Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница

Таблица 2. Дискриптивные статистики

y x1 x2
Размер выборки, n 10 10 10
Средняя арифметическая 74,3 12,3 4,8
Среднее квадратическое (стандартное) отклонение, S 8,54 3,37 1,55
Коэффициент вариации, V 0,12 0,27 0,32
Коэффициент асимметрии, As 0,35 0,31 0,19
Коэффициент эксцесса, Ex -0,32 -0,91 -1,28

Сравнивая значения средних величин и стандартных отклонений, находим коэффициент вариации, значения которого свидетельствуют о том, что уровень варьирования признаков находится в допустимых пределах (< 0,35). Значения коэффициентов асимметрии и эксцесса указывают на отсутствие значимой скошенности и остро-(плоско-) вершинности фактического распределения признаков по сравнению с их нормальным распределением.[1] По результатам анализа дискриптивных статистик можно сделать вывод, что совокупность признаков – однородна и для её изучения можно использовать метод наименьших квадратов (МНК) и вероятностные методы оценки статистических гипотез.

Парный коэффициент корреляции - это линейный коэффициент корреляции, характеризующий степень тесноты линейной связи между результативным и факторным признаками. Методика его расчета и интерпретация была изложена в пункте 3 задачи 1. При выполнении задания необходимо выписать матрицу парных коэффициентов корреляции и сделать выводы о наличии (отсутствии) в построенной модели мультиколлинеарности факторов.

Значения линейных коэффициентов парной корреляции представлены в матрице парных коэффициентов (таблица 3). Они определяют тесноту парных зависимостей между анализируемыми переменными.

Таблица 3.Парные коэффициенты линейной корреляции Пирсона

Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru
Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru 1,0000 (0,0) 0,9393 (0,0001) 0,4167 (0,2310)
Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru 0,9393 (0,0001) 1,0000 (0,0) 0,4174 (0,2301)
Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru 0,4167 (0,2310) 0,4174 (0,2301) 1,0000 (0,0)
В скобках: P ( Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru

Коэффициент корреляции между Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru и Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru свидетельствует о значительной и статистически существенной линейной связи между объемом продаж моющего средства и расходами на радио и теле рекламу. Увеличение расходов на рекламу поднимает объем продаж. Связь между Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru и Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru не является статистически значимой. Кроме того, степень тесноты связи между Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru и Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru выше, чем между Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru и Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru . Таким образом, можно сделать предварительное заключение, что расходы на демонстрацию моющего средства в магазинах, существенно не влияют на рост объема продаж нового моющего средства.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результативным и факторным признаками при фиксированном воздействии других факторов, включенных в уравнение регрессии. Их можно определить, используя парные коэффициенты корреляции по следующим рабочим формулам:

Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru ,

где

Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru - частный коэффициент корреляции между результативным и первым факторным признаками при фиксированном воздействии второго факторного признака,

Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru - частный коэффициент корреляции между результативным и вторым факторным признаками при фиксированном воздействии первого факторного признака,

Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru , Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru , Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru - парные коэффициенты корреляции.

Интерпретируйте полученные значения частных коэффициентов корреляции и поясните причины различий между значениями частных и парных коэффициентов корреляции.

Приведенные в таблице 4 линейные коэффициенты частной корреляции оценивают тесноту связи значений двух переменных, исключая влияние всех других переменных, представленных в уравнении множественной регрессии.

Таблица 4. Коэффициенты частной корреляции

Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru
Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru 1,0000 (0,0) 0,9265 (0,0003) 0,0790 (0,8399)
Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru 0,9265 (0,0003) 1,0000 (0,0) 0,0834 (0,8311)
Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru 0,0790 (0,8399) 0,0834 (0,8311) 1,0000 (0,0)
В скобках: P ( Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru

Коэффициенты частной корреляции дают более точную характеристику тесноты зависимости двух признаков, чем коэффициенты парной корреляции, так как «очищают» парную зависимость от взаимодействия данной пары переменных с другими переменными, представленными в модели. Наиболее тесно связаны Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru и Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru , Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru . Другие взаимосвязи существенно слабее. При сравнении коэффициентов парной и частной корреляции видно, что из-за влияния межфакторной зависимости между Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru и Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru происходит некоторое завышение оценки тесноты связи между переменными.

По этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.

Пункт 2. Расчет параметров линейного уравнения множественной регрессии осуществляется обычным МНК путем решения системы нормальных уравнений. Для уравнения с двумя объясняющими переменными система примет вид:

Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru

Поясните экономический смысл коэффициентов регрессии Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru и Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru : это показатели, характеризующие абсолютное (в натуральных единицах измерения) изменение результативного признака при изменении факторного признака на единицу своего измерения при фиксированном влиянии второго фактора.

Результаты построения уравнения множественной регрессии представлены в таблице 5.

Таблица 5. Результаты построения модели множественной регрессии

Независимые переменные Коэффициенты Стандартные ошибки коэффициентов t - статистики Вероятность случайного значения
Константа 44,61 4,58 9,73 0,0001
x1 2,35 0,36 6,51 0,0003
x2 0,16 0,78 0,21 0,8399
R2 = 0,88  
R2adj=0,85  
F = 26,402 Prob > F = 0,0005  
             

Уравнение имеет вид:

y = 44,61 + 2,35x1 + 0,16x2

Значения стандартной ошибки параметров представлены в графе 3 таблицы 5: Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru Они показывают, какое значение данной характеристики сформировалось под влиянием случайных факторов. Их значения используются для расчета t-критерия Стьюдента (графа 4)

Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru 9,73; Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru =6,51; Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru =0,21.

В нашем примере параметр Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru является статистически значимым, а Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru - нет.[2] На это же указывает значение вероятности случайных значений параметров регрессии (графа 5), если вероятность меньше принятого за стандарт уровня a = 0,05, то делается вывод о неслучайной природе данного значения параметра, то есть о том, что он статистически значим и надежен. В противном случае принимается нулевая гипотеза (H0) о случайной природе значения коэффициентов уравнения. В нашем примере для переменной х2 a > 0,05 (aх2=0,84), что свидетельствует о малой информативности (значимости) этой переменной.

Интерпретация коэффициентов регрессии следующая:

а - оценивает агрегированное влияние прочих (кроме учтенных в модели х1 и х2) факторов на результат y;

Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru и Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru указывают, что с увеличением х1 и х2 на единицу их значений объем продаж нового моющего средства увеличивается, соответственно, на 2,35 и 0,16 условных денежных единиц.

Пункт 3 связан с расчетом и анализом относительных показателей силы связи в уравнении множественной регрессии - частных коэффициентов эластичности. Частные коэффициенты эластичности рассчитывают, как правило, для средних значений факторного и результативного признака:

Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru , Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru

где Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru - коэффициент условно-чистой регрессии при j-м факторе,

Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru - среднее значение j-го факторного признака;

Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru - среднее значение результативного признака,

m - число факторных признаков в уравнении множественной регрессии.

Зачастую интерпретация результатов регрессии более наглядна, если произведен расчет частных коэффициентов эластичности. Частные коэффициенты эластичности Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru показывают, на сколько процентов от значения своей средней Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru изменяется результат при изменении фактора xj на 1% от своей средней Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru и при фиксированном воздействии на y прочих факторов, включенных в уравнение регрессии. Здесь

Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru

Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru

По значениям частных коэффициентов эластичности можно сделать вывод о более сильном влиянии на результат у (объем продаж моющего средства) рекламной компании по радио и телевидению, нежели демонстрации товара в магазинах.

Пункт 4 предполагает оценку совокупного влияния факторных переменных на результативный признак.

Оцените долю вариации результативного признака, объясненную совокупным влиянием факторных признаков, рассчитав совокупный (нескорректированный) множественный коэффициент детерминации:

Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru ,

где SSR= Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru - факторная, или объясненная моделью регрессии, сумма квадратов,

SST = Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru - общая сумма квадратов,

Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru - остаточная, или не объясненная моделью регрессии сумма квадратов.

В нашем примере эта доля составляет 88,29% и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов. Иными словами, на весьма тесную связь факторов с результатом.

Скорректированный множественный коэффициент детерминации

Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru

(где n – число наблюдений, m – число объясняющих переменных) определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов в модели и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на весьма высокую детерминированность результата y в модели факторами x1 и x2.

Пункт 5 Охарактеризуйте степень тесноты связи между результативным признаком и всеми факторными, включенными в уравнение регрессии, определив множественный коэффициент корреляции:

Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru .

Задача 3 посвящена теме «Временные ряды в эконометрических исследованиях».

Рассмотрим методику решения задачи на практическом примере:

Имеются следующие данные о расходах семьи на товар "А" в 1994-1999 гг.:

Годы 1994 1995 1996 1997 1998 1999
Расходы на товар "А", руб. 30 35 39 44 50 53

Приступая к выполнению пункта 1, изучите вопрос об измерении автокорреляции уровней временного ряда.

Коэффициент автокорреляции первого порядка есть линейный коэффициент корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями того же ряда сдвинутыми на один момент времени.

Его расчет производится по стандартным формулам для расчета линейного коэффициента корреляции:

Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru ,

где yt - 1 - уровни, сдвинутые по отношению к уровням исходного ряда на 1 год.

Заметим, что расчет должен быть осуществлен для пар наблюдений ( Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru , Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru , причем общее число пар наблюдений, по которым производится расчет, равно (n - 1). Близкое по абсолютной величине к единице значение коэффициента автокорреляции первого порядка свидетельствует о высокой тесноте связи между текущими и непосредственно предшествующими уровнями временного ряда или, иными словами, о наличии во временном ряде тенденции.

В соответствии с условиями нашей задачи проведем расчеты

yt yt+1 ytyt+1 yt2 yt+12
1994 30 35 1050 900 1225
1995 35 39 1365 1225 1521
1996 39 44 1716 1521 1936
1997 44 50 2200 1936 2500
1998 50 53 2650 2500 2809
Суммы 198 221 8981 8082 9991

Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru

Коэффициент автокорреляции первого порядка равен 0,9896, что свидетельствует о тесной прямой связи между текущими и непосредственно предшествующими уровнями временного ряда.

В пункте 2 требуется определить функциональную форму и найти параметры уравнения, наилучшим образом описывающего тенденцию (тренд). Для определения вида тренда рассчитайте следующие показатели динамики:

а)цепные абсолютные приросты: Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru ;

б)абсолютные ускорения уровней ряда, или вторые разности: Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru ;

в)цепные коэффициенты роста: Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru .

Проанализируйте полученные результаты.

Если приблизительно одинаковы цепные абсолютные приросты, то для описания тенденции временного ряда следует выбрать линейный тренд: Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru .

Если примерно постоянны абсолютные ускорения уровней ряда, следует выбрать параболу второго порядка: Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru .

Если примерно одинаковы цепные коэффициенты роста, моделирование тенденции следует проводить с использованием экспоненциальной кривой: Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru .

Для расчета параметров уравнения тренда примените обычный МНК. В случае нелинейных зависимостей проведите линеаризацию исходной функции.

Дайте интерпретацию параметров тренда.

Коэффициент регрессии b в линейном тренде есть средний за период цепной абсолютный прирост уровней ряда.

В экспоненциальной функции величина Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru представляет собой средний за период цепной темп роста уровней ряда.

Начальный уровень ряда в момент (период времени) t = 0 в линейном тренде выражается параметром а, в экспоненциальном тренде - величиной Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru .

Для нашей задачи проведем следующие расчеты:.

yt Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru
1994 30
1995 35 5 1,1667
1996 39 4 -1 1,1143
1997 44 5 1 1,1282
1998 50 6 1 1,1364
1999 53 3 -3 1,0600

Очевидно, в данном случае для описания тренда можно выбрать линейную модель: Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru .

Для расчета параметров уравнения тренда применим обычный МНК.

Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru

Если периоды или моменты времени пронумеровать так, чтобы получилось St =0, то вышеприведенные алгоритмы существенно упростятся и превратятся в

Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru

Расчеты проведем в следующей рабочей таблице.

t yt t2 ytt
1994 -2,5 30 6,25 -75
1995 -1,5 35 2,25 -52,5
1996 -0,5 39 0,25 -19,5
1997 0,5 44 0,25 22
1998 1,5 50 2,25 75
1999 2,5 53 6,25 132,5
Суммы 0,00 251 17,5 82,5

Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru

Таким образом, трендовое линейное уравнение регрессии имеет вид:

Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru .

Дадим интерпретацию параметров тренда.

Коэффициент регрессии (b) в линейном тренде показывает средний за период цепной абсолютный прирост уровней ряда. В нашем примере b = 4,7143, следовательно расходы на товар "А" в среднем за год увеличиваются на 4,7143 руб. Свободный член (а) в линейном тренде выражает начальный уровень ряда в момент (период времени) t = 0. В нашей нумерации t = 0 приходится на период времени между 1996 и 1997 гг., что несколько затрудняет его интерпретацию. В нашем случае а = 41,8333 руб. – это расходы семьи на товар "А" за вторую половину 1996 и первую половину 1997 гг.

В случае нелинейных зависимостей необходимо провести линеаризацию исходной функции.

Пункт 3. Точечный прогноз по уравнению тренда - это расчетное значение переменной Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru , полученное путем подстановки в уравнение тренда соответствующих значений t. Интервальный прогноз рассчитывается в соответствии с методикой, изложенной для уравнения парной линейной регрессии (см. указания к пункту 5 задачи 1).

Дадим прогноз расходов на товар "А" на 2000 год.

В нашей нумерации 2000 год соответствует моменту времени t = 3,5. Отсюда,

Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru

Следовательно, точечная оценка расходов семьи на товар "А" на 2000 год составляет 58,3333 руб.

Определим границы доверительного интервала, в котором с заданной надежностью γ будут находится расходы семьи на товар "А" в 2000 году. Общепринятый в экономике уровень надежности γ = 1 - α = 1 - 0,05 = 0,95.

Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru ,

где Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru -прогноз значения переменной y на момент (период) времени t;

Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru - точечная оценка значения переменной y на момент (период) времени t;

Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru - предельная ошибка прогноза.

Для того, чтобы получить интервальную оценку, определим величину предельной ошибки прогноза.

Она рассчитывается по формуле:

Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru ,

где Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru - табличное значение t - критерия Стьюдента для уровня значимости α и числа степеней свободы (k = n - 2);

Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru - стандартная ошибка точечного прогноза, которая, в свою очередь, рассчитывается по формуле:

Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru ,

где Указания к выполнению контрольных заданий 2 страница - student2.ru - длина периода упреждения (срок прогноза).

Наши рекомендации