пусть ,

тогда " e > о $ d = d(e) > о: çх -х_оç< d = > çf (х) ¹ A ç < e,

и следовательно $ = (х_о - d, х_о) и = ( x_о , x_о + d ) :

А = и А = .

Обратно, если существуют пределы А = f(x) и А = , то " e > 0 $ d₁ = d₁ (e) и d₂ = d₂ (e) такие, что, если

х_о - d₁ < х < х_о и, соответственно, х_о < х < x_о + d₂ Þ

çf(х) - Aç < e

Возьмем d = min {d₁, d₂} Þ çf( x ) - A ½< e при çх -х_оç< d,

х ¹ х_о. И тогда, согласно определения 3.1 .

Лемма 4.1. Если f(х) имеет предел в точке х_о, то существует окрестность этой точки (быть может, выброшенной точкой х_о), на которой функция ограничена.

Теорема 4.2. (Правило замены переменного для пределов функции)

Пусть существуют _o, f(х) ¹ у_о " х ¹ х_о и Þ при х ® х_о существует предел сложной функции F[f(x)] и