Правило Крамера решения систем линейных уравнений

Уравнение, содержащее переменные только в первой степени и не имеющие произведений переменных, называется линейным.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными и :

Определитель , составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы. Составим определитель , который получается из определителя системы заменой в нём коэффициентов при неизвестной свободными членами. Аналогично составим определитель , заменив в определителе системы коэффициенты при неизвестной свободными членами.

Если определитель системы не равен нулю, то справедливы формулы Крамера:

, .

Аналогично для решения системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными

используются формулы Крамера , , , где

, , , .

Формулы Крамера можно использовать и для решения системы n линейных уравнений с n неизвестными при условии, если определитель системы отличен от нуля.

Пример 7. Решить систему уравнений

Решение. Определитель системы отличен от нуля. Следовательно, для её решения можно применить формулы Крамера. Найдём определители и :

, .

Тогда по формулам Крамера , .

Пример 8. Решить систему уравнений

Решение. Найдём определитель системы . Так как , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам Крамера. Заменим в определителе системы столбец с коэффициентами при x столбцом свободных членов и найдём определитель . Аналогично найдём определители и : , . По формулам Крамера , , .

Вопросы для самоконтроля знаний

1) Что называется матрицей?

2) Какие бывают виды матриц?

3) Что называется размерностью матрицы?

4) Что называется порядком квадратной матрицы?

5) Какие операции над матрицами называются линейными?

6) Как выполняются операции сложения, вычитания двух матриц и умножения матрицы на число?

7) При каких условиях можно перемножить две матрицы?

8) Как выполняется операция умножения двух матриц?

9) Что называется определителем второго и определителем третьего порядков?

10) Что называется минором определителя?

11) Что называется алгебраическим дополнением определителя?

12) Какими основными свойствами обладает определитель?

13) Что называется определителем n-го порядка?

14) Что называется определителем системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными?

15) Как записываются формулы Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными?

16) Как записываются формулы Крамера для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными?