Понятие матрицы. Действия над матрицами
Учреждение образования «Белорусская государственная
Сельскохозяйственная академия»
Кафедра высшей математики
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Конспект лекции для студентов бухгалтерского факультета
заочной формы получения образования (НИСПО)
Горки, 2013
Элементы линейной алгебры
Понятие матрицы. Действия над матрицами
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов. Числа таблицы называются элементами матрицы. Обозначается матрица
.
Запись означает, что элемент находится на пересечении строки с номером i и столбца с номером j.
Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей- столбцом, а состоящая из одной строки – матрицей- строкой.
Запись означает, что матрица А имеет m строк и n столбцов, а запись называется размерностью матрицы. Если при этом m=n, то матрица называется квадратной. Число строк (столбцов) квадратной матрицы называется её порядком. У квадратной матрицы элементы , , …, образуют главную диагональ.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной. Если все элементы главной диагонали диагональной матрицы равны единице, то матрица называется единичной и обозначается Е. Если у квадратной матрицы поменять местами строки и соответствующие столбцы, то полученная матрица называется транспонированной.
Умножение матрицы на число, сложение и вычитание матриц называются линейными операциями над матрицами.
При умножении матрицы на число на это число умножается каждый элемент матрицы:
= .
При сложении и вычитании матриц их размерность должна быть одинаковой. Суммой матриц
и
называется матрица .
Обозначается сумма матриц С=А+В.
Разностью матриц А и В называется матрица
.
Обозначается разность матриц С=А-В.
Таким образом, при сложении матриц их одноименные элементы складываются, а при вычитании – вычитаются.
Наиболее сложной операцией является умножение матрицы на матрицу. Пусть даны матрицы
и .
Размерность матрицы А равна , а матрицы В .
Произведением матриц А и В называется такая матрица С, элемент которой равен сумме произведений элементов i - й строки матрицы А на соответствующие элементы j - го столбца матрицы В. Обозначается произведение (или ). Следует иметь в виду, что умножение двух матриц возможно лишь в том случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Поэтому в общем случае . Размерность же матрицы С при умножении матриц А и В будет равна .
Пример 1. Даны матрицы и .
Найти матрицу 2А-3В.
Решение. .
Пример 2. Даны матрицы и . Найти произведение матриц и .
Решение. Так как размерность матрицы А равна , а размерность матрицы В равна , то в результате умножения матрицы А на матрицу В получится матрица размерности :
.
Результатом умножения матрицы В на матрицу А будет матрица размерности :
.
Из этого примера видно, что .
Пример 3. Найти , если .
Решение.
.