Показательные уравнения
Функция вида , где а – положительное число, не равное единице, называется показательной. Свойства показательной функции:
1)область определения – множество всех действительных чисел,
2) область значений – множество всех положительных чисел,
3) если
4) если
5) тогда и только тогда, когда
6) , если
График показательной функции приведен на рис. 4.1.
|
|
|
|
Рис. 4.1. График показательной функции.
Уравнения, содержащие переменную в показателе степени, называются показательными.
Уравнения вида где
равносильны уравнению Если то решением являются все значения х, принадлежащие одновременно областям определения функций f (x) и g (x). Аналогично в случае а = 0,
Пример 1. Решить уравнение:
Решение. поэтому уравнение можно записать в виде:
Ответ: x = 6.
Уравнения вида можно, заменив свести к квадратному (или линейному при А = 0) уравнению:
Пример 2. Решить уравнение :
Решение.
Обозначим тогда
По теореме Виета
не удовлетворяет условию поэтому у = 25.
откуда х = 2.
Ответ: х = 2.
Пример 3. Решить уравнение:
Решение.
Обозначим тогда
По теореме Виета
Если то
если то
Ответ: или
Уравнения вида делением на b2х приводят к виду:
а затем заменой сводят к квадратному уравнению
Пример 4. Решить уравнение :
Решение .
Разделим почленно уравнение на 92х:
Обозначим тогда
,
Если y = 1, то если
то
Ответ: или
Пример 5. Решить уравнение:
Решение. Поскольку то . Следовательно, если обозначить то исходное уравнение примет вид .
Уравнение имеет два корня
и .
При , получим уравнение,
или , откуда , х = 4.
Если ,то получим уравнение,
Ответ: х = 4, х = –4.
Пример 6. Решите уравнение:
Решение. Примеры аналогичного типа предлагаются в вариантах ЕГЭ в разделе С. Поэтому решение должно быть достаточно подробным с указанием всех переходных моментов. Перепишем уравнение в виде
преобразуем и введем замену и Теперь уравнение примет вид
Такие уравнения называются однородными и всегда имеют нулевые решения причём если то и .
В силу замены, которую мы произвели, и поэтому можно почленно разделить уравнение либо на а2, либо на b2. Разделим на b2 и получим: .
Пусть , тогда , , .
Если , то , и ,
откуда , , , .
Если ,то , и
или , откуда
Ответ:
Замечание. В вариантах ЕГЭ иногда требуют пояснить переход от равенства к равенству непрерывностью и монотонностью показательной функции.
Пример 7. Решить уравнение:
Решение. Выражение в правой части может принимать значения либо 1, либо (–1). Левая часть уравнения представляет собой квадрат некоторого действительного числа, поэтому не может принимать отрицательных значений. Следовательно, и правая часть уравнения неотрицательна.
В силу этих рассуждений откуда Обозначим тогда или
Значение не удовлетворяет условию поэтому
Заменив получим квадратное уравнение
Если то
Если , то
Ответ: