При уменьшении h это отношение приближается к некоторому числу, которое называется мгновенной скоростью.

Пример с движением точки по закону s (t) = 3t2 таким образом, если s (t) = 3t2, то на отрезке времени [t; t + h]

vср. = s(t+h)−s(t)/ h= (t+h)2−3 t2)/ h = 6th+3t2/h=6t+3h.

Очевидно, что при уменьшении h(h→0) значения средней скорости приближаются к значению мгновенной скорости, т. Е. v(t)= lim⁡ h→0 vср. = lim⁡ h→0(6t+3h)=6t=6⋅1=6.

В математическом анализе уже для любой функции рассматривают важную величину:

,(1) которую называют производной функции .

Производная, таким образом, играет роль скорости изменения зависимой переменной по отношению к изменению независимой переменной ; последняя теперь уже не обязана иметь физический смысл времени.

Значение производной зависит от значения аргумента , поэтому, как и в случае скорости, производная некоторой функции сама является функцией переменной .

Например, если , то

;

далее, при , стремящемся к нулю, величина, стоящая в последних скобках, стремится к нулю, а вся правая часть при этом стремится к значению . Мы нашли таким образом, что если , то .

В формуле (1) величину разности называют приращением аргумента функции и часто обозначают символом (читается: дельта икс), а разность обозначают обычно через (или, более полно через ) и называют приращением функции, соответствующим данному приращению аргумента. В этих обозначениях выражение (1) приобретает вид:

,

или .

Таким образом, значение производной функции в точке - это предел отношения приращения функции , соответствующего смещению от точки , к приращению аргумента , когда стремится к нулю.

Правила дифференцирования. Формулы для нахождения производной.

В дифференциальном исчислении выводятся также следующие общие правила дифференцирования:

(вынесение постоянного множителя);

(дифференцирование суммы и разности функций);

(дифференцирование произведения функций);

(дифференцирование частного функций).

Формулы для нахождения производной
	,
Правила дифференцирования
1. Производная суммы	3. Производная произведения
2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной	4. Производная частного

Y =(e x

+ 5 cos x)⋅3 x .

Пример 1. Найти производную функции:

Решение:

Применяем

формулу

для

производной

от

произведения

функций:

(u ⋅v)′

= u′⋅v + v′⋅u , при этом учитываем, что: (ex )′

= e x ;

(cos x)′ = −sin x .

y′ =((e x

+ 5cos x)⋅3

x )′=(e x

+ 5cos x)′ ⋅3

x +(e x +5cos x)⋅(3 x )′ =(e x −5sin x)⋅3 x +

+ (e x + 5cos x)⋅

x−

Пример 2.

Найти производную функции: y = x 2 + 5 ln x

Решение: Применяем формулу для производной от суммы функций.

y¢= (x 2 + 5 ln x)¢= (x 2 )¢+ 5(ln x)¢= 2x + 5/х.