Основные расчетные формулы. Количество тепла, которое необходимо сообщить одному молю вещества, чтобы повысить его температуру на 1 К

Общие сведения

Количество тепла, которое необходимо сообщить одному молю вещества, чтобы повысить его температуру на 1 К, называют молярной теплоемкостью.

где Q – количество тепла, подводимого к системе, Т – абсолютная температура, M – масса газа, m – масса одного моля газа.

Как показывают теория и опыт, теплоемкость зависит от условий, при которых нагревается газ, т.е. от характера термодинамического процесса.

Теплоёмкость газа при постоянном давлении (С_p) больше теплоёмкости при постоянном объёме (C_v). Это легко показать качественно на основании первого начала термодинамики: количество тепла Q, подводимого к системе, идет на увеличение внутренней энергии системы DU и на совершение этой системой работы A над внешними телами.

Q=dU+A (1)

Если газ нагревается при постоянном объеме, то работа не совершается и все подводимое тепло идет на увеличение запаса его внутренней энергии U, т.е. только на повышение температуры газа. Если же газ нагревается при постоянном давлении, он расширяется и производит работу, требующую дополнительного расхода тепла. Таким образом, для повышения температуры газа на определённую величину в изобарном процессе требуется большее количество теплоты, чем при изохорном.

Как следует из теории

C_p = C_V + R (2)

где R – универсальная газовая постоянная.

Выражение (2) носит название соотношения Р.Майера.

Отношение g=С_р/C_V входит в уравнение Пуассона, описывающее адиабатический процесс, т.е. процесс, идущий без теплообмена с окружающей средой (Q = 0):

. (3)

Здесь p₁ и V₁ - давление и объем газа в первом состоянии; p₂ и - давление и объем газа во втором состоянии .

Полную теплоизоляцию газа от внешней среды осуществить невозможно. Однако, если параметры состояния газа изменяются очень быстро, процесс можно приближенно считать адиабатическим. На практике адиабатический процесс совершается в некоторых тепловых двигателях (например, в двигателе Дизеля); распространение звука в газах (быстрое периодическое изменение давления в малых областях пространства) также протекает адиабатически.

Экспериментальная установка

Схема установки показана на рисунке 1. Установка состоит из стеклянного сосуда 1, баллона 8 с редуктором 9, со сжатым воздухом и U – образного жидкостного манометра 7 с цифровыми табло 5 и 6. Имеется также два крана – впускной кран 10, служащий для напуска газа в сосуд 1 из баллона 8 по магистрали 4, и выпускной кран 5 для соединения сосуда с атмосферой.

Вывод рабочей формулы.

Рассмотрим метод Клемана – Дезорма. Напустим воздух в стеклянный сосуд 1 (см. рисунок) т.е. откроем и закроем кран 10. При быстром сжатии температура воздуха повышается. Поэтому после прекращения напуска разность уровней жидкости в манометре будет постепенно уменьшаться, пока температура воздуха внутри сосуда не сравняется с температурой окружающего воздуха. Назовем состояние воздуха в сосуде после выравнивания температур состоянием 1. Параметры состояния 1: V₁ - объем единицы массы воздуха; t₁ - температура воздуха; р₁ - давление в сосуде.

Откроем кран 3 и, как только давление в сосуде сравняется с атмосферным, закроем его. Так как расширение происходит очень быстро, то процесс близок к адиабатическому и, следовательно, температура понизится до t₂. Объем единицы массы воздуха станет равным V₂. Воздух, оставшийся в сосуде, перейдет в состояние 2 с параметрами V₂, t₂, р₂ (р₂ –атмосферное давление). Так как температура t₂ меньше наружной, то воздух в сосуде будет постепенно нагреваться (вслед­ствие теплообмена с окружающей средой) до температуры окружающего воздуха t₁. Это нагревание происходит изохорически, так как кран закрыт. Давление воздуха в сосуде увеличивается по сравнению с атмосферным, и в манометре возникает разность уровней h₂, т.е. воздух переходит в состояние 3 с параметрами V₂, t₁, р₃.

Таким образом, мы имеем три состояния газа со следующими параметрами:

Состояние     Параметр
Объем	V1	V2	V2
Температура	t1	t2	t1
Давление	p1	p2	p3

В состояниях 1 и 3 воздух имеет одинаковую температуру, следовательно, параметры этих состояний можно связать уравнением изотермического процесса (уравнением Бойля – Мариотта):

или (4)

Переход от состояния 1 к состоянию 2 происходит адиабатически, поэтому параметры их связаны уравнением Пуассона (3):

или (5)

Из уравнений (4) и (5) получим

(6)

Прологарифмировав равенство (6), получим

, (7)

Если давление измерять жидкостным манометром, то вместо р можно писать соответствующую высоту жидкости. Тогда можно ввести обозначения

где H – атмосферное давление, h₁ – разность уровней манометра в первом состоянии, h₂ – разность уровней в третьем состоянии.

Тогда выражение (7) можно переписать в виде

Так как величины h₁ и h₂, выраженные в миллиметрах ртутного столба, очень малы по сравнению с Н и, следовательно, дроби h₁/H и (h₁ - h₂)/(H + h₂) также незначительны, для нахождения величины логарифма можно воспользоваться приближенным выражением

,

где х - малая величина.

Поскольку х² и, тем более, х³ - величины высших порядков малости, ими можно пренебречь, тогда lg(1+ x) @ x и, следовательно,

Пренебрегая величиной h₂ в сумме H + h₂, получим расчетную формулу

. (8)

Основные расчетные формулы

Формула средней квадратической погрешности косвенных измерений:

(9)

(10)

Экспериментальные данные

Таблица 1

Физ. величина	h1	Dh1	h2	Dh2	h1 - h2	gi
Ед. измерения Номер опыта	мм	мм	мм	мм	мм	-
1.	25,8		7,2		18,6	1,387
2.	25,7		7,1		18,6	1,381
3.			6,6		17,4	1,379
4.	18,8		5,8			1,446
5.	18,2		5,2			1,400
6.	16,3		5,2		11,1	1,468
7.	15,5				11,5	1,347
8.			2,4		6,6	1,363
9.	4,8		1,6		3,2	1,500
10.	3,2		0,8		2,4	1,333

Примечание. Dh₁ и Dh₂ - приборная ошибка в измерении h₁ и h₂ . Dh₁= Dh₂ = 1 мм.

Пример вычисления величины

Рассчитаем среднее значение величины :

Рассчитаем среднюю квадратическую погрешность подставим значения из Таблицы 1 в формулу (9), для удобства найдем квадраты разности приведенные в числителе формулы (9):

(1,400-1,387)²=0,000169

(1,400-1,381)²=0,000361

(1,400-1,379)²=0,000441

(1,400-1,446)²=0.002116

(1,400-1,400)²=0,0

(1,400-1,468)²=0,004624

(1,400-1,347)²=0,002809

(1,400-1,363)²=0,001369

(1,400-1,500)²=0,010

(1,400-1,333)²=0,004489

=0,05

Итоговый результат с учетом погрешности найдем с помощью формулы (10):

Вывод

Таким образом в ходе выполнения работы были изучены законы идеального газа и основные положения классической теории теплоёмкости; определен коэффициент Пуассона g - отношение теплоёмкости при постоянном давлении С_р к теплоемкости при постоянном объеме C_V методом адиабатического расширения (методом Клемана - Дезорма).