Показательные уравнения

Функция вида Показательные уравнения - student2.ru , где а – положительное число, не равное единице, называется показательной. Свойства показательной функции:

1)область определения – множество всех действительных чисел, Показательные уравнения - student2.ru

2) область значений – множество всех положительных чисел, Показательные уравнения - student2.ru

3) если Показательные уравнения - student2.ru

4) если Показательные уравнения - student2.ru

5) Показательные уравнения - student2.ru тогда и только тогда, когда Показательные уравнения - student2.ru

6) Показательные уравнения - student2.ru , если Показательные уравнения - student2.ru

График показательной функции приведен на рис. 4.1.

X
Y
Показательные уравнения - student2.ru
Показательные уравнения - student2.ru
Показательные уравнения - student2.ru

Рис. 4.1. График показательной функции.

Уравнения, содержащие переменную в показателе степени, называются показательными.

Уравнения вида Показательные уравнения - student2.ru где Показательные уравнения - student2.ru

равносильны уравнению Показательные уравнения - student2.ru Если Показательные уравнения - student2.ru то решением являются все значения х, принадлежащие одновременно областям определения функций f (x) и g (x). Аналогично в случае а = 0, Показательные уравнения - student2.ru

Пример 1. Решить уравнение: Показательные уравнения - student2.ru

Решение. Показательные уравнения - student2.ru поэтому урав­нение можно записать в виде:

Показательные уравнения - student2.ru

Показательные уравнения - student2.ru

Показательные уравнения - student2.ru

Ответ: x = 6.

Уравнения вида Показательные уравнения - student2.ru можно, заменив Показательные уравнения - student2.ru свести к квадратному (или линейному при А = 0) уравнению: Показательные уравнения - student2.ru

Пример 2. Решить уравнение : Показательные уравнения - student2.ru

Решение. Показательные уравнения - student2.ru

Обозначим Показательные уравнения - student2.ru тогда

Показательные уравнения - student2.ru Показательные уравнения - student2.ru Показательные уравнения - student2.ru

По теореме Виета Показательные уравнения - student2.ru

Показательные уравнения - student2.ru не удовлетворяет условию Показательные уравнения - student2.ru поэтому у = 25.

Показательные уравнения - student2.ru откуда х = 2.

Ответ: х = 2.

Пример 3. Решить уравнение: Показательные уравнения - student2.ru

Решение. Показательные уравнения - student2.ru

Обозначим Показательные уравнения - student2.ru тогда Показательные уравнения - student2.ru

По теореме Виета Показательные уравнения - student2.ru

Если Показательные уравнения - student2.ru то Показательные уравнения - student2.ru

если Показательные уравнения - student2.ru то Показательные уравнения - student2.ru

Ответ: Показательные уравнения - student2.ru или Показательные уравнения - student2.ru

Уравнения вида Показательные уравнения - student2.ru делением на b приводят к виду:

Показательные уравнения - student2.ru а затем заменой Показательные уравнения - student2.ru сводят к квадратному уравнению Показательные уравнения - student2.ru

Пример 4. Решить уравнение :

Показательные уравнения - student2.ru

Решение . Показательные уравнения - student2.ru

Разделим почленно уравнение на 9:

Показательные уравнения - student2.ru

Обозначим Показательные уравнения - student2.ru тогда

Показательные уравнения - student2.ru , Показательные уравнения - student2.ru

Показательные уравнения - student2.ru

Если y = 1, то Показательные уравнения - student2.ru если Показательные уравнения - student2.ru

то Показательные уравнения - student2.ru

Ответ: Показательные уравнения - student2.ru или Показательные уравнения - student2.ru

Пример 5. Решить уравнение:

Показательные уравнения - student2.ru

Решение. Поскольку Показательные уравнения - student2.ru то Показательные уравнения - student2.ru . Следовательно, если обозначить Показательные уравнения - student2.ru то исходное уравнение примет вид Показательные уравнения - student2.ru .

Уравнение Показательные уравнения - student2.ru имеет два корня

Показательные уравнения - student2.ru и Показательные уравнения - student2.ru .

При Показательные уравнения - student2.ru , получим уравнение,

Показательные уравнения - student2.ru

или Показательные уравнения - student2.ru , откуда Показательные уравнения - student2.ru , х = 4.

Если Показательные уравнения - student2.ru ,то получим уравнение,

Показательные уравнения - student2.ru

Показательные уравнения - student2.ru Показательные уравнения - student2.ru

Ответ: х = 4, х = –4.

Пример 6. Решите уравнение:

Показательные уравнения - student2.ru

Решение. Примеры аналогичного типа предлагаются в вариантах ЕГЭ в разделе С. Поэтому решение должно быть достаточно подробным с указанием всех переходных моментов. Перепишем уравнение в виде

Показательные уравнения - student2.ru преобразуем Показательные уравнения - student2.ru и введем замену Показательные уравнения - student2.ru и Показательные уравнения - student2.ru Теперь уравнение примет вид Показательные уравнения - student2.ru

Такие уравнения называются однородными и всегда имеют нулевые решения Показательные уравнения - student2.ru причём если Показательные уравнения - student2.ru то и Показательные уравнения - student2.ru .

В силу замены, которую мы произвели, Показательные уравнения - student2.ru и Показательные уравнения - student2.ru поэтому можно почленно разделить уравнение либо на а2, либо на b2. Разделим на b2 и получим: Показательные уравнения - student2.ru .

Пусть Показательные уравнения - student2.ru , тогда Показательные уравнения - student2.ru , Показательные уравнения - student2.ru , Показательные уравнения - student2.ru .

Если Показательные уравнения - student2.ru , то Показательные уравнения - student2.ru , Показательные уравнения - student2.ru и Показательные уравнения - student2.ru ,

откуда Показательные уравнения - student2.ru , Показательные уравнения - student2.ru , Показательные уравнения - student2.ru , Показательные уравнения - student2.ru .

Если Показательные уравнения - student2.ru ,то Показательные уравнения - student2.ru , Показательные уравнения - student2.ru и Показательные уравнения - student2.ru

или Показательные уравнения - student2.ru , откуда Показательные уравнения - student2.ru

Показательные уравнения - student2.ru

Ответ: Показательные уравнения - student2.ru

Замечание. В вариантах ЕГЭ иногда требуют пояснить переход от равенства Показательные уравнения - student2.ru к равенству Показательные уравнения - student2.ru непрерывностью и монотонностью показательной функции.

Пример 7. Решить уравнение:

Показательные уравнения - student2.ru

Решение. Выражение в правой части Показательные уравнения - student2.ru может принимать значения либо 1, либо (–1). Левая часть уравнения представляет собой квадрат некоторого действительного числа, поэтому не может принимать отрицательных значений. Следовательно, и правая часть уравнения неотрицательна.

В силу этих рассуждений Показательные уравнения - student2.ru откуда Показательные уравнения - student2.ru Обозначим Показательные уравнения - student2.ru тогда Показательные уравнения - student2.ru или Показательные уравнения - student2.ru

Показательные уравнения - student2.ru

Значение Показательные уравнения - student2.ru не удовлетворяет условию Показательные уравнения - student2.ru поэтому Показательные уравнения - student2.ru

Заменив Показательные уравнения - student2.ru получим квадратное уравнение Показательные уравнения - student2.ru

Если Показательные уравнения - student2.ru то Показательные уравнения - student2.ru

Если Показательные уравнения - student2.ru , то Показательные уравнения - student2.ru Показательные уравнения - student2.ru

Ответ: Показательные уравнения - student2.ru

Наши рекомендации