Тема 3. Функции и их графики. 2 страница

в) Почленное интегрирование и дифференцирование рядов.
№3. Разложить функцию в ряд по степеням х и почленным интегрированием
данного ряда написать ряд для функции arcsin x.
№4. Применяя почленное дифференцирование, вычислить сумму ряда .

г) Приближённые вычисления с помощью рядов.

№5. Вычислить приближённо sin 1 и оценить погрешность вычисления.
№6. Вычислить cos 1⁰ с точностью до 10 ^{– 6}.
№7. Пользуясь тождеством = arcsin , найти число π с точностью до 10 ^{– 4}.

Домашние задания:

Тема 1.
№1. Вычислить: а) 16 ; б) lg│cos π│ + log ₄ 1.

№2. Что больше: log ₃ 4 или log _0,5 7?
№3. Определить знак числа .
№4. Найти область определения функции у = lg .
№5. Дано: ctg = - , 630⁰ < < 720⁰. Найти остальные функции этого угла.
№6. Упростить:
а) ; б) ; в) cos ;
г) 8 cos cos cos ; д) sin .
№7. Дано: tg + ctg = 3. Найти sec² + cosec² .

№8. Дано: cos = , < < 2π. Найти tg 2 .

Тема 2.

№1. Вычислить:
а) ; б) ; в) (1 + i )(1 + i) ; г) ;
д) ; е) .
№2. Решить уравнения:
а) х ² + 4 = 0; б) х ² – 6х + 18 = 0; в) х ⁴ – 30х ² + 289 = 0.

Тема 3.
№1. Найти области определения функций:
а) f (x) = + ; б) f (x) = ; в) (3 + 5х – 2х ²).
№2. Найти множества значений функций:
а) f (x) = 5 + 4х – х ²; б) f (x) = .
№3. Построить графики функций:
а) у = |х ² - 5|х| + 6| - 2; б) у = 2| log₂ |х - 1||.

Тема 4.
№1. Построить кривые:
а) х ² + 2у ² – 4х + 4у + 2 = 0; б) у ² + 6у + 2х + 5 = 0;
в) х ² + у ² + 10х - 4у + 13 = 0; г) 9х ² – 16у ² + 90х + 32у – 367 = 0.
№2. Составить уравнение окружности, проходящей через точки пересечения окружнос-
ти х ² + у ² + 4х – 4у = 0 с прямой у = - х и точку М₁(4; 4).
№3. Написать каноническое уравнение симметричного относительно осей координат
эллипса, который проходит через точку М(5/4; 1) и имеет эксцентриситет ε = 3/5.
№4. Дан эллипс = 1. Составить уравнение гиперболы, вершины которой нахо-
дятся в фокусах, а фокусы в вершинах данного эллипса.
№5. Составить каноническое уравнение параболы, если её фокус находится в точке
пересечения прямой 4х – 3у – 4 = 0 с осью Ох.

Тема 5.
№1. Доказать, что . Определить, начиная с какого номера члены данной последовательности будут отличаться от её предела на величину, меньшую 0,1; 0,01; 0,001.
№2. Доказать, что = - 2. Определить, на какую величину должен отличаться аргумент х от - 1, чтобы данная функция отличалась от своего предела на величину, меньшую чем 0,1; 0,03.

№3. Доказать, что не существует.
№4. Вычислить: а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е*) ;
ё) ; ж) ; з*) ;
и) ; й) ; к) ; л) ;
м) ; н) ; о) ; п) ;
р) ; с) ; т) ; у) .

Тема 6.
№1. Исследовать на непрерывность функции:
а) у = ; б) у = ; в) у = .

Тема 7.
№1. Используя определение, найти производные функций:
а) у = tg ; б) у = 3^х.
№2. Найти производные функций:
а) у = ; б) у = ; в) у = ln (3x ² + ); г) у = + ln sinx;
д) у = ln arctg ; е) у = х ^{arctg x}.
№3. Найти производную у’_x , если arcsin y = x ²y ³ – 7yx ².

№4. Найти производные п-го порядка: а) у = cos x; б) у = 2 ^х + 2 ^{– х}; в) у = .

Тема 8.
№1. Найти дифференциал функции у = .
№2. Найти приближённые значения: а) (1,015)⁵; б) tg 46⁰.

Тема 9.
№1. Вычислить пределы: а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .

Тема 10.
№1. Найти асимптоты кривой у = 2х + arctg x.
№2. Найти интервалы монотонности функции у = .
№3. Найти экстремумы функции у = х ²(1 - х ).
№4. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба кривой у = .
№5. Построить графики функций:
а) у = ; б) у = 2х - 3 ; в) у = (х – 1) е ^{1 – х}; г) у = .

Тема 11.
№1. Найти область определения функции z = и изобразить её графически.
№2. Найти частные производные функции и = tg .
№3. Вычислить приближённое значение 3,01 ^2,03 с помощью дифференциала.
№4. Найти производную функции и = arccos в точке М₀ (1; 1; 1)
по направлению вектора l = {2; 1; 2}.
№5. Найти градиент функции z = в точке М₀(0; 3) и его модуль.

Тема 12.
№1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = 3 - 6 + 4х – 8
на отрезке [- 1; 8].
№2. Из прямоугольного листа картона размером 2,4 × 1,5 м ² требуется изготовить коробку без крышки. Какова должна быть сторона квадратов, вырезанных из четырёх
углов листа, чтобы объём полученной коробки был максимальным? Чему равен объём такой коробки?
№3. Окно в загородном доме имеет форму прямоугольника, завершённого полукругом.
Периметр окна равен Р. При каком радиусе полукруга площадь окна будет наибольшей?

№4. Найти экстремумы функций:
а) z = х ² + у ² + ху – 4х – 5у; б) z = - х – 2у.

№5. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
z = ln (х + у) в области (х – 2)² + (у – 2)² ≤ 1.
№6. Найти условные экстремумы функции z = при х + у = 2.
№7. Общие издержки производства заданы функцией С = 0,5х ² + 0,6ху + 0,4у ² + 700х +
+ 600у + 2000, где х и у – количества товаров А и В. Общее количество произведён-ной продукции должно быть равно 500 ед. Сколько единиц товара А и В нужно про-
изводить, чтобы издержки на их изготовление были минимальными?

Тема 13.
№1. Найти интегралы: а) ; б) ; в) ; г) dx;
д) dx; е) ; ё) dx; ж) dx; з) dx;
и) dx; й) dx; к) dx; л) dx;
м) dx; н) dx; о) ; п) ;
р) ; с) cos ⁵ dx; т) dx; у) cos 4x dx;
ф) dx; х) ; ц) ; ч) ;
ш) dx; щ) .

Тема 14.
№1. Вычислить интегралы: а) dx; б) ; в) .

Тема 15.
№1. Вычислить интегралы или установить их расходимость: а) ; б) x dx.

Тема 16.
№1. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
а) у = х ² + 4х, у = х + 4; б) у = х sin x, у = 0, 0 ≤ х ≤ π.
№2. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограни-
ченной линиями у = 4х – х ², у = х.
№3. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограни-
ченной линиями у = х , х = - 4, у = 0.

Тема 17.
№1. Решить уравнения и, где указано начальное условие, найти частный интеграл:
а) dx = xy dy; б) (1 + е ^х) уу’ = е ^х, у (0) = 1; в) у ² + х ²у’ = хуу’;
г) (х ² – 3у ²) dx + 2xy dy = 0, у (2) = 1; д) у = х (у’ – х cos x); е) ху’ + у – е ^х = 0, у (а) = b;
ж) у’ + 2у = у²е ^х; з) (3х ²у – 4ху ²) dx + (x ³ – 4x ²y + 12y ³) dy = 0.

Тема 18.
№1. Решить задачи Коши и построить найденные интегральные кривые:
а) у’’’ = , у (1) = 2, у’ (1) = 1, у’’ (1) = 1; б) у’’ = , у (1) = , у’ (1) = 1;
в) у ³у’’ = 1, у = 1, у’ = 1.

Тема 19.
№1. Найти общие решения уравнений:
а) у’’’ – 8у = 0; б) у ⁽⁴⁾ – у = 0; в) у ⁽⁵⁾ – 6у ⁽⁴⁾ + 9у’’’ = 0; г) у ⁽⁴⁾ - 5у’’ + 4у = 0;
д) у’’ + 4у’ + 4у = хе ^2х; е) у ⁽⁴⁾ + 5у’’ + 4у = 3 sin x.

Тема 20.
№1. Исследовать ряды на сходимость: а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ; ё) ; ж) ; з) .

Тема 21.
№1. Найти области сходимости степенных рядов:
а) ; б) ; в) .

Тема 22.
№1. Разложить в ряд Тейлора функцию у = cos по степеням .
№2. Разложить функции в ряды Маклорена: а) ln ; б) .
№3. Разложить функцию в ряд Маклорена и почленным интегрированием
данного ряда написать ряд для функции arctg x.
№4. Применяя почленное интегрирование, вычислить сумму ряда .
№5. Применяя почленное дифференцирование, вычислить сумму ряда .
№6. Вычислить с точностью до 10 ^{– 3}: а) ; б) tg 9⁰.

Ответы к аудиторным заданиям.

Тема 1. №1. а) 1; б) – 1; в) ; г) 5; д) 64; е) 2; ж) 3. №2. .
№3. Указание. Подобрать число, удобное для сравнения с левой и правой частями неравенства, и лежащее между ними. №4. а) “-“; б) “-“. №5. х (- ∞; - 2) (2; + ∞). №6. min = 1,
max = 3. №7. sin α= - , tg α= ,ctg α= . №8. а) sin α + cos α;
б) 1 - sin ²2α; в) 8; г) 0; д) – 1. №9. . №10. 18. №11. . №12. . №13. .
№14. . №15. . №16. 16. №17. . №18. - .
№19. Указание. Воспользоваться определением косинуса с помощью единичной окружности.
№20. arccos . Указание. Воспользоваться определением косинуса с помощью единичной окружности и линией котангенсов.
Тема 2. №1. а) 6 – 4i; б) 5 – i; в) 2 + i. №2. а) да; б) нет; в) нет; г) нет.
№3. 5. №4. а) 1024; б) 2 ^{– 6}(1 - i );
в) ± + i, - i; г) ± 2( + i), ± 2(- 1 - i ); д) ± 1, ± + i , ± - i .
№5. а) ± i; б) 1 ± 3i; в) 2 ± i, - 2 ± i.
Тема 3. №1. а) [- 2; 2]; б) (- ∞; - ] [ ; 3) (3; + ∞);в) ;
г) (0; 1) (1; 2); д) (1; + ∞). №2. а) [- 3; + ∞); б) [0; 3]; в) (0; 1].