Раздел 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

I. Задания для самостоятельной работы

1. Изучить теоретический материал по теме «Предел и непрерывность функции» по вопросам:

1.1. Бесконечно малые в точке функции, их свойства.

1.2. Сравнение бесконечно малых.

1.3. Предел функции в точке.

1.4. Предел функции на бесконечности.

1.5. Свойства пределов.

1.6. Эквивалентные функции.

1.7. Методы раскрытия неопределенности при вычислении пределов.

2. Изучить теоретический материал по теме «Производная и дифференциал функции. Основные теоремы» по вопросам:

2.1. Понятие функции, дифференцируемой в точке, дифференциал функции и его геометрический смысл.

2.2. Производная функции, ее экономический смысл.

2.3. Правила нахождения производной и дифференциала.

2.4. Таблица производных элементарных функций.

2.5. Производная сложной и обратной функции.

2.6. Производные высших порядков.

2.7. Уравнение касательной к кривой в данной точке.

3. Изучить теоретический материал по теме «Приложение дифференциального исчисления ФОП» по вопросам:

3.1. Условия монотонности функции.

3.2. Экстремумы функции, необходимое условие.

3.3. Достаточные условия экстремума.

3.4. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой на отрезке.

3.5. Исследование выпуклости графика функции.

3.6. Точки перегиба.

3.7. Асимптоты графика функции.

3.8. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

4. Выполнить задания:

Задача 1. Найти пределы функций, не используя правило Лопиталя.

1) 2) 3) 4) 5)   11) 12)	6) 7) 8) 9) 10)   13) 14)

Задача 2. Вычислить производные следующих функций.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Задача 3. Вычислить производные функций, заданных неявно, и функций, заданных параметрически.

1) ; 2) ;
3) ; 4)

Задача 4.Исследовать функции на непрерывность. Указать точки разрыва и характер разрыва.

1) ; 2) ;
3) ; 4)

Задача 5.

Написать уравнения касательной и нормали в точках с абсциссами к кривым.

1)

2)

Задача 6.Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке.

1) на отрезке

2) на отрезке

Задача 7.Найти экстремумы и интервалы монотонности функций.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5)

Задача 8.Найти асимптоты следующих кривых.

1) ; 2) ; 3) ; 4)

Задача 9.Найти точки перегиба и интервалы выпуклости функций.

1) ; 2) ; 3) ; 4)

Задача 10.Построить графики функций.

1)

2)

II. Контрольные вопросы для самопроверки

1. Что такое функция?

2. Какая функция называется бесконечно малой при х ® а?

3. Какие основные свойства бесконечно-малых функций вы знаете?

4. Что такое предел функции в точке?

5. Сформулируйте основные теоремы о пределах.

6. Какая функция называется непрерывной в точке?

7. В чем заключается первый замечательный предел?

8. Какие бесконечно малые функции называются эквивалентными?

9. Что такое производная?

10. В чем заключаются общие правила дифференцирования?

11. Как найти производную сложной функции?

12. Что такое дифференциал функции?

13. Перечислите основные свойства дифференциала.

14. Как найти экстремум функции одной переменной?

15. Каковы необходимые условия существования экстремума?

16. Каковы достаточные условия существования экстремума?

17. В чем заключается критерий монотонности функции?

18. Как найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на заданном отрезке?

19. Какие точки графика функции называют точками перегиба?

20. Какая функция называется выпуклой вверх (вниз) на заданном отрезке?

21. Каковы необходимое и достаточное условия выпуклости функции?

22. Как найти точки перегиба?

23. Как выглядит график функции на отрезке, если известно, что на этом отрезке функция возрастает и выпукла вниз?