Степень с произвольным действительным показателем
Степени и корни
5.1 Корень ой степени
Для всякого числа a Î R определена степень с натуральным показателем an, n Î N.
Число b Î R называется корнем n-й степени, n Î N, n ³ 2, из числа а, если , обозначают
.
Нахождение корня n-й степени из данного числа а называют извлечением корня n-й степени из числа а. Число а, из которого извлекается корень n-й степени, называют подкоренным выражением, а число n – показателем корня.
Если , то
определен для всех a Î R и принимает любые действительные значения.
Если , то
определен для всех a ³ 0 (aÎR). В курсе элементарной математики рассматривают арифметическое значение корня, т.е. число
.
Свойства корней
Пусть a, b Î R. Тогда:
1)
2)
3)
4)
5)
6) , (где a ³ 0 в случае
);
7) , (где
в случае
);
8) (где
в случае
).
Пример 1.Вычислить .
Решение. Способ 1. Выделим полные квадраты подкоренных выражений:
;
.
Тогда получим
.
Способ 2. Обозначим вычисляемое выражение через a, т.е.
. Заметим, что
.
Возведем обе части полученного равенства в квадрат:
Тогда .
Поскольку исходное выражение положительно, в ответе получаем a = 4.
Пример 2. Упростить: .
Решение. Способ 1. Используем формулы квадрата разности и суммы, а также свойства корней. Получаем
.
Способ 2. При упрощении иррациональных выражений часто бывает эффективным метод рационализации, основанный на замене переменных.
Введем такую замену переменных, чтобы корни извлеклись: .
Заданное выражение приобретает вид
.
Упрощаем его, используя формулы сокращенного умножения:
.
Возвращаясь к старым переменным, приходим к ответу .
Пример 3. Избавиться от иррациональности в знаменателе:
1) ; 2)
; 3)
.
Решение.
1. Умножим числитель и знаменатель дважды на сопряженные выражения и воспользуемся формулой разности квадратов:
2. Домножим числитель и знаменатель на неполный квадрат разности и воспользуемся формулой суммы кубов:
.
3. Умножим числитель и знаменатель дважды на сопряженные выражения:
Задания
I уровень
1.1. Вычислите значения корней:
1) ; 2)
; 3)
;
4) ; 5)
; 6)
;
7) ; 8)
; 9)
;
10) ; 11)
; 12)
;
13) ; 14)
; 15)
.
1.2. Сравните числа:
1) и
; 2)
и
;
3) и
; 4)
и
;
5) и
; 6)
и
;
7) и
; 8)
и 1;
9) и
; 10)
и
;
11) и
; 12)
и
;
13) и
; 14)
и
.
1.3. Упростите выражение:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ; 6)
;
7) ; 8)
;
9) ; 10)
;
11) ;
12) ; 13)
;
14) ; 15)
.
1.4. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
1) ; 2)
; 3)
;
4) ; 5)
; 6)
;
7) ; 8)
; 9)
;
10) ; 11)
;
II уровень
2.1. Упростите выражение:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5)
6) ;
7) ;
8) ;
9) .
2.2. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
1) ; 2)
;
3) ; 4)
;
5) ; 6)
;
7) ; 8)
;
9) ; 10)
;
11) ; 12)
;
13) .
2.3. Упростите выражение:
1) ;
2) .
III уровень
3.1. Упростите выражение:
1) ; 2)
;
3) ; 4)
;
5) ; 6)
;
7) ;
8) .
3.2. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
1) ; 2)
;
3) ; 4)
;
5) ; 6)
;
7) ; 8)
;
9) ; 10)
;
11) ; 12)
.
Степень с произвольным действительным показателем
Во множестве R определена степень ax с действительным показателем.
В выражении ax число а называют основанием степени, число x показателем степени. Нахождение значения степени называют возведением в степень.
Степень с действительным показателем
Пусть a Î R, тогда:
1) , n Î N;
2) ;
3) ;
4) и a ³ 0, если
;
5) и если
, то a ³ 0
6) и если
, то
;
7) , где
, определяется следующим образом.
Пусть иррациональное число k записано в виде десятичной дроби, – последовательность его десятичных приближений с недостатком (или с избытком). Для любого действительного числа а > 0 степень
с иррациональным показателем определяется равенством
.
На множестве R не определены отрицательная и нулевая степень числа 0, а также , если
.
Свойства степеней
Допустим, что a, b, c Î R и это такие числа, что все степени имеют смысл. Тогда:
1) ;
2) ;
3) ,
4) ;
5) ;
6) если a > 1 и x < y, то ,
если 0 < a < 1 и x < y, то ;
7) если 0 < a < b и x >0, то ,
если 0 < a < b и x < 0, то .
Пример 1. Вычислить .
Решение. Используем свойства степеней
Пришли к ответу: .
Задания
1.1. Представьте в виде степени с рациональным показателем:
1) ; 2)
;
3) ; 4)
;
5) ; 6)
;
7) ; 8)
;
9) ; 10)
;
11) ; 12)
;
13) ; 14)
.
1.2. Выполните действия:
1) ; 2)
;
3) ; 4)
;
5) ; 6)
;
7) ;
8) ; 9)
.
1.3. Найдите из уравнения:
1) ; 2)
;
3) ; 4)
;
5) ; 6)
.
1.4. Упростите выражение:
1) .
II уровень
2.1. Вычислите:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) .
2.2. Упростите выражение:
1) ;
2) ;
3) .
III уровень
3.1. Вычислите:
1) ;
2) ;
3) .
4) ;
5) .
3.2. Найдите значение выражения:
1) при
;
2)
Степенная функция
Функция , где
переменная величина,
заданное число, называется степенной функцией.
Если , то
линейная функция, ее график прямая линия (см. 4.3.).
Если , то
квадратичная функция, ее график – парабола (см. 4.3.).
Если , то
, ее график – кубическая парабола (см. 4.3.).
Степенная функция .
Это обратная функция для .
1Область определения: .
2Множество значений: .
3Четность и нечетность: функция нечетная.
4Периодичность функции: не периодическая.
5Нули функции: x = 0 –единственный нуль.
6Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.
7Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на всей области определения.
8График функции симметричен графику кубической параболы относительно прямой y = x и изображен на рис. 1.
Рис. 1
Степенная функция ,
.
1. Область определения: .
2. Множество значений:
3. Четность и нечетность: функция четная.
4. Периодичность функции: не периодическая.
5. Нули функции: единственный нуль x=0.
6. Наибольшее и наименьшее значения функции: принимает наименьшее значение для x=0, оно равно 0.
7. Промежутки возрастания и убывания: функция является убывающей на промежутке и возрастающей на промежутке
.
8. График функции (для каждого n Î N) «похож» на график квадратичной параболы (графики функций
изображены на рис. 2.
Рис. 2
Степенная функция ,
.
1. Область определения: .
2. Множество значений:
3. Четность и нечетность: функция нечетная.
4. Периодичность функции: не периодическая.
5. Нули функции: x=0 – единственный нуль.
6. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет при любом .
7. Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на всей области определения.
8. График функции (для каждого ) «похож» на график кубической параболы.
(графики функций изображены на рис. 3).
Рис. 3
Степенная функция, .
1Область определения: .
2Множество значений: .
3Четность и нечетность: функция нечетная.
4Периодичность функции: не периодическая.
5Нули функции: нулей не имеет.
6Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет при любом .
7Промежутки возрастания и убывания: функция является убывающей в области определения.
8Асимптоты: (ось Оу) – вертикальная асимптота;
(ось Ох) – горизонтальная асимптота.
9График функции (для любого n) похож на график гиперболы (графики функций изображены на рис. 4).
Рис. 4
Степенная функция, ,
.
1Область определения: .
2Множество значений: .
3Четность и нечетность: функция четная.
4Периодичность функции: не периодическая.
5Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет при любом .
6Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на и убывающей на
.
7Асимптоты: x = 0 (ось Оу) – вертикальная асимптота;
y = 0 (ось Ох) – горизонтальная асимптота.
8Графиками функций являются квадратичные гиперболы (рис. 5).
Рис. 5
Степенная функция,
1Область определения: .
2Множество значений: .
3Четность и нечетность: функция не обладает свойством четности и нечетности.
4Периодичность функции: не периодическая.
5Нули функции: x=0 – единственный нуль.
6Наибольшее и наименьшее значения функции: наименьшее значение, равное 0, принимает в точке x=0; наибольшего значения не имеет.
7Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на всей области определения.
8Каждая такая функция при определенном показателе является обратной для при условии
.
9График функции «похож» на график функции при любом n и изображен на рис. 6.
Рис. 6
Степенная функция, .
1Область определения: .
2Множество значений: .
3Четность и нечетность: функция нечетная.
4Периодичность функции: не периодическая.
5Нули функции: x=0 – единственный нуль.
6Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет при любом .
7Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на всей области определения.
8График функции изображен на рис. 7.
Рис. 7
Пример 1. Построить график функции:
1) ; 2)
.
Решение. 1. Для построения графика данной функции используем правила преобразования графиков:
1) строим график функции ;
2) график функции получаем из графика функции
путем движения его на 1 единицу вправо по оси
и на 2 единицы вниз по оси
;
3) график исходной функции получаем из графика функции : оставляем часть графика, которая находится справа от оси
и на оси
, остальную отбрасываем, а оставшуюся часть отображаем симметрично оси
(рис.8).
Рис. 8
2. Преобразуем функцию к виду . Заметим, что
. График этой функции получаем путем следующих преобразований:
1) строим график функции ;
2) график получаем из предыдущего симметричным отображением относительно оси
;
3) график функции получаем из предыдущего смещением на 4 единицы вправо по оси
;
4) график заданной функции получаем из графика функции параллельным переносом его на 2 единицы вниз по оси
(рис.9).
Рис. 9
Задания
I уровень
1.1. Определите, принадлежит ли точка графику функции
:
1) ;
2) ;
3) ;
4)
1.2. Найдите область определения функции:
1) ; 2)
;
3) ; 4)
.
1.3. Постройте график функции и определите область ее значений:
1) ; 2)
;
3) ; 4)
.
II уровень
2.1. Найдите область определения функции:
1) ; 2)
;
3) ; 4)
;
5) .
2.2. Постройте график функции:
1) ; 2)
;
4) ; 4)
.
III уровень
3.1. Найдите область определения функции:
1) ; 2)
;
3) ; 4)
.
3.2. Найдите функцию, обратную данной. Укажите область определения и область значений обеих функций. постройте графики данной функции и обратной в одной системе координат:
1) ; 2)
.
3.3. Найдите множество значений функции:
1) ; 2)
.