Расчеты статической ошибки εСТ регулирования 1 страница

Входной сигнал x(t)=X=const и изображением его является . В соответствии с (1.56) статическую ошибку ε_СТ следует вычислять по формуле

(1.57)

1). Пусть в (1.57) значение порядка ν астатизма САУ равно нулю: ν=0. Такая САУ называется статической. Тогда статическая ошибка ε_СТ будет равна

В статической САУ имеется статическая ошибка ε_СТ, которую можно только уменьшить путем увеличения общего коэффициента усиления К разомкнутой САУ, но обратить в ноль ее нельзя.

2). Пусть в (1.57) значение порядка ν астатизма САУ равно 1: ν=1. Такая САУ называется астатической 1-го порядка. Тогда статическая ошибка ε_СТ будет равна

В астатической САУ 1-го порядка статическая ошибка ε_СТ равна нулю, т.е САУ является абсолютно точной. Можно проверить, что при астатизме САУ выше 1, статическая ошибка регулирования всегда будет нулевой.

Расчеты скоростной ошибки εСТ регулирования

Входной сигнал x(t)=Vt и изображением его является . В соответствии с (1.56) скоростную ошибку ε_СК следует вычислять по формуле

(1.58)

1). Пусть в (1.58) значение порядка ν астатизма САУ равно нулю: ν=0. Такая САУ называется статической. Тогда скоростная ошибка ε_СК будет равна

В статической САУ скоростная ошибка ε_СК бесконечно большая и, поэтому, такая САУ неработоспособна.

2). Пусть в (1.58) значение порядка ν астатизма САУ равно 1: ν=1. Такая САУ называется астатической 1-го порядка. Тогда скоростная ошибка ε_СК будет равна

В астатической САУ 1-го порядка имеется скоростная ошибка ε_СК, которую можно только уменьшить путем увеличения общего коэффициента усиления К разомкнутой САУ, но обратить в ноль ее нельзя.

3). Пусть в (1.58) значение порядка ν астатизма САУ равно 2: ν=2. Такая САУ называется астатической 2-го порядка. Тогда скоростная ошибка ε_СК будет равна

В астатической САУ 2-го порядка скоростная ошибка ε_СК равна нулю, т.е САУ является абсолютно точной.

Выводы по расчетам статической и скоростной ошибок регулирования:

1. Ошибки регулирования могут быть уменьшены путем увеличения общего коэффициента усиления К и порядка астатизма ν разомкнутой САУ.

2. При увеличении К ошибки регулирования только уменьшаются. но не обращаются в ноль.

3. При увеличении ν САУ становится абсолютно точной - ошибка регулирования становится нулевой.

Вопросы и задания

1. Перечислите основные прямые показатели, которыми оценивается качество работы САУ.

2. Приведите вывод выражения установившейся ошибки регулирования.

3. Приведите расчеты статической ошибки регулирования для статической и астатической САУ.

4. Приведите расчеты скоростной ошибки регулирования для статической и астатической САУ.

5. Какие существуют универсальные способы уменьшения ошибок регулирования ?

1.13. Косвенные показатели качества САУ и их связь

с прямыми показателями качества. Использование

ЛАЧХ для оценки качества САУ

Невозможность получения формул для расчета динамических показателей качества (рис.1.42), а также требования задач синтеза САУ, обусловило разработки комплексных показателей качества. Косвенные показатели качества, в большинстве своем, являются частотными, которые определяются из ЧХ, АЧХ, ФЧХ и ЛАЧХ. Косвенные показатели качества должны удовлетворять следующим требованиям:

1. Косвенные показатели должны просто вычисляться или определяться из частотных характеристик разомкнутой САУ.

2. Погрешность определения значений прямых показателей качества через значения косвенных показателей качества должна быть мала.

3. Косвенные показатели должны быть приспособлены для эффективного решения задач синтеза САУ.

4. Косвенные показатели должны давать возможность просто анализировать влияние параметров настроек регуляторов САУ и характеристик любых других звеньев САУ на прямые показатели качества.

Косвенных показателей качества или их наборов разработано достаточно много. Каждый косвенный показатель качества или их набор вводятся для эффективного решения конкретных типов задач автоматического управления и, поэтому, универсальных косвенных показателей качества не существует в принципе. По сути, косвенные показатели упрощают анализ и синтез САУ, но прямые показатели качества определяются через косвенные всегда неточно.

Прежде всего рассмотрим набор косвенных показателей качества, полученных из построений Найквиста (см. тему 1.12): частоту среза ω_СР и запас по фазе γ. Частота среза ω_СР просто определяется из ЛАЧХ (рис.1.41). Запас по фазе γ рассчитывается по выражению ФЧХ φ(ω) только при одном значении частоты ω_СР: γ=φ(ω_СР ).

Основой применения косвенных показателей качества - частоты среза ω_СР и запаса по фазе γ - являются графические зависимости (рис.14.1) между косвенными и прямыми показателями качества - перерегулированием σ, временем первой установки t₁ и временем переходного процесса t_ПП.

По правой оси ординат отложены значения перерегулирования σ, в процентах от установившегося значения h_ycm (рис.1.42). По левой оси ординат записаны формулы, по которым рассчитываются t₁ и t_ПП в зависимости от частоты среза ω_СР. Если из частотных характеристик определены значения запаса по фазе γ и частоты среза ω_СР, то по графикам можно определить значения перерегулирования σ, времени первой установки t₁ и времени переходного процесса t_ПП. Например, пусть заданы значения γ=30^о и ω_СР=1,5 с^-1. Тогда, согласно приведенным на рис.1.44 построениям, получим:

σ=19 %,

Найденные значения σ, t₁ и t_ПП не являются точными. Этот факт, отражен на рис.1.44 как "размытость" графиков.

По этим значениям σ, t₁ и t_ПП можно построить примерный график переходного процесса (рис.1.45). Как принято, косвенные показатели качества выбираются такими, чтобы найденные с их помощью оценки прямых показателей качества имели бы погрешность не более 10 %. Это вполне приемлемо в инженерной практике.

Графические зависимости между косвенными γ и ω_СР и прямыми σ, t₁ и t_ПП показателями качества САУ, приведенные на рис.1.44, можно описать в виде следующих зависимостей пропорционального типа

(1.59)

(14.1)

Важная в практике эксплуатации САУ задача определения влияния типовых законов регулирования (пропорционального, интегрального и дифференциального) на прямые показатели качества чрезвычайно эффективно решается с помощью введенных косвенных показателей γ и ω_СР.

Частотный метод синтеза следящей САУ (см. тему 1.23) основан на использовании косвенного показателя качества – показателя колебательности М. Показателем колебательности М называется величина, численно равная максимуму нормированной АЧХ (рис.1.46). По значению показателя колебательности М можно оценить величину перерегулирования σ (рис.1.47).

Значение показателя колебательности М может быть найдено графически, без вычислений АЧХ, при использовании только годографа частотной характеристики W_раз(p) и, соответственно, ЛАЧХ разомкнутой САУ. Именно такие построения положены в основу расчета среднечастотного участка желаемой ЛАЧХ при упомянутом выше частотном синтезе следящей САУ.

Вопросы и задания

1. Назовите основные косвенные показатели, которыми оценивается качество работы САУ. В чем их преимущество перед прямыми показателями ?

2. Как по величинам запаса по фазе и частоте среза можно оценить прямые показатели качества – перерегулирование, время первой установки и время переходного процесса ?

3. Приведите определение показателя колебательности. Какой прямой показатель качества можно определить через показатель колебательности ?

1.14. Типовые законы регулирования. Влияние

П-регулятора на показатели качества САУ

Вводная часть

Для обеспечения при работе САУ заданных показателей качества в ее структуру вводят корректирующие устройства и регуляторы. Корректирующие устройства имеют передаточную функцию произвольного вида. Регуляторами называются устройства, передаточная функция которых имеет стандартный вид.

Существуют три базовых простейших регулятора – пропорциональный (П), интегральный (И) и дифференциальный (Д):

- П-регулятор имеет передаточную функцию ;

- И-регулятор имеет передаточную функцию ;

- Д-регулятор имеет передаточную функцию .

Из трех простейших можно получить еще четыре составных регулятора:

- ПИ-регулятор с передаточной функцией ;

- ПД-регулятор с передаточной функцией ;

- ИД-регулятор с передаточной функцией ;

- ПИД-регулятор с передаточной функцией .

На практике широко применяются регуляторы ПИ- и ПИД-типов. Регуляторы ПД- и ИД-типов применяются редко из-за их низкой помехоустойчивости (см. тему 1.17).

Простейшие регуляторы обеспечивают улучшение только некоторых показателей качества САУ, а составные обеспечивают улучшение работы САУ по комплексу показателей качества. В практике проектирования САУ и их эксплуатации крайне важно понимание того, какие показатели качества улучшает каждый из простейших регуляторов.

Будем рассматривать структурную схему САУ, в которой регулятор и объект управления включены последовательно (рис.1.48а). Все характеристики САУ с регулятором будем помечать индексом СР, а без регулятора (рис.1.48б) – индексом БР.

Основная часть: влияние П-регулятора на показатели качества САУ

а). Для САУ без регулятора имеем следующие характеристики:

Передаточную функцию .

Частотные характеристики:

- ;

- ;

- ;

- .

Пусть для объекта управления известны ЛАЧХ L_БР(ω) и ФЧХ φ_БР(ω), форма которых имеет, например, вид, приведенный на рис.15.2. Используя их, определим частоту среза ω_ср.БР и запас по фазе γ_БР.

б). Для САУ с регулятором, имеющим передаточную функцию , имеем следующие характеристики:

Передаточную функцию .

Частотные характеристики:

- ;

- ; (15.4)

- ;

-

.

г). Из расчетов (1.60) следует, что после введения в схему САУ П-регулятора ФЧХ не изменилась, так как , а ЛАЧХ сместилась по вертикали на величину . Учитывая тот факт, что с целью уменьшения ошибок регулирования необходимо повышать общий коэффициент усиления разомкнутой САУ, в данном случае равный , то необходимо применить П-регулятор с k_П>1, и поэтому, будет и ЛАЧХ L_СР(ω) сместится вверх на величину относительно L_БР(ω) (рис.1.49). Частоты сопряжения ω_С1, ω_С1 и ω_С3 участков ЛАЧХ L_БР(ω) и L_СР(ω) не изменились и не изменились наклоны участков.

г). Используя ЛАЧХ L_СР(ω) и ФЧХ φ_СР(ω), определим частоту среза ω_ср.СР и запас по фазе γ_СР.

Из построений вытекают следующие изменения косвенных показателей качества ω_ср и γ:

- частота среза ω_ср увеличится;

- запас по фазе γ уменьшится.

Прямые показатели качества σ, t₁ и t_ПП в соответствии с соотношениями (1.59) изменятся следующим образом:

- перерегулирование σ увеличится, возможна даже потеря устойчивости;

- быстродействие САУ по моменту t₁ первой установки возрастет;

- об изменении t_ПП ничего определенного сказать нельзя, так как t_ПП уменьшается при увеличении ω_ср и увеличивается при уменьшении γ.

Качественные изменения графика переходного процесса отображены на рис.1.50.

При использовании П-регулятора порядок астатизма САУ не изменяется, поэтому ни одна из существующих ненулевых ошибок регулирования не обратится в ноль, а может быть только уменьшена за счет того, что коэффициент передачи k_П регулятора будет взят большим единицы.

д). Эксплуатационные качества П-регулятора являются наилучшими из всех простейших регуляторов, так как П-регулятор не обладает повышенной чувствительностью к помехам (не ухудшает соотношение "сигнал-помеха" для проходящего через него сигнала), а его выходной сигнал не подвержен дрейфу.

Выводы по применению П-регулятора в САУ

Достоинства П-регулятора:

1. Повышает быстродействие САУ, оцениваемое временем первой установки.

2. Эксплуатационные качества являются наилучшими и, поэтому, в любом стандартном регуляторе содержится П-часть.

Недостатки П-регулятора:

1. Увеличивает перерегулирование САУ.

2. Не обращает в ноль ни одну из ошибок регулирования исходной САУ.

Вопросы и задания

1. Какие типовые регуляторы используются в САУ ? Приведите их передаточные функции.

2. Как рассчитать частотные характеристики САУ с П-регулятором, если известны частотные характеристики САУ без регулятора ?

3. Как изменяются графики ЛАЧХ, ФЧХ при введении в САУ П-регулятора и как изменяются при этом значения косвенных показателей качества САУ – частота среза и запас по фазе ?

4. Как изменяется вид переходного процесса и значения прямых показателей качества при применении П-регулятора ?

5. Назовите достоинства и недостатки П-регулятора.

1.15. Типовые законы регулирования. Влияние

И-регулятора на показатели качества САУ

Вводная часть

Вводная часть та же, что и в теме 1.14.

Основная часть: влияние И-регулятора на показатели качества САУ

а). Для САУ без регулятора имеем следующие характеристики:

Передаточную функцию .

Частотные характеристики:

- ;

- ;

- ;

- .

Пусть для объекта управления известны ЛАЧХ L_БР(ω) и ФЧХ φ_БР(ω), форма которых имеет, например, вид, приведенный на рис.1.51. Используя их, определим частоту среза ω_ср.БР и запас по фазе γ_БР.

б). Для САУ с регулятором, имеющим передаточную функцию , имеем следующие характеристики:

Передаточную функцию .

Частотные характеристики:

- ;

- ; (1.61)

- ;

-

.

в). Из расчетов (1.61) следует, что после введения в схему САУ И-регулятора ФЧХ изменилась на –90^о (рис.1.51). Частоты сопряжения ω_С1, ω_С1 и ω_С3 участков ЛАЧХ L_БР(ω) и L_СР(ω) не изменились, но наклоны всех участков L_СР(ω) изменились на –1 по сравнению с наклонами L_БР(ω), так как в выражении L_СР(ω) содержится дополнительный член . При условии ωТ_И=1 обе ЛАЧХ (L_СР(ω) и L_БР(ω)) совпадут, так как и, поэтому, согласно последнего выражения системы (1.61) будет L_СР(ω)=L_БР(ω). Совпадение двух графиков L_СР(ω) и L_БР(ω), имеющих разные наклоны участков между одноименными частотами сопряжения, является их пересечением при частоте , которая называется частотой неподвижной точки Н. Выбором постоянной времени Т_И И-регулятора можно получать желаемые значения частоты ω_Н , которые назовем "большими" и "малыми" значениями. Чтобы САУ не потеряла устойчивость, а также с целью ограничения перерегулирования, целесообразно выбирать большие значения постоянной времени Т_И и, соответственно, иметь малую частоту ω_Н неподвижной точки Н.

г). Используя ЛАЧХ L_СР(ω) и ФЧХ φ_СР(ω), определим частоту среза ω_ср.СР и запас по фазе γ_СР.

Из построений вытекают следующие изменения косвенных показателей качества ω_ср и γ:

- частота среза ω_ср уменьшится;

- запас по фазе γ уменьшится, главным образом, за счет отрицательного фазового сдвига на –90^о ФЧХ.

Прямые показатели качества σ, t₁ и t_ПП в соответствии с соотношениями (1.59) изменятся следующим образом:

- перерегулирование σ увеличится, возможна даже потеря устойчивости при значительном уменьшении постоянной времени Т_И регулятора;

- время затухания колебаний, оцениваемое через t_ПП, возрастет;

- об изменении t₁ ничего определенного сказать нельзя, так как t₁ уменьшается при уменьшении γ и увеличивается при уменьшении ω_ср.

Качественные изменения графика переходного процесса отображены на рис.1.52.

При использовании И-регулятора порядок астатизма САУ увеличивается на единицу. Если исходная САУ была статической, то с введением И-регулятора становится астатической 1-го порядка и, поэтому, статическая ошибка ε_СТ обратится в ноль, а при исходной астатической САУ 1-го порядка уже две ошибки регулирования – статическая ε_СТ и скоростная ε_СК - обратятся в ноль.

д). И-регулятор имеет серьезный эксплуатационный недостаток – дрейф нуля или самоход. Сущность дрейфа поясним на примере гидравлического сервопривода (рис.1.53), который является интегрирующим звеном, если входом считать перемещение х золотника, а выходом – перемещение у силового поршня.

Пусть левый конец штока золотника находится в нулевом положении х=0, так что закрыты оба отверстия І и ІІ (рис 1.53а), которые соединены с левой и правой полостями силового цилиндра. Тогда находящийся в цилиндре поршень неподвижен и Δу=0. Если в результате повышения температуры шток золотника удлинится (рис.1.53б), то при неподвижном левом конце штока (х=0) откроются отверстия І и ІІ. и через отверстие І в левую полость силового цилиндра поступит рабочее вещество, например, масло, с большим давлением р_Б, а правая полость через отверстие ІІ соединится с линией малого давления р_М. Силовой цилиндр будет перемещаться вправо при том, что управляющий сигнал х по прежнему остается равным нулю. Такое явление называется дрейфом или самоходом интегрирующего звена, каким является гидравлический сервопривод.

Выводы по применению И-регулятора в САУ

Достоинства И-регулятора:

1. Обращает в ноль одну из ошибок регулирования.

Недостатки И-регулятора:

1. Повышает перерегулирование, колебательность САУ. Возможна даже потеря устойчивости.

2. Снижает быстродействие, оцениваемое временем переходного процесса.

3. Подвержен дрейфу.

Вопросы и задания

1. Какие типовые регуляторы используются в САУ ? Приведите их передаточные функции.

2. Как рассчитать частотные характеристики САУ с И-регулятором, если известны частотные характеристики САУ без регулятора ?

3. Как изменяются графики ЛАЧХ, ФЧХ при введении в САУ И-регулятора и как изменяются при этом значения косвенных показателей качества САУ – частота среза и запас по фазе ?

4. Как изменяется вид переходного процесса и значения прямых показателей качества при применении И-регулятора ?

5. Назовите достоинства и недостатки И-регулятора.

1.16. Типовые законы регулирования. Влияние

Д-регулятора на показатели качества САУ

Вводная часть

Вводная часть та же, что и в теме 1.14.

Основная часть: влияние Д-регулятора на показатели качества САУ

а).Для САУ без регулятора имеем следующие характеристики:

Передаточную функцию .

Частотные характеристики:

- ;

- ;

- ;

- .

Пусть для объекта управления известны ЛАЧХ L_БР(ω) и ФЧХ φ_БР(ω), форма которых имеет, например, вид, приведенный на рис.1.54. Используя их, определим частоту среза ω_ср.БР и запас по фазе γ_БР.

б). Для САУ с регулятором, имеющим передаточную функцию , имеем следующие характеристики:

Передаточную функцию .

Частотные характеристики:

- ;

- ; (1.62)

- ;

-

.

в). Из расчетов (1.62) следует, что после введения в схему САУ Д-регулятора ФЧХ изменилась на +90^о (рис.1.54), так как . Частоты сопряжения ω_С1, ω_С1 и ω_С3 участков ЛАЧХ L_БР(ω) и L_СР(ω) не изменились, но наклоны всех участков L_СР(ω) изменились на +1 по сравнению с наклонами L_БР(ω), так как в выражении L_СР(ω) содержится дополнительный член . При условии ωТ_Д=1 обе ЛАЧХ (L_СР(ω) и L_БР(ω)) совпадут, так как и, поэтому, согласно последнего выражения системы (1.62) будет L_СР(ω)=L_БР(ω). Совпадение двух графиков L_СР(ω) и L_БР(ω), имеющих разные наклоны участков между одноименными частотами сопряжения, является их пересечением при частоте , которая называется частотой неподвижной точки Н. Выбором постоянной времени Т_Д Д-регулятора можно получать желаемые значения частоты ω_Н , которые назовем "большими" и "малыми" значениями. Чтобы САУ была не слишком чувствительна к помехам, а также с целью ограничения перерегулирования, целесообразно выбирать малые значения постоянной времени Т_Д и, соответственно, иметь большую частоту ω_Н неподвижной точки Н.